Giáo trình Xác suất thống kê

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

»ư Á N Đ À O TẠ O G IẦO VIÊN THCS

LOAN No 1718 - VIE (SF)

NGU YẾN ĐÌNH HIẺN

G iáo trìn h

XÁC SUẤT THỐNG KÊ

p(Aj).p(B/Ai)

P(B)

w

NH À XUẤT BẢN ĐẠI HỌC s ư PHẠM

NGUYỄN ĐÌNH HIỀN

Giáo trình

XÁC SUẤT THỐNG KÊ

(Giảo trình Cao đẳng Sư phạm)

DẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯNG TÂM ĩĩọc LIỆU

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC s ư PHẠM

Mã số: 01.01. 23/191. ĐH. 2006

MỞ ĐẨU

Xác suất thống kê là một ngành khoa học được dạy trong các trường Đại

học và Cao đẳng của gần như tất cả các ngành, kể cả tự nhiên và xã hội, tuy

nhiên nội dung dạy có khác nhau. Tuỳ yêu cầu của từng ngành mà chỉ định số

tiết, trong các ngành kĩ thuật sinh học và nông nghiệp thường dạy từ 45 đến 75

tiết, nội dung cũng được lựa chọn khác nhau.

Giáo trình Xác suất thống kê này được viết cho sinh viên Cao đẳng Sư phạm

Kĩ thuật Nông nghiệp. Nội dung dựa trên chương trình Xác suất thống kê khối B

của Bộ Giáo dục và Đào tạo nhưng viết lại theo khung chương trình đào tạo

Cao đẳng Sư phạm Kĩ thuật Nông nghiệp cho phù hợp với thời lượng và yêu cầu.

Giáo trình cố gắng cung cấp cho học viên một số kiến thức cơ bản về Xác

suất và thống kê để có cách nhìn biện chứng hơn về các hiện tượng tự nhiên và

xã hội, để hiểu kĩ hơn một số phần mang tính định lượng trong sinh học và có

cơ sở để học môn Phương pháp thí nghiệm nên chỉ trình bày một cách đơn giản

các khái niệm xác suất và biến ngẫu nhiên, kèm theo nhiều thí dụ minh hoạ.

Phần thống kê chỉ trình bày kĩ mục đích của từng vấn đề, các bước tính, cách

kết luận và các thí dụ minh hoạ.

Để nắm được kiến thức trình bày trong sách không có cách nào tốt hơn là

xem kĩ thí dụ và làm đầy đủ bài tập.

Giáo trình viết cho người học, do đó khi dạy các giáo viên cần tham khảo

thêm các sách viết kĩ hơn, sâu hơn về Xác suất thống kê toán học như các giáo

trình dùng cho khối sinh của Đại học Quốc gia, Đại học Sư phạm hay Đại học

Nông nghiệp.

Phần bài tập có bài giải mẫu và đáp số. Vì học viên đã quen với tin học nên

giáo trình cung cấp thêm một số chương trình đơn giản viết bằng ngôn ngữ

Pascal để học viên có thể tự mình tính toán các bài tập xác suất thống kê và

chuẩn bị cho sau này học môn Phương pháp thí nghiệm.

Trong giáo trình các phần đánh dấu * có thể bỏ qua, nếu có điều kiện thì

đọc để mở rộng kiến thức.

Sau đây là nội dung chính của giáo trình:

Chương 1 trình bày các khái niệm cơ bản trong giải tích tổ hợp, nếu học

viên đã học rồi (phần này hiện đã dạy ở nhiều trường Trung học phổ thống) thì

chỉ nhắc lại và củng cố qua bài tập.

3

Chương 2 trình bày các khái niệm cơ bản về Xác suất, đây là chương quan

trọng và rất khó dạy, do đó phải khéo léo kết hợp giữa cách trình bày sao cho

không trừu tượng quá mà vẫn đảm bảo tính chặt chẽ, vì thực chất chương này

chính là hệ tiên đề của môn Xác suất. Yêu cầu cần đạt được là giới thiệu mô

hình suy luận sau: Phép thử có các kết quả trực tiếp, gọi là các sự kiện sơ cấp,

sự kiện là tập hợp một số sự kiện sơ cấp, xác suất là số đánh giá khả năng xuất

hiện của sự kiện. Xác suất tuân theo một sô' quy tắc tính và yêu cầu phải nắm

được hai quy tắc cộng và nhân tổng quát và đơn giản.

