Hệ động lực học dạng phương trình sai phân bậc nhất

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

VÕ THỊ NI NA

HỆ ĐỘNG LỰC HỌC DẠNG

PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN BẬC NHẤT

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60. 46. 01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐÀ NẴNG - 2016

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. Lê Hải Trung

Phản biện 1: TS. Lê Hoàng Trí

Phản biện 2: GS.TS. Lê Văn Thuyết

Luận văn đã bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt

nghiệp thạc sĩ Phương pháp toán sơ cấp họp tại Đại học Đà

Nẵng vào ngày 13 tháng 08 năm 2016.

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng.

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng.

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Trong thời gian gần đây, lý thuyết điều khiển toán học là một

trong những lĩnh vực toán học ứng dụng được nhiều nhà nghiên cứu

rất quan tâm. Công cụ chính của lý thuyết điều khiển toán học là

dùng những mô hình và các phương pháp toán học ứng dụng để giải

quyết những vấn đề định tính của các hệ thống điều khiển. Rất nhiều

bài toán thực tiễn trong các lĩnh vực khoa học, công nghệ, kinh tế…

được mô tả bởi các phương trình toán học điều khiển thuần túy và

cần đến những công cụ toán học tinh vi, hiện đại để tìm lời giải. Trong thực tiễn, nhiều bài toán đề cập tới vấn đề kĩ thuật, điều khiển thường liên quan đến hệ động lực học được mô tả bởi các

phương trình sai phân với thời gian liên tục hoặc rời rạc. Nội dung

của nó là đưa các bài toán cần xét về việc giải phương trình sai phân

hoặc hệ phương trình sai phân. Trong lý thuyết điều khiển cũng như

trong nhiều vấn đề của các ngành khoa học khác, việc giải quyết các

phương trình sai phân có ý nghĩa rất lớn vì các mô hình động lực sẽ

dẫn đến phương trình sai phân của một hay nhiều hàm số. Thông

thường nếu gọi các biến độc lập là n và các hàm số là 1 2 k y , y ,..., y

thì thông qua việc giải các phương trình sai phân thu được ta sẽ tìm

ra các quan hệ 1 2 k y (n),y (n),...,y (n) từ đó tìm ra các tính chất của hệ

động lực được khảo sát.

2

Vì vậy, để tìm hiểu ứng dụng của toán học, cụ thể là ứng

dụng của phương trình sai phân trong việc mô tả, biểu diễn và nghiên

cứu hệ động lực học và được sự gợi ý của giáo viên hướng dẫn nên

tôi chọn đề tài « Hệ động lực học dạng phương trình sai phân bậc

nhất » làm đề tài luận văn thạc sĩ của mình. 2. Mục tiêu nghiên cứu của đề tài

Mục tiêu của đề tài là dựa vào phương trình sai phân bậc nhất

phân tích một cách toàn diện và đầy đủ về sự ổn định của các hệ

động lực học phổ biến như: logistic, lều,... Ngoài ra, các nguyên lý cơ

bản của sự phân nhánh và lý thuyết ổn định cũng được đề cập và

nghiên cứu trong đề tài. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1. Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu các mô hình động lực học dạng phương trình sai

phân bậc nhất. 3.2. Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu về các mô hình động lực học được mô tả bởi

phương trình sai phân bậc nhất một biến, giải số phương trình sai

phân, tiêu chuẩn tiệm cận, phương trình logistic và phân nhánh…

4. Phương pháp nghiên cứu

Trong luận văn, các phương pháp sử dụng nằm trong các lĩnh

vực sau đây: Toán học giải tích, Giải tích hàm, Lý thuyết phương

trình vi phân, Lý thuyết sai phân…

5. Đóng góp của đề tài

Đề tài có ý nghĩa về mặt lý thuyết, có thể sử dụng như là tài

3

liệu tham khảo dành cho học sinh, sinh viên và giáo viên giảng dạy

quan tâm đến động lực học và phương trình sai phân bậc nhất…

6. Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung của luận văn gồm

hai chương. Mở đầu

Giới thiệu cơ sở khoa học và tính thực tiễn của đề tài, mục

đích của đề tài, nội dung và một số vấn đề khác theo quy định. Chương 1. Sơ lược về phương trình sai phân

Chương 1 trình bày các khái niệm cơ bản về phương trình sai

phân, sai phân hữu hạn của hàm số một biến thực, phương trình sai

phân bậc nhất. Chương 2. Hệ động lực học dạng phương trình sai phân bậc

nhất

Trong chương 2, luận văn giới thiệu về điểm cân bằng trong

hệ động lực học, sơ đồ bước cầu thang, sơ đồ mạng nhện cũng như

nghiệm số của phương trình sai phân. Ngoài ra, tiêu chuẩn tiệm cận

gần đúng của điểm cân bằng, các định nghĩa về điểm định kì và chu

trình, lưu vực hấp dẫn và sự ổn định toàn cục cũng được khái quát

trong chương 2. Kết luận

Nêu tóm tắt những kết quả mà luận văn đạt được.

