Hàm số thực và các ứng dụng vào giải toán sơ cấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

PHẠM VĂN HẠNH

HÀM SỐ THỰC VÀ CÁC ỨNG DỤNG

VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP

Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60.46.40

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2013

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. TRẦN ĐẠO DÕNG

Phản biện 1: TS. PHAN ĐỨC TUẤN

Phản biện 2: PGS.TS. NGUYỄN GIA ĐỊNH

Luận văn được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận văn tốt nghiệp

Thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 14 tháng 12

năm 2013.

* Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài:

Trong nhà trường phổ thông, môn Toán có một vai trò, vị trí

và ý nghĩa quan trọng. Đặc biệt môn Toán có vai trò quan trọng trong

việc thực hiện mục tiêu chung của giáo dục phổ thông, góp phần phát

triển nhân cách học sinh. Cùng với việc tạo điều kiện cho học sinh

kiến tạo tri thức và rèn luyện kỹ năng Toán học cần thiết, có tác dụng

góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung như: phân tích, tổng hợp,

trừu tượng hoá, khái quát hoá . Rèn luyện những đức tính, phẩm chất

của con người lao động mới như tính cẩn thận, chính xác, tính kỷ

luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mỹ.

Nhiệm vụ của dạy học môn Toán là trang bị tri thức cơ bản

cần thiết cho học sinh; rèn luyện kỹ năng Toán học và kỹ năng vận

dụng Toán học vào thực tiễn; phát triển trí tuệ cho học sinh; bồi

dưỡng những phẩm chất đạo đức tốt đẹp cho học sinh; đảm bảo trình

độ phổ thông, đồng thời chú trọng bồi dưỡng những học sinh có năng

khiếu về Toán.

Thực tế giảng dạy Toán cho học sinh trung học phổ thông, tôi

nhận thấy học sinh gặp nhiều khó khăn trong việc nắm bắt các khái

niệm, ứng dụng các tính chất, đặc trưng của các hàm số vào giải toán

các chủ đề liên quan. Cùng với sự định hướng của PGS. TS. Trần

Đạo Dõng, tôi đã chọn đề tài “HÀM SỐ THỰC VÀ CÁC ỨNG

DỤNG VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP” làm đề tài luận văn thạc sĩ của

mình.

2

Trong luận văn này, trước hết chúng tôi giới thiệu về ánh xạ và

hàm số, các hàm số thể hiện trong chương trình Toán bậc trung học

phổ thông. Tiếp đó, ứng dụng các tính chất cơ bản của hàm số như

tính đơn điệu, tính liên tục, khả vi,...để giải một số dạng toán trong

đại số, giải tích và hình học.

2. Mục tiêu nghiên cứu của đề tài:

Mục đích nghiên cứu của đề tài là khai thác các tính chất cơ

bản của hàm số để giải một số dạng toán trong đại số, giải tích và

hình học thể hiện qua các dạng bài toán về bất đẳng thức, phương

trình và bất phương trình, bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn

nhất, bài toán chứng minh sự thẳng hàng và đồng quy, bài toán

chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình,... nhằm góp phần

nâng cao hiệu quả và chất lượng dạy học bộ môn Toán trong chương

trình Trung học phổ thông (THPT).

3. Nhiệm vụ nghiên cứu:

Khai thác các tính chất cơ bản của hàm số như tính đơn điệu,

tính liên tục, khả vi,… để giải các dạng bài toán về bất đẳng thức,

phương trình và bất phương trình, bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và giá

trị lớn nhất, bài toán chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương

trình,...

4. Phƣơng pháp nghiên cứu:

Phương pháp nghiên cứu lý luận:

Nghiên cứu một số giáo trình phương pháp dạy học môn toán,

sách giáo khoa phổ thông, Sách bồi dưỡng giáo viên THPT, các sách

3

tham khảo, các tạp chí về giáo dục, một số luận văn có liên quan đến

đề tài.

Phương pháp tổng kết kinh nghiệm:

Tổng kết kinh nghiệm qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy, qua

trao đổi kinh nghiệm với một số giáo viên giỏi bộ môn Toán ở trường

THPT. Từ đó xây dựng được hệ thống các bài tập điển hình và những

gợi ý dạy học nhằm rèn luyện kỹ trong giải toán về hàm số và các bài

toán liên quan.

5. Ý nghĩa thực tiễn của đề tài:

Nâng cao hiệu quả dạy và học một số chủ đề trong đại số, giải

tích và hình học trong chương trình toán THPT.

Phát huy tính tự học và sáng tạo của học sinh.

6. Cấu trúc luận văn:

Luận văn bao gồm:

Phần mở đầu.

Chương 1. Các kiến thức liên quan.

Chương 2. Ứng dụng các tính chất của hàm số vào giải toán sơ

cấp.