Chương 3 giới thiệu khái niệm biến ngẫu nhiên, phần này không nên sa

vào các định nghĩa trừu tượng mà phải thật cụ thể, do đó cần theo dõi các thí

dụ, qua đó tổng hợp nên khái niệm biến ngẫu nhiên, bảng phân phối, hàm phân

phối. Phần sô' đặc trưng có thể dạy sơ qua, chú ý đến ý nghĩa của kì vọng và

phương sai chứ không đi sâu chứng minh các tính chất.

Chương 4 cần trình bày kĩ phân phối nhị thức và phân phối siêu bội. Trong

phần biến liên tục chỉ tập trung trình bày phân phối chuẩn và cách tính gần

đúng phân phối nhị thức bằng phân phối chuẩn.

Với thời lượng 15 tiết, phần này không nên học hoặc dạy tràn lan mà chỉ

tập trung vào một số điểm chính, tuy nhiên giáo trình vẫn viết đầy đủ để học

viên tham khảo. Phần bài tập đã chọn các bài phù hợp với trĩnh độ cao đẳng,

không khó quá, nhưng cũng không thể coi là quá dễ.

Phần thống kê bắt đầu bằng chương 5, giới thiệu khái niệm tổng thể, mẫu

quan sát và các tham số của mẫu quan sát, tiếp theo là công thức ước lượng

trung bình |J. của biến phân phối chuẩn và xác suất p của phân phối nhị thức.

Chương này không yêu cầu trình bày lí thuyết mà phải thật cụ thể, học xong

phải biết cách tính trung bình cộng, phương sai mẫu, cách tra cứu bảng cp(u),

<t>(t), t và biết cách ước lượng |I, p.

Chương 6 cũng chỉ trình bày rất ngắn gọn bài toán kiểm định giả thiết, giả

thiết và đối thiết, giới thiệu quy tắc kiểm định giá trị trung bình của một biến

phân phối chuẩn và bài toán so sánh hai trung bình của hai tổng thể phân phối

chuẩn. Chương này để tiết kiệm thời gian có thể trình bày bằng bảng kẻ sẵn,

nêu các trường hợp gặp phải khi kiểm định, công thức tính, cách kết luận

(tương tự như ở phụ chương 2).

Chương 7 trình bày kiểm định một phân phối và bảng tương liên. Cả hai

phần này liên quan đến biến định tính và đều dùng phân phối Khi bình phương

4

(%2) do đó khi trinh bày cũng có thể dùng bảng kẻ sẩn để làm nổi bật nội dung

và cách làm rất giống nhau của hai phần (xem phụ chương 2).

Chương 8 giới thiệu tương quan và hồi quy tuyến tính, nếu ít thời gian thì

chỉ trình bày ý nghĩa hệ số tương quan, cách tính, các kết luận. Phần hồi quy

tuyến tính chỉ trình bày ý nghĩa của mô hình tuyến tính để tính xấp xỉ biến

ngẫu nhiên Y theo biến đã cho X, cách tính các hệ số, kết luận.

Phần đáp số trình bày gần hết các đáp số của các bài tập của các chương,

kể cả bài tập thường và bài tập có ghi dấu *

Phụ chương 1 giới thiệu một sô' chương trình viết bằng ngôn ngữ Pascal

dưới dạng thật đơn giản để học sinh, nếu đã học tin học và có điều kiện sử

dụng máy tính, có thể tự mình tính toán xác suất và thống kê trên máy tính

cũng như tự tạo ra bảng tính để tra cứu.

Phần phụ chương 2 có bảng ghi các thuật ngữ xác suất thống kê dùng

trong giáo trình và các công thức. Phần công thức có thể dùng để tham khảo

khi trình bày phần thống kê sao cho ngắn gọn, dễ hiểu.

Cuối cùng là các bảng tính, các bảng này rất cần cho phần thống kê nên khi

dạy phải chỉ cho học viên cách tra cứu cả xuôi lẫn ngược.

Giáo trình đã nhận được sự góp ý chân tình, chính xác và tỉ mỉ của Phó

giáo sư, Tiến sĩ Đào Hữu Hồ và Phó giáo sư, Tiến sĩ Tô cẩm Tú. Tác giả xin

chân thành cảm ơn.