4

CHƯƠNG 1

SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

1.1. SAI PHÂN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN THỰC. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

1.1.1. Sai phân của hàm số một biến thực

Xét hàm số một biến thực y(n) và h  0. Định nghĩa 1.1. Biểu thức

y(n)  y(n  h)  y(n) (1.1)

được gọi là sai phân hữu hạn thứ nhất hay sai phân hữu hạn bậc nhất

của y(n), trong đó y(n) là xác định tại các điểm mà ta tiến hành

xem xét. Sai phân hữu hạn bậc cao được xác định bởi biểu thức: 1 ( ) ( y( )). k k y n n

     (1.2)

Kí hiệu

0  y(n)  y(0). Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta chứng minh được sai phân hữu hạn bậc k là tuyến tính, tức là:

( ( ) g(n)) ( ( )) (g( )); (C ( )) C ( ( ). k k k k k  f n    f n   n  f n   f n

Giá trị ( )

k  y n dễ dàng được biểu diễn qua giá trị của hàm

y(n) tại các điểm n,n  h,...,n  kh. Ta có được công thức sau đây:

0

( ) ( 1) y( ). k

k k i ik

i y n C n ih



     (1.3)

Để ý rằng, nếu như trong công thức (1.3) ta thực hiện phép đổi

biến của chỉ số m  k  i và sử dụng công thức ,

i k i Ck Ck   khi đó ta

nhận được:

5

0

( ) ( 1) y( ( ) ). k

k m m

k m y n C n k m h

       Một cách hoàn toàn tương tự, bằng phương pháp quy nạp toán

học, ta cũng chứng minh được công thức:

0

( ) y( ). k

i i k

i y n kh C n

    (1.5)

1.1.2. Các khái niệm cơ bản của phương trình sai phân

Định nghĩa 1.2. Phương trình có dạng

(n, y(n), y(n),..., ( )) 0, k F   y n  (1.6)

được gọi là phương trình sai phân. Nếu trong (1.6) ta biểu diễn các sai phân hữu hạn bởi công

thức (1.3) thì ta nhận được phương trình:

G(n,y(n), y(n  h),..., y(n  kh))  0. (1.7)

Định nghĩa 1.3. Phương trình (1.7) được gọi là phương trình

sai phân cấp k. Định nghĩa 1.4. Một hàm liên tục y(n) được gọi là nghiệm

của phương trình 1.7 trên tập , nếu thay nó vào phương trình thì

ta nhận được đẳng thức đúng trên . Giả sử h 1. Khi đó phương trình 1.7 có dạng:

G(n, y(n), y(n 1),..., y(n  k))  0. (1.8)

1.2. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN BẬC NHẤT

Xét phương trình: 0 y(n)  f(n), n   , (1.12)

6

hay

y(n 1)  y(n)  f (n). Đặt vào phương trình cuối lần lượt các giá trị 0 0 n  n , n  n  1,..., n  k  1, rồi cộng dồn lại và tiến hành đổi biến

k : n ta nhận được: 01

0 ( ) ( ), ( ). n

i n y n C f i C y n



    (1.13)

Phương trình vi phân cấp một y '(x)  f (x) tương ứng với

(1.13) có dạng: 0 ( ) ( )dx. x

x y x  C  f x



Đối với phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất dạng

y '  p(x)y  f (x) thì công thức nghiệm tổng quát có dạng: 0 0 0 ( ) exp( ( ) )[C+ f( ) exp( ( ) ) ]. x x n

x x x y x  p n dn n  p  d dn   

7

CHƯƠNG 2

HỆ ĐỘNG LỰC HỌC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH

SAI PHÂN BẬC NHẤT

2.1. CẤU TRÚC CƠ BẢN

Phương trình sai phân thường được sử dụng để mô tả sự vận

động của một hiện tượng nào đó trong tự nhiên mang tính quy luật

theo thời gian. Ví dụ như việc mô tả quá trình phát triển dân số từng

năm của một quốc gia hay một vùng nào đó. Nếu gọi x(n 1) là số

dân tại thời điểm năm thứ (n 1) thì x(n 1) là một hàm theo x(n). Sự liên hệ này được biểu thị bởi phương trình sai phân sau đây:

x(n 1)  f (x(n)). (2.1)

Tập hợp 0 { ( ): n 0}

n

f x  với 0

0 0

f (x )  x theo định nghĩa được

gọi là quỹ đạo của 0 x và được kí hiệu là 0 O(x ). Nếu hàm f trong (2.1) được thay thế bởi hàm g hai biến:

g : ,  Z R  R

trong đó  Z là tập các số nguyên không âm và R là tập các số thực. Khi đó ta có:

x(n 1)  g(n, x(n)). (2.2)

Phương trình có dạng (2.2) được gọi là không ô-tô-nôm hay

nói một cách khác, phương trình này phụ thuộc vào biến thời gian. Trong khi đó phương trình có dạng (2.1) được gọi là ô-tô-nôm hay

không phụ thuộc vào biến thời gian.

8

2.2. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH BẬC NHẤT

Trong phần này chúng ta nghiên cứu dạng đặc biệt của (2.1) và

(2.2), đó là các phương trình tuyến tính. Phương trình tuyến tính bậc nhất thuần nhất được cho bởi công

thức:

0 0 0 x(n 1)  a(n)x(n), x(n )  x , n  n  0, (2.3)

và phương trình tuyến tính không thuần nhất được cho bởi phương

trình:

0 0 0 y(n 1)  a(n) y(n)  g(n), y(n )  y , n  n  0. (2.4)

Nghiệm duy nhất của phương trình không thuần nhất (2.4)

được cho bởi công thức: 0 0 1 1 1

0

1 ( ) ( ) ( ) ( ). n n n

i n r n i r y n a i y a i g r

  

             

       (2.6)

Ví dụ 2.1. Giải phương trình:

Lời giải. 2 !

n n

Ví dụ 2.2. Tìm lời giải cho phương trình:

( 1) 2 ( ) 3 , (1) 0.5. n x n   x n  x 

Lời giải. 2 3 5.2

n n 

Ví dụ 2.3. Một loại thuốc được uống 4 giờ một lần. Gọi D(n)

là lượng thuốc trong hệ thống máu tại thời điểm n. Cơ thể loại bỏ

( 1) ( 1) y(n) 2 ( 1)!, (0) 1, 0. n y n   n   n  y  n 