4

CHƢƠNG 1

CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN

1.1 Giới thiệu về ánh xạ và hàm số.

1.1.1 Ánh xạ.

1.1.2 Hàm số

1.2 Giới thiệu các hàm số trong chƣơng trình toán phổ thông

trung học.

1.2.1 Hàm số đa thức:

1.2.2 Hàm số hữu tỷ

CHƢƠNG 2

ỨNG DỤNG CÁC TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ

VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP

2.1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.

2.1.1 Giới thiệu về tính đơn điệu của hàm số.

2.1.2 Các dạng toán ứng dụng tính đơn điệu của hàm số.

Dạng 1: Ứng dụng tính đơn điệu xét sự biến thiên của hàm số.

Bài toán 2.1 Áp dụng tính đơn điệu của hàm số khảo sát sự biến

thiên của hàm số y = f(x).

Định hƣớng giải:

+ Tìm miền xác định của hàm số f(x).

+ Tìm đạo hàm và xét dấu đạo hàm f’(x).

+ Dựa vào dấu của đạo hàm kết luận các khoảng tăng, giảm

của hàm số.

Ví dụ 2.1: Khảo sát sự biến thiên của hàm số:

( ) ( ) n n f x x c x

, với c > 0 cho trước, n ∈ , n > 1.

5

Ví dụ 2.2: Cho hàm số

2

( )

1

x m y f x

x

. Tuỳ theo giá trị của

tham số thực m, hãy lập bảng biến thiên của hàm số.

Bài toán 2.2 Cho hàm số y = f(x,m), m là tham số thực. Tìm điều

kiện của tham số thực m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên

tập xác định.

Định hƣớng giải:

Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số y = f(x,m), m là

tham số.

Bước 2: Tính f’(x).

Bước 3: Áp dụng tính chất đồng biến (hoặc nghịch biến)

trên miền xác định D để xác định tham số m.

Ví dụ 2.3: Tìm m để hàm số :

3

2 2 ( 2) ( 2) ( 8) 1

3

x

y m m x m x m

luôn nghịch biến trên

, với m là tham số thực.

Ví dụ 2.4: Tìm tham số thực m để hàm số

2

3 2

2 1

x mx

y

x

nghịch biến trên từng khoảng xác định.

Bài toán 2.3 Cho hàm số y = f(x,m), m là tham số. Tìm m để hàm số

đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng I D (với D là miền xác

định).

Định hƣớng giải:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Tính f’(x).

6

Bước 3: Áp dụng tính chất tăng (hoặc giảm) trên khoảng I

để xác định bất đẳng thức liên quan đến tham số m.

Bước 4: Biến đổi bất đẳng thức liên quan đến m ở bước 3

dưới dạng: m ≥ g(

x

) (hoặc m ≤ g(

x

)).

Bước 5: Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của g(

x

)

trên khoảng I.

Từ đó ta suy ra giá trị tham số m ≥

( )

x I

max g x

(hoặc m ≤

min ( )

x I

g x

).

Ví dụ 2.5: Tìm tham số thực m để hàm số :

3 2

y x x m x m 3 ( 1) 4

nghịch biến trên khoảng (-1;1).

Ví dụ 2.6: Tìm tham số thực m để hàm số :

3 2

y x m x m x 3(2 1) (12 5) 2

đồng biến trên (-∞;-1]

[2;+∞).

Ví dụ 2.7: Tìm tất cả các tham số thực m để hàm số

3 2

y x x mx m 3

nghịch biến trên một đoạn [a ; b] có độ dài

bằng 1.

Dạng 2: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức.

Bài toán 2.4 Chứng minh bất đẳng thức dạng P(x) > Q(x),

x a b ( ; )

.

Định hƣớng giải:

Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Chuyển bất đẳng thức P(x) > Q(x) về dạng f(x) > 0

(hoặc <, ≥, ≤).

7

Bước 2: Tìm miền xác định D để thấy [a; b] D. Tính f(a),

f(b).

Bước 3: Xét hàm số y = f(x) trên khoảng (a;b). Tính f’(x).

Xét dấu f’(x). Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch

biến trên (a;b)

Bước 4: Dựa vào định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến để kết

luận tính đúng của bất đẳng thức.

Ví dụ 2.8: Chứng minh rằng :

2 2 2

1 1 1 1

sin x x

, (0; )

2

x

Ví dụ 2.9: Chứng minh rằng

3

1

2sin tan 2 2 2 2 , [0; )

2

x

x x

x .

Ví dụ 2.10: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n > 1, ta có

1 1 2

n n

n n

n n

n n

.

Ví dụ 2.11: Cho x≥y≥z≥0. Chứng minh rằng:

x z y x y z

z y x y z x

.