Viết giáo trình là việc khó và càng khó khi thời lượng tương ứng của môn

học lại rất ít. Chắc chắn cuốn sách này còn nhiểu thiếu sót, rất mong sự góp ý

của bạn đọc. Xin chân thành cảm ơn.

Hà Nội, tháng 1 năm 2003

Tác giả

5

GIẢI TÍCH TỔ HỢP

C

hương này không nằm trong nội dung môn Xác suất thống kê mà thuộc

vé các kiến thức chung đã được dạy ở Phổ thông, tuy nhiên để hiểu được

các phép tính xác suất, thống kê ở các chương sau thì cần phải học, hoặc nếu

đã học rồi thỉ ôn lại các khái niệm cơ bản như: chỉnh hợp, hoán vị, tổ hợp,

chỉnh hợp lặp, nhị thức Niu-tơn.

§1. CHỈNH HỢP

Thí dụ 1

Cửa hàng có 3 cái mũ màu xanh, đỏ, tím. Có 2 khách đến mua, cô bán hàng

lấy lần lượt ra 2 cái mũ giao cho 2 khách, cái thứ nhất màu xanh, cái thứ hai màu

đỏ, ta kí hiệu tắt kết quả này là (X, Đ), cũng có thể cái thứ nhất màu đỏ, cái thứ

hai màu xanh (Đ, X), hoặc (X, T), (T, X), (Đ, T), (T, Đ). Ta gọi mỗi kết quả là một

chỉnh hợp chập 2 trong 3 vật, có tất cả 6 chỉnh hợp chập 2 của 3 mũ. Có thể lập

luận như sau: Cái mũ chọn đầu tiên là bất cứ mũ nào trong 3 mũ, như vậy có 3

cách chọn, sau đó có 2 cách chọn mũ thứ hai, như vậy có 3.2 = 6 cách chọn lần

lượt 2 trong 3 mũ. Hai cách chọn (X, Đ) và (X, T) khác nhau vì có một mũ khác

nhau, còn 2 cách chọn (X, Đ) và (Đ, X) thì khác nhau vẻ thứ tự chọn.

Thí dụ 2

Một tổ có 10 người, chọn lần lượt 3 người đi làm việc, người thứ nhất là nhóm

trưởng, người thứ hai theo dõi các chỉ tiêu kinh tế, người thứ ba theo dõi các chỉ tiêu

kĩ thuật. Giả sử 10 người trong tổ có khả nãng làm việc như nhau thì có 10 cách

chọn nhóm trưởng, sau đó có 9 cách chọn người phụ trách chỉ tiêu kinh tế và cuối

cùng có 8 cách chọn người thứ ba. Gọi mỗi nhóm 3 người như vậy là một chỉnh hợp

chập 3 của 10 người có tất cả 10.9.8 = 720 chỉnh hợp chập 3 của 10 người.

Hai nhóm khác nhau nếu có ít nhất một thành viên khác nhau hoặc thành

viên của nhóm giống nhau nhưng thứ tự chọn khác nhau, do đó phân công công

việc trong nhóm khác nhau.

Thí dụ 3

Có 8 đội bóng chuyền vào chung kết. Có 3 đội sẽ được huy chươne: một

đội được huy chương vàng, một đội được huy chương bạc, một đội được huy

6

chương đồng. Nếu 8 đội thực lực như nhau thì có thể có bao nhiêu dự báo vế

danh sách bộ ba được huy chương? Ta lại lập luận như ở thí dụ 2, vì thực lực

như nhau nên có thể có 8 cách dự báo đội được huy chương vàng, sau đó còn 7

cách dự báo đội được huy chương bạc, cuối cùng có 6 cách dự báo đội được

huy chương đồng, như vậy tất cả có 8.7.6 = 336 chỉnh hợp chập 3 của 8 đội.

Hai dự báo khác nhau nếu trong danh sách 3 đội được huy chương có ít nhất

tên một đội khác nhau hoặc vẫn cùng tên 3 đội nhưng thứ tự khác nhau do đó

có sự thay đổi tên đội tương ứng với loại huy chương.

