Gửi Ng văn Luyện

Đề bài: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :

 

3

2 2 2 28 ab bc ca a b c

a b c abc

   

 

 

Gợi ý: Có thể chứng minh nhờ sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho

3 số dương và cho 2 số dương như sau:

 

   

       

   

3

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

28

2 2 2

28

8

9 9

2

28

ab bc ca a b c

a b c abc

ab bc ca a b c a b c ab bc ca

a b c abc

ab bc ca a b c a b c a b c a b c

a b c abc abc

a b c ab bc ca

abc

   

 

 

        

  

 

         

  

 

   

 

Bất đẳng thức này đúng vì các kết quả sau:

       

   

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

3 3

2

9 9

3 .3 2 2 2

9 9

ab bc ca ab bc ca a b c a b c a b c a b c

a b c abc a b c abc

a b c ab bc ca abc abbcca

abc abc

           

  

   

   

  

   

2 2 2 8 3 3 8.3 .3 8

9 9

a b c a b c abc abbcca

abc abc

   

 

   

3 3 2 2.3 .3 . . 18

a b c ab bc ca abc ab bc ca

abc abc

   

 

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c.