Bài toán 2.5 Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương

trình.

Định hƣớng giải:

Hƣớng 1:

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng:

f x k ( )

Bước 2: Xét hàm số

y f x( )

. Dùng lập luận khẳng định

hàm số đơn điệu (giả sử đồng biến).

Bước 3: Nhận xét:

8

Hƣớng 2:

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng:

f x g x ( ) ( ) .

Bước 2: Xét hàm số

y f x( )

và

y g x( )

. Dùng lập luận

khẳng định hàm số

y f x( )

là đồng biến còn hàm

y g x( )

là hàm

hằng hoặc nghịch biến.

Xác định

0

x

sao cho

0 0 f x g x ( ) ( ) .

Bước 3: Kết luận

0

x x

là nghiệm duy nhất của phương

trình.

Hƣớng 3:

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng:

f u f v ( ) ( ) .

Bước 2: Xét hàm số

y f x( )

. Dùng lập luận khẳng định

hàm số đơn điệu (giả sử đồng biến).

Bươc 3: Khi đó

f u f v u v ( ) ( )

Ví dụ 2.12: Giải phương trình

2

4 1 4 1 1 x x

Ví dụ 2.13: Chứng minh rằng phương trình

2

2 2 11 x x

luôn có

nghiệm duy nhất.

Ví dụ 2.14: Giải phương trình

2

2 2 log ( 4) log [8( 2)] x x x .

Ví dụ 2.15: Giải phương trình

3

x x x 1 4 5.

Ví dụ 2.16: Giải phương trình:

2 2 3 2 9 3 (4 2) 1 1 0 x x x x x .

Ví dụ 2.17: Giải phương trình

2 1 1 3 18 24

2 5 1

x x

x x

.

9

Bài toán 2.6 Dựa vào tính đơn điệu hàm số để giải và biện luận

phương trình và bất phương trình chứa tham số dạng f(x,m) = 0

(>0,<0, ≥0, ≤0) x ∈ K . (2)

Định hƣớng giải:

Bước 1: Biến đổi phương trình, bất phương trình(2) về dạng

f(x) = f(m) (hoặc m > f(x), m < f(x), m ≥ f(x), m ≤ f(x)).

Bước 2: Xét hàm số f(x) liên tục trên K.

Bước 3: Dựa vào tính đơn điệu hàm số để kết luận.

Ví dụ 2.18: Tìm tham số thực

m

để phương trình

2

x m x m 2( 2) 5 4 0

có hai nghiệm thực phân biệt

1 2 x x;

thoả

mãn

1 2 x x 1 .

Ví dụ 2.19: Tìm tham số thực m để phương trình sau có đúng hai

nghiệm thực phân biệt

1 8 (1 )(8 ) x x x x m.

Ví dụ 2.20: (Trích đề thi đại học _khối A 2008). Tìm tham số thực

m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt .

4 4 2 2 2 6 2 6 x x x x m.

Ví dụ 2.21: Tìm tham số thực

m

để phương trình sau có nghiệm

2 2 1 1 1 1 9 3 3 2 1 0 x x

m m .

Ví dụ 2.22: Tìm tham số thực

m

để phương trình sau có nghiệm

trong

32; ,

2

2 2 2 log 2log 3 log 3 x x m x . (3)

Ví dụ 2.23: Tìm tham số thực

m

để PT:

2

cos2 . os . 1 tan x mc x x

có nghiệm

0;

3

x .

10

Ví dụ 2.24: Tìm tham số thực

m

để bất phương trình

4 2 2 4 x x m

có nghiệm.

Ví dụ 2.25: Tìm tham số thực

m

để bất phương trình sau nghiệm

đúng với mọi

0;

4

x ,

tan tan .16 2 .4 2 2 0 x x

m m m .

2.2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.

2.2.1 Các khái niệm về cực trị .

2.2.2 Các dạng toán liên quan đến cực trị.

Bài toán 2.7 Tìm điều kiện của tham số thực m để hàm số y = f(x,m)

có cực trị .

Định hƣớng giải:

Bước 1: Tìm miền xác định của hàm số.

Bước 2: Tính f’(x) và f”(x).

Bước 3: Áp dụng các dấu hiệu về cực trị để ràng buộc điều kiện đạt

cực trị của hàm số.

Ví dụ 2.26: Tìm tham số thực m để hàm số:

3 2

y mx x x 3 12 2

đạt cực đại tại điểm x = 2.

Ví dụ 2.27: Tìm tham số thực m để hàm số

2

2

1

x mx

y

mx

có cực

trị.

Ví dụ 2.28: Cho hàm số

4 3 2

y x mx m x 4 3( 1) 1

. Tìm tham số

thực m để hàm số:

a. Có 3 cực trị.

b. Có cực tiểu mà không có cực đại.