Tổng quát. Có n vật khác nhau lấy lần lượt ra k vật, mỗi nhóm k vật như

vậy được gọi là một chỉnh hợp chập k của n vật. Nếu vật nào cũng có khả năng

được chọn như nhau thì có n cách chọn vật thứ nhất, (n - 1) cách chọn vật thứ

hai......(n - k + 1) cách chọn vật thứ k. Tất cả có n(n - 1) ... (n - k + 1) chỉnh

hợp chập k của n vật. Hai chỉnh hợp khác nhau nếu có ít nhất một vật khác

nhau hoặc vật như nhau nhưng thứ tự lấy ra khác nhau.

Định nghĩa. Một nhóm k vật lấy lần lượt trong sô' n vật khác nhau gọi là

một chỉnh liợp chập k của n vật. Số chỉnh hợp chập k của n vật, kí hiệu là A* ,

được tính theo công thức:

A„ = n(n n - k + 1) ■ l< k < n ) (1Ế1)

§2. HOÁN VỊ

Thí dụ 4

Trong thí dụ 1 có 3 khách đến mua mũ, giả sử cô bán hàng lấy cả 3 mũ và

đưa lần lượt cho 3 khách, nếu khách thứ nhất nhận mũ xanh, khách thứ hai

nhận mũ đỏ, khách thứ ba nhận mũ tím thì ta có kết quả (X, Đ, T), nhưng có

thể cô bán hàng chọn mũ theo thứ tự khác nên kết quả là (Đ, X, T) hay (T, Đ, X),

... tất cả có 6 kết quả khác nhau.

Vì có 3 mũ lấy cả 3 nên hai kết quả chỉ khác về thứ tự đưa 3 mũ cho 3

khách hàng, chẳng khác nào để 3 mũ X, Đ, T bên cạnh nhau sau đó đổi chỗ

(hoán vị) các mũ, sau mỗi lần đổi chỗ được một kết quả khác, do đó mỗi kết

quả gọi là một hoán vị của 3 mũ. Nếu nói theo cách trình bày ở thí dụ 1.1 thì

mỗi hoán vị ở đây chính là một chỉnh hợp chập 3 của 3 mũ.

Thí dụ 5

Có 4 người bạn A, B, c , D đi xem văn nghệ và chọn 4 ghế ngồi cạnh nhau

7

nếu sắp A ngồi vào ghế 1, B ngồi ghế 2, c ngồi ghế 3, D ngồi ghế 4 thì có một

cách sắp xếp 4 người vào 4 chỗ. Nếu đổi chỗ 2 người thì được một cách săp xếp

mới, mỗi cách sắp xếp như vậy gọi là một hoán vị.

Nếu nhìn theo góc độ chỉnh hợp thì có 4 người lần lượt chọn cả 4 và thứ tự

chọn chính là số ghế, như vậy mỗi hoán vị chính là một chỉnh hợp chập 4 của 4

người, dùng công thức (1.1) có số hoán vị của 4 người là 4! = 4.3.2.1 = 24.

Thí dụ 6

Có 6 cụ ông sắp hàng ngang để tập thể dục buổi sáng, sau buổi tập đầy

phấn khích các cụ quyết định từ ngày hôm sau sẽ ra tập tiếp và mỗi ngày sẽ sắp

hàng theo một trật tự khác những lần tập trước. Hỏi sau bao nhiêu ngày các cụ

mới quay lại cách xếp hàng đầu tiên?

Coi mỗi cách sắp hàng là một cách sắp xếp 6 cụ vào 6 chỗ, tức là một hoán

vị của 6 cụ, cũng có thể coi đó là một chỉnh hợp chập 6 của 6 cụ, có thể tính

được tất cả có 6! = 720 cách xếp hàng. Như vậy phải 720 ngày sau, tức là gần 2

năm sau 6 cụ mới xếp hàng lại theo đúng cách sắp hàng đầu tiên.

Tổng quát. Có n vật khác nhau được sắp xếp vào n chỗ, có n cách chọn vật

thứ nhất để xếp vào chỗ thứ nhất, (n - 1) cách chọn vật thứ hai vào chỗ thứ hai,

, (n - k + 1) cách chọn vật thứ k để sắp vào chỗ thứ k... Mỗi cách sắp xếp

được gọi là một hoán vị của n vật.

