Giáo trình bài tập toán cho vật lý

GIÁO TRÌNH

B 11 T jp OÁN CHO VỆT LÝ ■ m

PHẠM HỬU KIÊN (Chủ biên), NGUYỄN HỒNG LĨNH

Giáo trình

BÀI TẬP TOÁN CHO VẬT LÝ

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

NĂM 2017

0 2 -1 4

MÃ SO: —— -----------

ĐHTN - 2017

2

MỤC LỤC

Lời nói đ ầu ....................................................................................................4

ChuoTig 1. GIẢI TÍCH VÉC T O ............................................................ 5

I. Tóm tẳt lý thuyết...................................................................................... 5

II. Bài tập giải m â u .....................................................................................11

III. Bài tập chương 1.................................................................................. 34

IV. Đáp số một số bài tập chương 1......................................................... 41

Chu-ong 2. PHƯƠNG TRÌNH SÓNG..................................................51

I. Tóm tắt lý thuyết.....................................................................................51

II. Bài tập giải m ẫu .................................................................................... 55

III. Bài tập chương 2 .................................................................................. 79

IV. Đáp số một số bài tập chương 2 .........................................................84

Chuông 3. PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT.............................. 89

I. Tóm tắt lý thuyết....................................................................................89

II. Bài tập giải m ẫu ..................................................................................102

UI. Bài tập chương 3................................................................................ 108

IV. Đáp số một so bài tập chương 3....................................................... 120

Chuoug 4. PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE........................................123

I. Tóm tất lý thuyết.................................................................................. 123

II. Bài tập giải m ẫu.................................................................................. 129

III Bài tập chương 4.................................................................................135

IV. Đáp số một so bài tập chương 4 ....................................................... 144

TÁI LIỆU THAM KHÁO.............................................................. .......167

3

Lòi nói dầu

P

hương trình đạo hàm riêng là một phần trong môn toán học dùng

cho vật lý. Mặc dù việc tim nghiêm các phương trình toán cho vật

lý đã được quan tâm nghiên cứu từ rất lâu, tuy nhiên cho đên nay những

cuốn bài tập có hướng dẫn giải chi tiết và các dạng bài tập vận dụng còn rất

ít. Đe đáp ứng nhu cầu học môn học Toán cho vật lý của sinh viên Khoa Vật

lý các trường Dại học Sư phạm, làm tài liệu tham khảo cho sinh viên và học

viên ôn thi cao học các trường Đại học Khoa học tự nhiên chúng tôi biên

soạn cuốn sách bài tập Toán cho vật lý.

Nội dung cuốn bài tập Toán cho vật lý bao gồm hai phần: Phần thứ

nhât trình háy những bài tập vê toán tử vi phân trong hệ toạ độ Descartes

vuông góc và trong hệ toạ độ cong trực giao Phan thứ hai là các bài tập vê

ba phương trinh vật lý toán, đó là: Phương trình sóng, phương trình truyên

nhiệt và phương trinh Lapce.

Bô cục cuôn sách gôm bôn chương, mỗi chương được chia ra thành

bốn phan: I. Tóm tat lý thuyết, II. Bài tập giải mẫu, III. Bài tập chương và

IV. Đáp so mọt số bài tập chương. Chúng tôi hy vọng cuốn sách này sẽ là tài

liệu tham khảo tôt cho những bạn đọc quan tâm.

Các tác già

4

c h ư ơ n g 1

GIẢI TÍCH VÉC TO

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1.1. Truông vô huóiig

Giả sừ trong miền V đã cho trường vô hướng u = u(x,y,z);

M(x,y,z)eV.

• Mặt đang trị hay mặt mức cùa trường u ứng với giá trị c là tập hợp

các điểm của miền V tại đó hàm u có cúng giá trị c không đồi và có phương

trinh:

• Đạo hàm của hàm u(x,y,z) tại điểm M(,(x,y,z) ) € V theo huóng

của véc to’ l là giới hạn (nếu cố) cùa ti số

Au u(M )-u(M „)

khi M dân tới M0 (khi đó p —> 0 ) theo phương cùa đường thăng chứa

véc tơ

trong đó p được xác định từ hệ thức M ữM = p t .

