Hàm nhiều biến và cực trị của Hàm

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

------------ 0 -------------

Phạm Thị Thu Trang

HÀM NHIỀU BIẾN

VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2009

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

------------ 0 -------------

Phạm Thị Thu Trang

HÀM NHIỀU BIẾN

VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

GS – TS Trần Vũ Thiệu

Thái Nguyên - 2009

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

------------ 0 -------------

Phạm Thị Thu Trang

HÀM NHIỀU BIẾN

VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60.46.01

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2009

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

Người hướng dẫn khoa học : GS.TS. Trần Vũ Thiệu

Phản biện 1: PGS.TS ĐỖ VĂN LƯU

Phản biện 2 : GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU

.

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn họp tại:

Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên

Ngày 8 tháng 11 năm 2009

Có thể tìm hiểu luận văn tại thư viện

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÁI NGUYÊN

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2 http://www.Lrc-tnu.edu.vn

MỤC LỤC Trang

LỜI NÓI ĐẦU 3

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5

1.1 Tập hợp lồi trong R

N

5

1.2. Quan hệ và hàm số 7

1.3. Tô pô trong R

N 10

1.4. Tính liên tục 17

1.5. Định lí tồn tại 20

Chương 2: HÀM GIÁ TRỊ THỰC 23

2.1. Hàm số thực và các tập có liên quan 23

2.2. Một số hàm thông dụng 26

2.2.1. Hàm lồi và hàm tựa lồi 27

2.2.2. Hàm lõm và hàm tựa lõm 29

2.3. Vi phân của hàm số 30

2.3.1. Hàm một biến 31

2.3.2. Hàm nhiều biến 32

2.3.3. Hàm thuần nhất 36

Chương 3: BÀI TOÁN TỐI ƢU 40

3.1. Cực trị của hàm số 40

3.2. Tối ưu không ràng buộc 41

3.3. Tối ưu có ràng buộc 48

3.3.1. Ràng buộc đẳng thức 49

3.3.2. Ràng buộc không âm 59

3.3.3. Điều kiện Karush- Kuhn- Tucker 61

KẾT LUẬN 66

TÀI LIỆU THAM KHẢO 67

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3 http://www.Lrc-tnu.edu.vn

LỜI NÓI ĐẦU

Toán học nói chung và toán giải tích nói riêng có những ứng dụng đa dạng

trong nhiều ngành khoa học khác nhau, đặc biệt trong khoa học kinh tế. Các

nghiên cứu và phân tích kinh tế về mặt định lượng thường được tiến hành thông

qua các mô hình kinh tế toán (dùng toán học để mô tả, phân tích các mối quan

hệ, các quá trình hay đối tượng kinh tế). Vì thế các nhà nghiên cứu kinh tế ngày

càng có nhu cầu sử dụng nhiều hơn các công cụ toán học, đặc biệt là công cụ

giải tích (như hàm số, đạo hàm, vi phân) và các phương pháp tối ưu hoá.

Đề tài luận văn đề cập tới những kiến thức toán giải tích và tối ưu hoá cơ

bản cần dùng trong kinh tế. Việc tìm hiểu những kiến thức này là hoàn toàn cần

thiết và hữu ích, giúp hiểu sâu hơn về các công cụ toán giải tích, tối ưu hoá và

vận dụng tốt hơn trong thực tiễn giảng dạy toán cho các đối tượng kinh tế.

Mục tiêu của luận văn là tìm hiểu và trình bày khái quát những kiến thức

toán học cơ bản cần dùng trong các nghiên cứu kinh tế, đặc biệt trong nghiên

cứu lý thuyết kinh tế vi mô (micro-economic theory). Các nội dung đề cập tới

trong luận văn được trình bày không quá hình thức mà gần gũi với tư duy kinh

tế, với nhiều ví dụ minh hoạ cụ thể và có giải thích ý nghĩa kinh tế khi có thể,

nhưng vẫn giữ tính chính xác, chặt chẽ về mặt toán học.

Nội dung luận văn được chia thành ba chương:

Chương 1 “Kiến thức chuẩn bị” giới thiệu tóm tắt một số khái niệm cơ

bản về tập hợp và ánh xạ, quan hệ và hàm số: tập mở, tập đóng, tập compact

trong Rn

; cận trên (cận dưới) của tập hợp số thực; tính liên tục của ánh xạ, mối

quan hệ giữa tính liên tục với ảnh ngược của các tập mở (đóng), ảnh liên tục của

tập compact; định lý Weierstrass về tồn tại giá trị cực trị của hàm liên tục trên

tập compact; tập lồi và tính chất, định lý Minkowski về tách các tập lồi ...

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4 http://www.Lrc-tnu.edu.vn

Chương 2 “Hàm giá trị thực” đề cập tới các hàm số thực thường gặp trong

kinh tế và một số tập có liên quan mật thiết với hàm: đồ thị, tập mức, tập mức

trên, tập mức dưới. Xét tính tăng (giảm), tính lồi (lõm), tính lồi chặt (lõm chặt),

độ dốc, độ cong và mối liên hệ với các tập mức, với đạo hàm và vi phân của

hàm số, hàm thuần nhất và tính chất ...

Chương 3 “Bài toán tối ƣu” trình bày khái quát vấn đề cực trị của hàm số:

cực trị địa phương và cực trị toàn cục, cực trị tự do và cực trị có điều kiện, điều

kiện cần, điều kiện đủ của cực trị (cấp 1 và cấp 2). Tính duy nhất của điểm cực

tiểu (cực đại) liên quan với tính lồi (lõm) chặt. của hàm. Cực trị với ràng buộc

đẳng thức (phương pháp Lagrange), với ràng buộc không âm và tổng quát hơn là

với ràng buộc bất đẳng thức (điều kiện Karush-Kuhn-Tucker (điều kiện KKT) ...

Do thời gian có hạn nên luận văn này mới chỉ dừng lại ở việc tìm hiểu, tập

hợp tài liệu, sắp xếp và trình bày các nội dung chính theo chủ đề đặt ra. Trong

quá trình viết luận văn cũng như trong xử lý văn bản chắc chắn không tránh khỏi

có những sai sót nhất định. Tác giả luận văn rất mong nhận được sự góp ý của

các thầy cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn.

Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn

GS-TS Trần Vũ Thiệu đã tận tình giúp đỡ trong suốt quá trình làm luận văn.

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thày, cô của Trường Đại học Sư phạm

Thái Nguyên và Viện Toán học đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi

trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu.

Thái Nguyên, tháng 9/2009

Tác giả