Định nghĩa. Một nhóm il vật được sắp xếp vào n chỗ, mỗi cách sắp xếp

được gọi là một hoán vị. Mỗi hoán vị là một chỉnh hợp chập n của n vật.

Sô'hoán vị được tính theo công thức:

A¡¡ = n(n - 1 ) ... 3.2.1 = nỉ (1.2)

§3. TỔ HỢP

Thí dụ 7

Trong thí dụ 1, cô bán hàng chọn 2 trong 3 mũ, có thể có 3 cách chọn: một

xanh một đỏ, một xanh một tím, một đỏ một tím. Gọi mỗi cách là một tổ hợp

chập 2 của 3 mũ. Sau khi chọn xong thì có 2 cách đưa cho hai khách tức là có 2

chỉnh hợp chập 2. Thí dụ chọn tổ hợp (X, Đ) thì có thể đưa mũ xanh cho khách

thứ nhất, đưa mũ đỏ cho khách thứ hai hay đổi chỗ (hoán vị) hai mũ, đưa mũ đỏ

cho khách thứ nhất đưa mũ xanh cho khách thứ hai. Như vậy ta có hệ thức:

3 (tổ hợp chập 2 của 3 mũ) X 2 (hoán vị của 2 mũ) = 6 (chỉnh hợp chập 2

của 3 mũ).

8

Thí dụ 8

Trong thí dụ 2 chọn một nhóm 3 người trong 10 tổ viên, gọi đó là một tổ

hợp chập 3 của 10 người. Sau khi chọn xong mới sắp xếp 3 người vào 3 công

việc: (nhóm trưởng, phụ trách chỉ tiêu kinh tế, phụ trách chỉ tiêu kĩ thuật), tất

cả có 3! = 6 cách sắp xếp. Mỗi cách sắp xếp là một hoán vị của 3 người và là

một chỉnh hợp chập 3 của 10 người, ta có hệ thức:

Số tổ hợp chập 3 của 10 người X 3! hoán vị = Số chỉnh hợp chập 3 của 10 người.

Thí du 9

Trong thí dụ 3 người ta đưa ra một dự báo chung về 3 đội đoạt huy chương,

mỗi dự báo như vậy là một tổ hợp chập 3 của 8 đội. Sau khi có dự báo chung

như thế nếu ghi cụ thể đội nào trong 3 đội được huy chương vàng, đội nào được

huy chương bạc, đội nào được huy chương đồng thì được một dự báo cụ thể,

mỗi dự báo cụ thể là một chỉnh hợp chập 3 của 8 đội. Ta có hệ thức:

Số tổ hợp chập 3 của 8 đội X 3! hoán vị = Số chỉnh hợp chập 3 của 8 đội.

Tổng quát. Có n vật khác nhau, lấy ra một nhóm k vật, gọi một nhóm như

vậy là một tổ hợp chập k của n vật. Hai tổ hợp khác nhau nếu có ít nhất một vật

khác nhau, như vậy khác với chỉnh hợp ở đây ta không chú ý đến thứ tự của các

vật trong nhóm. Khi lấy k vật ta có thể lấy một lúc hoặc lấy lần lượt nhưng

không chú ý đến thứ tự của các vật được lấy ra.

Sau khi có một tổ hợp nếu đổi chỗ k vật thì được k! hoán vị khác nhau, mỗi

hoán vị là một chỉnh họp chập k, như vậy mỗi tổ hợp chập k có thể "sinh" ra k!

chỉnh hợp chập k.

Định nghĩa. Một nhóm k vật lấy ra từ n vật khác nhau gọi lờ một tổ hợp

chập k của n vật.

Sô' tổ hợp chập k của n vật kí hiệu là c„ được tính theo công thức:

* Ak

(1 <k <n) (1.3)

k!

§4. CHỈNH HỢP LẶP

Thí dụ 10

Một khoá chữ có 6 vòng, mỗi vòng ghi năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Chọn trên

mỗi vòng một chữ số ta được một số có sáu chữ số gọi là một mã khoá. Mỗi

vòng ta có 5 lựa chọn do đó có thê tạo được

9

5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 56 = 15625 mã khoá.

(Cũng có thể ghi trên mỗi vòng năm chữ cái A, B, c , D, E) và mỗi mã khoá

sẽ là một chữ gồm năm chữ cái.