* Neu u(x,y,z) khả vi tại Mo thi tại điểm ấy nó có đạo hàm theo mọi

u(x,y,z) = c ( 1. 1)

p p

õu(M tí) U m u ( M ) - u ( M a)

d i m " m 0 p

hướng c và

5

ÕII(M0) ô u (M 0) ô u (M n) „ õ u (M a) ,,

^ U H c o s a + — ỵ ^ ± L cosfì + — '^lO Ả cosỵ (1 2 )

ô i õx õy õz

trong đó cosa, cos(3, cosy là các cosin chỉ phương cùa c .

• G radien của trường u(x,y,z) tại Mo là một véc tơ, ký hiệu gradu(M0),

được xác định như sau

gr a d u ( M , ) . ^ ì ĩ + ^ !a j +Ỉ S S ^ k (1.3)

õx õy 07,

• Gradien của trường u(x,y,z) tại Mo có phương vuông góc với mặt

mức cúa trường qua điểm M(|, theo phương đó tốc độ biến thiên cùa trướng

u là lớn nhất

• Vơi C |, c 2 là các hằng số; u, U|, u2 là các hàm vô hướng thi:

grad(C,u, + C 2U2) = c,gradu, +c,gradu , (Ma)

grad(U|U 2) = U ịgradu, + u 2gradu, (1 4b)

gradf (u) = f (u)gradu (1 4c)

1.2. T riròng véc to'

Giá sử trong miên í ĩ đã cho trường véc tơ

F (M ) = F ( x ,y ,z ) = Fx( x , y , z ỹ + Fy( x , y , z \ j + Fz( x ,y ,z )k

• Diròng véc to' hay điròng dòng của trường I '\M ) là đường mà tiêp

luyến tại mỗi điềm cùa nó trùng với véc tơ cùa trường tại điểm đó.

Hệ phương trình vi phàn cùa họ đường véc tơ là

dx ch’ d :

— = — = — (1.5)

/•; /•;, /•;

• Thông lirọng của trường véc tơ I' (M ) qua mặt đinh hương s (S hữu

hạn, trơn từng mành trong miền Q, có véc tơ đơn vị pháp tuyên dương tương

ứng là n(K1) — (c0 s a ,c 0 sfi,c 0 s ỵ )) theo hướng pháp tuyên dương lá

6

(1.7

ct» = J J f dydz +Fydzdx + F2dxdy ( 1 6

ĩ

hoặc dưới dạng tích phân mặt loại 1

<t» = JJ (F cosa +Fycos/3 + /7_cosỵ)dS=

s

= \ịV (M )n (M )d S = \ ị F d S

s s

trong đó F„ là hinh chiếu cùa F {M ) trên phương của n ( M ) .

* Nếu mặt s kín là biên cùa miền V, các hàm số Fx, Fy, Fz liên tục cùn

với các đạo hàm riêng cấp một trong miền V thi theo công thức Ostrogradsl

fl> = J j J + ^—L + )cixdydz = J J J <JivF(M )dxiiydz (1. í

ự ỔJC õy õz y

* Dive của triròng véc to' F {M )tại điểm M, ký hiệu clívI'\M ) ,

một vô hướng được định nghĩa là

d ív ĩ\M ) = ^ + ^ + ^ (1.9

ôx ôy õz

* Với C|, c 2 là các hằng số; u là hàm vô hướng; F ,F i,F 2 là hàm véc tơth

div(C ,Fi + C 2Ẽ2) = C,divFi + C 2divF2 (1.10;

div(uF) = udivF + F.gradu (1.101

* Luu thông của trường véc tơ l' (M ) dọc theo L (L là đường kí

trơn nằm trong £1), ký hiệu c , được định nghĩa:

c = J Fxdx + Fydy + Fzdz ( 1.1

L

* Nêu s là mặt định hướng hữu hạn, trơn trong miền Cì và có biên

đường L thì theo công thức Stokes:

„ _ ÔF QP ổ /7, dì' ÔF , . n 1T1

c = — ~ ^)d y d z + (— A - ~ ^ ) d z d x + (— ^ - - ~ -)d x d y (1.12)

