Góc định hướng và ứng dụng trong hình học phẳng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————–

PHAN NGUYỄN ANH KHOA

GÓC ĐỊNH HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG

TRONG HÌNH HỌC PHẲNG

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS. Nguyễn Duy Thái Sơn

ĐÀ NẴNG - NĂM 2018

Công trình được hoàn thành tại

Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Duy Thái Sơn

Phản biện 1: TS. CAO VĂN NUÔI

Phản biện 2: TS. HOÀNG QUANG TUYẾN

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp

thạc sĩ Khoa học họp tại Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN vào ngày

28 tháng 1 năm 2018

Có thể tìm hiểu luận văn tại

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài

Trong những năm qua, các bài toán Hình học phẳng, đặc biệt là

những bài toán về góc, đường tròn, đường thẳng hay những bài toán

liên quan đến phép biến hình, phép đồng dạng... là một trong những

thử thách lớn đối với các em học sinh trong các kì thi quốc gia, quốc

tế. Trong quá trình học tập, nghiên cứu và công tác, tôi nhận thấy việc

giải các bài toán Hình học phẳng này đòi hỏi phải xét rất nhiều trường

hợp, vị trí các điểm, các góc trong bài toán (thường được gọi tắt là các

thế hình). Góc định hướng trên mặt phẳng là một khái niệm tinh tế mà

sách giáo khoa Toán chưa đề cập đầy đủ. Tương tự như khi xét đoạn

thẳng với đồng thời hai yếu tố là độ dài và hướng người ta đưa ra khái

niệm vec-tơ, thì khi xét góc với đồng thời hai yếu tố là độ lớn và hướng

người ta có khái niệm góc định hướng. Nhờ góc định hướng và các hệ

thức giữa chúng, ta có nhiều ý tưởng, cách tư duy hơn trong việc tiếp

cận một bài toán Hình học phẳng; góc định hướng cũng giúp ta trình

bày lời giải vừa gọn gàng, vừa chặt chẽ, chung cho mọi thế hình có thể

có của bài toán.

Với những lí do nói trên và với mong muốn tìm hiểu kĩ hơn về góc

định hướng cũng như có thêm một tài liệu tham khảo cho đối tượng học

sinh giỏi, tôi chọn đề tài

“GÓC ĐỊNH HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG

TRONG HÌNH HỌC PHẲNG”

làm đề tài luận văn của mình.

2

2. Mục đích nghiên cứu

Mục tiêu của đề tài là nhằm hệ thống lại một số kiến thức cơ bản,

bổ sung (so với các nội dung có trong sách giáo khoa THPT) các kiến

thức về góc định hướng và trình bày các ứng dụng của góc định hướng

trong việc giải các bài toán hình học phẳng.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Góc định hướng và những ứng dụng của nó

trong việc giải các bài toán hình học phẳng.

Phạm vi nghiên cứu: Các tính chất cơ bản của góc định hướng và

các bài toán hình học phẳng liên quan đến góc định hướng.

4. Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu để thu thập thông tin rồi

trình bày nội dung phục vụ cho yêu cầu của đề tài.

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Giải một số bài toán hình học phẳng. Đề tài đóng góp thiết thực cho

việc dạy và học về hình học phẳng. Hi vọng luận văn khi hoàn thành sẽ

trở thành một tài liệu tham khảo có ích cho các học sinh muốn tìm hiểu

về hình học phẳng nói chung và góc định hướng nói riêng.

6. Bố cục đề tài

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày vắn tắt các kiến thức cơ sở sẽ được sử dụng

trong Chương 2.

Chương 2: Ứng dụng trong việc giải các bài toán hình học phẳng

3

Chương này trình bày các ứng dụng của góc định hướng trong việc

giải các bài toán hình học phẳng.

Chương 3: Các bài toán tổng hợp

Chương này trình bày một số bài toán sử dụng tổng hợp các ứng

dụng trong Chương 2 để giải.

4

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Góc hình học

1.1.1. Góc giữa hai tia cùng gốc

Định nghĩa 1.1.1 ([3], chương 2). Bộ không phân biệt thứ tự gồm hai

tia Ox, Oy cùng gốc và không cùng thuộc một đường thẳng được gọi là

góc giữa hai tia, kí hiệu là xOy

V

hoặc yOx

V

.

Định nghĩa 1.1.2 ([3], chương 2). Giao của nửa mặt phẳng (mở) bờ

Ox chứa tia Oy và nửa mặt phẳng (mở) bờ Oy chứa tia Ox được gọi là

miền trong của góc giữa hai tia xOy

V

.

Định nghĩa 1.1.3 ([3], chương 2). Bộ không phân biệt thứ tự gồm hai

tia trùng nhau Ox, Oy cũng được gọi là góc giữa hai tia (góc không -

giữa hai tia, khi cần nhấn mạnh), kí hiệu bởi một trong các cách sau:

xOy

V

, yOx

V

, xOx

V

, yOy

V

.