Thí dụ 11

Số máy điện thoại của một tỉnh gồm bảy chữ số. Mỗi chữ số được chọn

trong mười số 0, 1, ... , 9 như vậy có thể tạo ra

10x10x10x10x10x10x10= 107 số máy điện thoại.

Thí dụ 12

Vé xổ số có bốn chữ số, như vậy có tất cả 104 vé xổ số có bốn chữ số.

Tổng quát. Có n vật khác nhau, lấy lần lượt k lần, mỗi lần lấy 1 vật, lấy

xong lại trả lại nên lần sau lại có thể lấy được vật đã lấy trong các lần trước,

mỗi nhóm k vật được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n vật.

So với chỉnh hợp ở mục 1.1 thì chỉnh hợp lặp khác ở chỗ các vật trong

chỉnh hợp lặp có thể giống nhau, tức là có thể lặp lại.

Số chỉnh hợp lặp được tính theo cách lập luận: vật thứ nhất có n cách lấy,

vật thứ hai có n cách lấy, ... , vật thứ k có n cách lấy, tổng cộng có n X n X . . . X

n = nk chỉnh hợp lặp.

Cũng có thể hiểu như sau: có n loại vật (năm sô' 1, 2, , 5 hoặc năm chữ

cái trên một vòng khoá, mười số 0, 1, , 9 tại một vị trí của chữ số trên máy

điện thoại hoặc trên vé xổ số).

Lấy k vật (k có thể lớn hơn n) có phân biệt thứ tự (6 vòng, bảy chữ số, bốn

chữ số), k vật có thể cùng loại hoặc khác loại, ta có một chỉnh hợp lặp chập k

của n vật.

Sô' chỉnh hợp lặp chập k của n vật được tính theo công thức:

% ầ = n k (1.4)

§5. NHỊ THỨC NIU-TƠN

Ở phổ thông đã học một số khai triển nhị thức:

Khai triển nhị thức (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Khai triển nhị thức (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

10

Khai triển nhị thức (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4.

Đối với nhị thức tổng quát (a + b)n ta có công thức sau:

/ » \n n 1 n 1 1 /■'i2 n 2 ■ 2 k n k I k 1-k^ /1 (a + b) =a + c * a b + c ^ a b +...+ CỊỊa b + ề..+ b (1.3)

Để chứng minh công thức này ta lập luận:

Coi (a + b)n là tích của n thừa số (a + b), kết quả khi khai triển là tổng của

nhiều sô' hạng, mỗi số hạng là tích của n số, hoặc a hoặc b, lấy trong mỗi thừa

số (a + b), thí dụ an k bk được tạo thành bằng cách lấy số a trong (n - k) thừa

số (a + b), còn số b lấy trong k thừa số (a + b) còn lại.

Có cách chọn k thừa số trong n thừa số, do đó có c„ số an k bk, kết

quả có số hạng an k bk trong công thức (1.5).

Trước khi trình bày tiếp về nhị thức, chúng ta xem xét lại công thức tính tổ hợp.

Theo định nghĩa giai thừa thì n! = 1. 2 ... n với n > 1.

Nếu bổ sung 0! =1 thì có thể mở rộng công thức tính tổ hợp với 0 < k < n:

£k _ n ( n - l) ...( n -k + l) _ n ( n - l) ...( n - k + l) ( n - k ) ...3 .2 .1

” k i ~ ~k~! “ k ỉ( n - k ) !

= ---------— -------- ( 1.6)

k ! ịn -k )!

Có thể kiểm tra để thấy: cjj=cj=l; C{J“ k = C „; c j +1 = c £ - 1 + c j .

Từ đó xây dựng tam giác Pascan để tra cứu cỊ^.

Tam giác Pascan

\ k

n

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1

6 1 6 15 20 15 6 1

7 1 7 21 35 35 21 7 1

8 1 8 28 56 70 56 28 8 1

11

Tam giác Pascan còn được dùng để viết khai triển của nhị thức (a + b)

thành tổng của các số hạng, sô' hạng thứ k bằng hệ sô' lấy ớ hàng thứ n cột k

trong tam giác Pascan nhân với an k bk .

Thí dụ: (a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + óab^ + b6.

Trở lại nhị thức (a + b)n, nếu đặt a = b = 1 thì có hệ thức:

2n = c ° + c 1 + + c k + + c n T ' - J , -r . . . -r .