" ổv Ổ2 ổz & ¿k ổy

• Rôta của trường véc to7*'(M)tại điểm M ký hiệu roI l' ( M ), là véc tơ

i j k

d _ õ _ d _

dx õy dz

Fv F Ẹ

0 . 3 )

ạy & & & a t ạ>

• Trường véc tơ I' (M )áư ợc gọi là trường ống nếu d iv J''(\4 ) = 0 tại

V M; được gọi là trường thế nếu r o tì'( M ) = 0 tại V M. Vì

ro t(gradu(M )) = 0 tại V M nên trường h '{M ) = g ra d u (M ) là trường

thế và hàm u(M) được gọi là hàm thế vị của trường F ( M ) . Hàm thế u(M)

được xác định như sau:

.r y 2

u (x,y,z) = j Fx(x ,y 0,z0)dx+ Ị Fy( x ,y ,z 0)dy+ j F:(x ,y ,z )d z + C (1.14)

*0 )’a . -0

trong đó M 0(.v0, vn,z 0) điểm tại đó các hàm Fx , Fy, F. liên tục

• Điểm M được gọi là điểm xoáy nếu rot I' ( M ) ;£ 0 ; được gpi là điểm

không xoáy nếu ro! I‘(M ) = 0

1.3. Toán tử vi phân

Toán tú H am inton hay toán tử N abla là véc tơ tượng trưng

- Ơ T tì - d r

V = — -i + - —j + — k .

dx ôy õz

(1.15)

Toán tư I laminton có hai đặc trưng: Véc tơ và đạo hàm; Đặc trưng

đạo hàm the hiện nhir sau: Toán tử này tác đông lẻn các hàm(vô hướng

hoặc véc lơ) theo các quy tẳc cùa đạo hàm. Đặc trưng véc tơ thề hiện nhu

8

sau: có thể thực hiện mọi phép toán véc tơ đối với Nabla như một véc tơ

bình thường khác.

Ta quy ước: Hàm số viết đằng trước toán từ thi không chịu tác động

cùa toán từ; hàm số viết đằng sau toán từ thi chịu tác động cùa toán từ.

Trường hợp hàm số đứng sau toán tử nhưng không chịu tác động cùa toán từ

thi ta quy ước viêt thêm dâu (*) ờ phia trên bên phải hàm sô đó.

Dùng toán từ Nabla ta có thể viết grad, div, rot ờ dạng đơn giản hơn, từ

đó giúp cho việc tính toán các đại lượng này thuận tiện hơn.

gradu = Vu , được gọi là tích cùa VCC tơ V với vô hướng u(x,y,z)

D ivF = V .F, được gọi lả tích vô hướng của véc tơ V với véc tơ

F(x,y,z)

rotF = |^V;Fj, được gọi là tích có hướng véc tơ V với véc tơ

F (x.y,z))

• Toán tử Laplace, ký hiệu A, là tích vô hướng cùa V với chinh V.

A = V V = V 2= - ^ - + - f - + ^ - (1.16)

ổ X õ y ổ z

Div(gradu) = V .(V u) =( V . V )u =Au (1.17)

1.4. Ilệ tọa độ cong

VỊ trí cùa điểm M trong không gian được xác định bằng bán kính véc

tơ r = OM . Trong hệ toạ độ Đề các vuông góc r = xi + y j + zk nghĩa là

điểm M được xác định bời bộ 3 số (x,y,z). Trong nhiều bài toán dể xác định

vị trí cùa điểm M một cách thuận tiện hơn ta dùng bộ 3 số khác (q, q2 q3)

và gọi (qi,q2,q3) là toạ độ cong của điểm M.

9

IRnh 1.1. Hệ tọa độ cong với 3 Irtic tọa độ qi, q2. Ọỉ

Giữa toạ dộ Đề các (x,y,z) và toạ độ cong(qi,q2,q3) cùa điểm M có mối

liên hệ

<7, =<?,(*, v ,z )

• qi = q i( x ,ỵ ,z )

Hoặc ngược lại:

x = x (q í,q ĩ ,q ì )

• v = .v(<7,//2W ,)

: = : (q í,q 2,q ĩ )

Tập hợp các điểm trong không gian sao cho trên đó toạ độ q, không

đổi gọi là mặt toạ độ qi (Đây chinh là mặt đẳng trị của trường vô hưáng xác

định bởi hàm qi= qi(x,y,z)). Các mặt toạ độ q2, q.1 được định nghĩa tương tự

10

Giao cùa các mặt toạ độ được gọi là các đường toạ độ Đường qi I

giao cùa mặt q2 với mặt q3. Tương tự với đường q2 và đường q3.