Định nghĩa 1.1.4 ([3], chương 2). Miền trong của góc không - giữa hai

tia là tập hợp rỗng.

Định nghĩa 1.1.5 ([3], chương 2). Bộ không phân biệt thứ tự gồm hai

tia đối nhau Ox, Oy cùng với một nửa mặt phẳng (mở) bờ xy cũng được

gọi là góc giữa hai tia (góc bẹt - giữa hai tia, khi cần nhấn mạnh), kí

hiệu là xOy

V

hoặc yOx

V

.

Định nghĩa 1.1.6 ([3], chương 2). Nửa mặt phẳng (mở) bờ xy trong

định nghĩa 1.1.5 là miền trong góc bẹt - giữa hai tia xOy

V

.

5

Định nghĩa 1.1.7 ([3], chương 2). Độ dài phần giao miền trong của

góc giữa hai tia xOy

V

và đường tròn tâm O, bán kính 1 được gọi là số đo

(theo đơn vị radian) của xOy

V

, kí hiệu là sđ xOy

V

.

Nếu không có gì nhầm lẫn thì số đo của góc giữa hai tia xOy

V

được

kí hiệu đơn giản là xOy

V

.

Ngoài radian, người ta còn đo góc giữa hai tia bằng độ, π

2

radian =

90◦

(đọc là 90 độ). Theo thói quen, thay vì viết "α radian" người ta viết

đơn giản là "α".

Chú ý. 1. xOy

V

= 0 khi và chỉ khi xOy

V

là góc không - giữa hai tia.

2. xOy

V

= π khi và chỉ khi xOy

V

là góc bẹt - giữa hai tia.

3. Nếu xOy

V

=

π

2

thì ta nói hai tia Ox và Oy vuông góc với nhau, kí

hiệu Ox ⊥ Oy.

4. 0 ≤ xOy

V

≤ π.

1.1.2. Góc giữa hai đường thẳng

Định nghĩa 1.1.8 ([3], chương 2). Bộ không phân biệt thứ tự gồm hai

đường thẳng d1 và d2 được gọi là góc giữa hai đường thẳng, kí hiệu là

(d1, d2)

V

hoặc (d2, d1)

V

.

Định nghĩa 1.1.9 ([3], chương 2). Trường hợp hai đường thẳng d1 và

d2 cắt nhau tạo thành bốn góc giữa hai tia, số đo của góc bé nhất trong

bốn góc đó được gọi là số đo của góc giữa hai đường thẳng d1 và d2.

Trường hợp d1 và d2 song song hoặc trùng nhau thì ta quy ước góc giữa

d1 và d2 bằng 0.

Số đo của góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 được kí hiệu là sđ(d1, d2)

V

.

Nếu không có gì nhầm lẫn thì số đo của góc giữa hai đường thẳng d1 và

d2 sẽ được kí hiệu đơn giản là (d1, d2)

V

.

Chú ý. 0 ≤ (d1, d2)

V

≤

π

2

.

6

1.1.3. Góc giữa hai vectơ

Định nghĩa 1.1.10 ([3], chương 2). Bộ không phân biệt thứ tự gồm

hai vectơ #»a ,

#»b khác #»0 được gọi là góc giữa hai vectơ, kí hiệu là (

#»a ,

#»b )

V

hoặc (

#»b , #»a )

V

.

Định nghĩa 1.1.11 ([3], chương 2). Cho hai vectơ #»a và #»b đều khác

vectơ #»0 . Từ một điểm O bất kì, ta vẽ # » OA =

#»a và # » OB =

#»b . Số đo góc

giữa hai vectơ #»a và #»b là số đo AOB

V

.

Số đo góc giữa hai vectơ #»a và #»b được kí hiệu là sđ(

#»a ,

#»b )

V

.

Nếu không có gì nhầm lẫn số đo của góc giữa hai vectơ #»a và #»b được

kí hiệu đơn giản là (

#»a ,

#»b )

V

.

Chú ý. 0 ≤ (

#»a ,

#»b )

V

≤ π.

1.2. Góc định hướng

1.2.1. Góc định hướng giữa hai tia cùng gốc

Định nghĩa 1.2.1 ([3], chương 2). Bộ có phân biệt thứ tự gồm hai tia

Ox, Oy cùng gốc được gọi là góc định hướng giữa hai tia, cũng được kí

hiệu là (Ox, Oy).

Khi các tia Ox, Oy trùng nhau, góc định hướng giữa chúng được gọi

là góc - không, và còn được kí hiệu bởi một trong các cách sau:(Oy, Ox),

(Ox, Ox), (Oy, Oy).

Định nghĩa 1.2.2 ([3], chương 2). Mặt phẳng được gọi là định hướng

nếu trên đó một trong hai hướng của mỗi góc định hướng giữa hai tia

khác góc - không được đánh dấu cộng (+) và hướng còn lại được đánh

dấu bởi dấu trừ (-). Hướng mang dấu cộng (tương ứng trừ) được gọi là

hướng dương (tương ứng âm).