Nếu đặt a = 1, b = -1 thì có hệ thức:

0 = c°n -cỊ, +...+(-i)kcỊị +...+(-ì)ncn

Nếu viết (a + b)2n = (a + b)n (a + b)n sau đó xét số hạng tổng quát có chứa

xn của hai vế, ta có hệ thức:

C2n = (CỈ )2 + (CỊ, )2 +... + (CỊ; )2 +... + (CỊỊ )2.

Tổng quát hơn, nếu có ba số n, m, k với m < k < n, xét (1 + x)m+n =

(1 + x)m(l + x)n rồi so số hạng có chứa xk ở 2 vế, ta có hệ thức:

/->k p k ,/^1 p k - 1 . p 2 p k - 2 — m

BÀI TẬP CHƯƠNG 1

l ếl. Có thể tạo ra bao nhiêu vectơ có gốc và đỉnh tại 2 trong 4 điểm đã cho?

1.2ề Giải các phương trình

a) A ị = 20 n; b) Á ị - aỊ, = 3; c) 3 + 42 = \ ị n .

1.3ề Có bao nhiêu số gồm ba chữ số khác nhau lấy từ năm chữ số 0, 2, 4. 6, 8?

1.4. Một lớp có 50 học viên, cần chọn ra lớp trưởng, lớp phó học tập và lớp

phó vật chất. Nếu ai cũng có khả năng được chọn vào các chức vụ trên

thì có bao nhiêu cách chọn?

1.5. Có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm năm chữ số khác nhau lấy từ sáu

chữ số 0, 1,2, 3, 4, 5.

1.6. Có 24 đội bóng tham gia thi đấu, hai đội phải đấu với nhau một lượt đi,

một lượt về. Ban tổ chức phải tổ chức bao nhiêu trận đấu?

12

l ễ7. Có 3 cụ ông, 2 cụ bà và 5 em bé ngồi quanh một bàn tròn. Hỏi có bao

nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho các cụ ông ngồi cạnh nhau, các cụ

bà ngồi cạnh nhau và các em bé cũng ngồi cạnh nhau?

1.8. Có 3 cặp vợ chồng đi xem văn nghệ và ngồi vào 6 ghế trên một hàng. Có

bao nhiêu cách sắp xếp sao cho vợ chồng luôn ngồi cạnh nhau?

1.9. Có 3 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lí, 2 quyển sách Hoá và 5 quyển

sách Sinh.

a) Có bao nhiêu cách xếp 14 quyển sách lên giá sách?

b) Có bao nhiêu cách xếp sao cho sách cùng môn học ở cạnh nhau?

1.10. Có bao nhiêu số có năm chữ số lấy từ năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5 trong đó

hai chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau?

1.11. Trong mặt phẳng có n điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng.

Hỏi có thể vẽ được bao nhiêu đường thẳng, mỗi đường thẳng đi qua 2

điểm trong số n điểm đã cho?

l ễ12. Cho đa giác lồi n đỉnh D], D2, ... , Dn. Có tất cả bao nhiêu đường chéo?

l ế13. Có 12 điểm nằm trên một đường tròn.

a) Hỏi có bao nhiêu tam giác nội tiếp đường tròn có đỉnh nằm trong số

các điểm đã cho?

b) Hỏi có bao nhiêu tứ giác nội tiếp đường tròn có đỉnh nằm trong số các

điểm đã cho?

1.14ề Một hộp đựng 6 bi trắng và 4 bi đen.

a) Có bao nhiêu cách lấy ra 5 bi.

b) Có bao nhiêu cách lấy ra 5 bi trong đó có 2 bi trắng.

c) Có bao nhiêu cách lấy ra 5 bi trong đó ít nhất có 2 bi trắng.

d) Có bao nhiêu cách lấy ra 5 bi trong đó có nhiều nhất 2 bi trắng.

1.15. Có 10 người gồm 7 nam và 3 nữ.

a) Có bao nhiêu cách chọn một uỷ ban gồm 3 người.

b) Có bao nhiêu cách chọn để trong uỷ ban nói trên có một nữ.

c) Có bao nhiêu cách chọn để trong uỷ ban nói trên có ít nhất một nữ.

13