GIỚI HẠN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG doc

Nguyễn Tất Thu 01699257507

Trường THPT Lê Hồng Phong

CHƯƠNG 3. GIỚI HẠN

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

A. Tóm tắt lí thuyết

I. Giới hạn hàm số

1. Định nghĩa:

1.1. Giới hạn hàm số: Cho khoảng K chứa điểm 0 x . Ta nói rằng

hàm số f(x) xác định trên K (có thể trừ điểm 0 x ) có giới hạn là L

khi x dần tới 0 x nếu với dãy số n (x ) bất kì, n 0 x K \ {x } Î

và n 0 x x ® , ta có: n f(x ) L ® . Ta kí hiệu:

0 x x

lim f(x) L

®

= hay f(x) L ® khi 0 x x ® .

1.2.Giới hạn một bên:

* Cho hàm số y f x = ( ) xác định trên 0 ( ; ) x b .Số L gọi là giới hạn

bên phải của hàm số y f x = ( ) khi x dần tới 0 x nếu với mọi dãy

0 ( ) : n n

x x x b < < mà

n 0 x x ® thì ta có: ( ) n f x L ® . Kí

hiệu:

0

lim ( )

x x

f x L

® +

= .

* Cho hàm số y f x = ( ) xác định trên 0 ( ; ) a x .Số L gọi là giới hạn bên

trái của hàm số y f x = ( ) khi x dần tới 0 x nếu với mọi dãy

0 ( ) : n n

x a x x < < mà

n 0 x x ® thì ta có: ( ) n f x L ® . Kí

hiệu:

0

lim ( )

x x

f x L

® -

= .

Chú ý: Ta có:

0

0 0

lim ( ) lim ( ) lim ( )

x x x x x x

f x L f x f x L

® ® ® + -

= Û = = .

1.3. Giới hạn tại vô cực

* Ta nói hàm số y f x = ( ) xác định trên ( ; ) a +¥ có giới hạn là L khi

x ® +¥ nếu với mọi dãy số ( ) : n n

x x a > và n

x ® +¥ thì

( ) n f x L ® . Kí hiệu: lim ( )

x

f x L

®+¥

= .

Nguyễn Tất Thu 01699257507

Trường THPT Lê Hồng Phong

* Ta nói hàm số y f x = ( ) xác định trên ( ; ) -¥ b có giới hạn là L khi

x ® -¥ nếu với mọi dãy số ( ) : n n

x x b < và n

x ® -¥

thì ( ) n f x L ® . Kí hiệu: lim ( )

x

f x L

®-¥

= .

1.4.Giới hạn vô cực

* Ta nói hàm số y f x = ( ) có giới hạn dần tới dương vô cực khi x dần

tới 0 x nếu với mọi dãy số 0 ( ) : n n

x x x ® thì ( ) n f x ® +¥ . Kí

hiệu:

0

lim ( )

x x

f x

®

= +¥ .

* Tương tự ta cũng có định nghĩa giới hạn dần về âm vô cực

* Ta cũng có định nghĩa như trên khi ta thay 0 x bởi -¥ hoặc +¥ .

2. Các định lí về giới hạn

Định lí 1: Giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương (mẫu số dẫn về

L ¹ 0) khi 0 x x ® (hayx x ® +¥ ® -¥ ; ) bằng tổng, hiệu, tích,

thương của các giới hạn đó khi 0 x x ® (hayx x ® +¥ ® -¥ ; ) .

Chú ý: Định lí trên ta chỉ áp dụng cho những hàm số có giới hạn là

hữu hạn. Ta không áp dụng cho các giới hạn dần về vô cực

Định lí 2: (Nguyên lí kẹp)

Cho ba hàm số f x g x h x ( ), ( ), ( ) xác định trên K chứa điểm 0 x (có thể

các hàm đó không xác định tại 0 x ). Nếu g x f x h x x K ( ) ( ) ( ) £ £ " Î

và

0 0

lim ( ) lim ( )

x x x x

g x h x L

® ®

= = thì

0

lim ( )

x x

f x L

®

= .

3. Một số gới hạn đặc biệt

* 2

( )

lim k

x

x

x

®+¥

®-¥

= +¥ ; 2 1

( )

lim ( ) k

x

x

x +

®+¥

®-¥

= +¥ -¥

*

0 0

lim ( ) ( ) lim 0 ( 0)

x x x x ( )

k f x k ® ® f x

= +¥ -¥ Û = ¹

*

0 0

sin lim lim 1

x x sin

x x

® ® x x = = , từ đây suy ra

0 0

tan lim lim 1

x x tan

x x

® ® x x = = .

Nguyễn Tất Thu 01699257507

Trường THPT Lê Hồng Phong

*

1

0

1 lim (1 ) lim (1 )x x

x x

x e

® ®±¥ x

+ = + =

0 0

ln(1 ) 1 lim lim 1

x

x x

x e

® ® x x

+ - Þ = =

Chú ý : Ta thường sử dụng các giới hạn đặc biệt trên để tìm giới hạn

tại vô cực, giới hạn vô cực, giới hạn các hàm số lượng giác và giới

hạn hàm lũy thừa, mũ và logarít.

II. Hàm số liên tục

1. Định nghĩa :

*Cho hàm số y f x = ( ) xác định trên khoảng K và 0 x KÎ .

y f x = ( ) liên tục tại

0

0 0 lim ( ) ( )

x x

x f x f x

®

Û = .

*y f x = ( ) liên tục trên một khoảng nếu nó kiên tục tại mọi điểm của

khoảng đó

* y f x = ( ) liên tục trên đoạn é ù a b; ë û nếu nó liên tục trên (a b; )

và lim ( ) ( )

x a

f x f a

® +

= , lim ( ) ( )

x b

f x f b

® -

=

2. Định lý :

Định lý 1 :

a) Hàm số đa thức liên tục trên tập R

b) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng

khoảng xác định của chúng

Định lý 2 : Các hàm số y f x = ( ),y g x = ( ) liên tục tại 0 x . Khi đó

tổng,hiệu,tích liên tục tai x0,thương ( )

( )

f x

y

g x = liên tục nếu 0 g x( ) 0 ¹

Định lý 3 : Cho hàm số f liên tục trên đoạn é ù a b; ë û .Nếu f a f b ( ) ( ) ¹

và M là một số nằm giữa f a f b ( ) , ( ) thì tồn tại ít nhất một số

c a b Î ( ; ) sao cho f c M ( ) =

Hệ quả : Cho hàm số f liên tục trên đoạn é ù a b; ë û .

Nếu f a f b ( ) ( ) 0 < thì tồn tại ít nhất một sốc a b Î ( ; ) sao cho

f c( ) 0 = .

III. Đạo hàm

Nguyễn Tất Thu 01699257507

Trường THPT Lê Hồng Phong

1. Đạo hàm tại một điểm

Hàm số y f x = ( ) liên tục trên ( ; ) a b , được gọi là có đạo hàm tại

0 x a b Î ( ; ) nếu giới hạn sau tồn tại (hữu hạn):

0

0

0

( ) ( ) lim

x x

f x f x

® x x

-

- và

giá trị của giới hạn đó gọi là giá trị đạo hàm của hàm số tại điểm

0 x .Ta kí hiệu 0 f x'( ).

Vậy

0

0

0

0

( ) ( ) '( ) lim

x x

f x f x f x

® x x

- = -

2. Đạo hàm bên trái, bên phải

0

0

0

0

( ) ( ) '( ) lim

x x

f x f x f x

+ x x

+

®

- = - .

0

0

0

0

( ) ( ) '( ) lim

x x

f x f x f x - x x

-

®

- = - .

Hệ quả : Hàm f x( )có đạo hàm tại 0 0 x f x ( ) Û $ + và 0 f x'( ) - đồng

thời 0 0 f x f x '( ) '( ) + - = .

3. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn

* Hàm số f x( ) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên ( ; ) a b nếu nó có

đạo hàm tại mọi điểm thuộc ( ; ) a b .

* Hàm số f x( ) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên [ ; ] a b nếu nó có đạo

hàm tại mọi điểm thuộc ( ; ) a b đồng thời tồn tại đạo hàm trái f b'( ) -

và đạo hàm phải f a'( ) + .

4. Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục

Định lí: Nếu hàm số f x( ) có đạo hàm tại 0 x thì f x( ) liên tục tại

0 x .

Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiện cần, tức là một hàm có thể liên

tục tại điểm 0 x nhưng hàm đó không có đạo hàm tại 0 x .

Chẳng hạn: Xét hàm f x x ( ) | | = liên tục tại x = 0 nhưng không liên

tục tại điểm đó.

Vì

0

( ) (0) lim 1

x

f x f

® + x

- = , còn

0

( ) (0) lim 1

x

f x f

® - x

- = - .

IV. Nguyên hàm

Nguyễn Tất Thu 01699257507

Trường THPT Lê Hồng Phong

1. Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên K . Hàm số F được gọi

là nguyên hàm của f trên K nếu F x f x x K '( ) ( ) = " Î .

2. Các tính chất

Định lí 1. Nếu F là một nguyên hàm của hàm f trên K thì mọi

nguyên hàm của f trên K đều có dạng F x C C ( ) , + Î ¡ . Do vậy

F x C ( ) + gọi là họ nguyên hàm của hàm f trên K và được kí hiệu

f x dx F x C ( ) ( ) = + ò .

Định lí 2. Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K

Định lí 3. Nếu f g, là hai hàm liên tục trên K thì:

a) [ ( ) ( )] ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx + = + ò ò ò

b) k f x dx k f x dx . ( ) ( ) = ò ò với mọi số thực k ¹ 0 .

Định lí 4. Nếu f x dx F x C ( ) ( ) = + ò thì

f u x u x dx f u x d u x F u x C ( ( )). '( ) ( ( )). ( ( )) ( ( )) = = + ò ò .

3. Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp

Các hàm sơ cấp thường gặp Nguyên hàm các hàm hợp

( ( )) u u x =

* xdx x C = + ò

*

1

( 1) 1

x x dx C

a

a a

a

+

= + ¹ -

+ ò

* ln | | dx x C

x

= + ò

* x x e dx e C = + ò

* udu u C = + ò

*

1

1

u u du C

a

a

a

+

= +

+ ò

* ln | | du u C

u

= + ò

* u u e du e C = + ò