Hệ toạ độ cong được gọi là trực giao nếu tại mỗi điểm các đường to

độ đôi một vuông góc.

Điều kiện cần và đù để hệ toạ độ cong trực giao là:

õĩ ÕT _ õx ổx ổy ổy õz ôz _ Q

dq, ỡqj ổq, ổq, aq, ổqj ổq;

A . ỡ q , ổ q j ổ q | ỡ q j ỡ q d q

hoăc gradq.gradũ: = — + — — + — = 0 • ỡx ổx ổy ỡy ôz õz

(1.18)

(1 19

với i = 1, 2, 3 luôn khácj = 1, 2, 3.

• Hệ số lame

Với hệ toạ độ cong trực giao thi hệ số lame tại điểm M theo các toạ đ

qị được xác định như saụ:

l i , - . / # ) 1+ ( # 4 ’ + # ■ > ’ . (¡ = 1.2.3) óq¡ ôq, ổq,

hoặc

1

( 1.20

( 1.21;

với i = 1, 2, 3.

• Biểu thú-c của gradu, dívF , Au, rotF trong hệ toạ độ cong trực gia<

Với u = u(q],q2,q3) là trường vô hướng, F = F (q ,,q 2,q 3) ià trườr

véc tơ thi:

, 1 ỡu — 1 ỡu — 1 ỡu — gradu = — — e, + — .----- e , + — .------e,

h, ổq, h2 ổq2 h3 ổq3 (1.22

* divF = - —

h,h 2h,

* Rot F có các thành phần

a(F,h2h3) | g(F2h 3h,) | a(Fah,h2)

ôq, aq2 ổq, ( 1.22

1

R ,= h jh j

R 2 =

h,h,

R ,= h,h2

g(F3h3) g(F2h2)

ổq2 ổq,

5(F,h.) d(F3h,)

5q, 0q,

a(F2h2) g(F,h,)

5q, 0 q 2

(1.24)

All =

1 : õ h2h, õ (hA 8 (hlh2 à ì

h,h2li, aq, h, à ịt ck\2 hj ổq2 ổq, hj ỡq,

(1.25)

• Thông lirọng cửa tru-òng véc tff F(q1,q 2,q í ) qua mặt s.

Cho s là mặt cong nằm trên mặt toạ độ q3 (q3 không đồi trên S) Giả sử

trên s q, biến thiên từ a đến b, với qi cố định, toạ độ q2 biến thiên từ (|)(qi)

đến Khi đó thông lượng của F (q |,q 2,q 3) qua mặt s được xác định

như sau:

® = j |F 1ds = |d q , J Fí (ql,q2,q ,)h l(q 1,q2,q3)h2(q l,q2,q:i)dq2 (1.26)

s a <p(q, )

Thông lượng cùa véc tơ F ( q ,,q ,,q ,) qua mặt s nằm trên mặt toạ độ

q, hoặc q2 cũng được tính tương tự.

II. BÀI T Ậ P G IẢ I MÂU

Bài tập 1. Tìm mặt đẳng trị của trường u(x,y,z) = X2 + y2 - z qua

điểm

a) M„c I ; 1 ; 1 >

b)M ,(0;0;0).

Bài giải

Theo (I I) phương trinh mặt đẳng trị cùa trường có dạng

X2 + y2 - z2 = c

12

a) để mặt qua Mo(l ;1,1) ta phải có l+ l-l= c => C—1 nên phương trình mặt

đẳng trị qua Mo là X2 + y2 - z2 = 1. Đó là mặt hypeboloit tròn xoay 1 tâng.

b) để mặt qua M!(0;0,0) ta phải có c = 0 nên phương trình mặt đẳng trị

qua Mi là X2 + y2 - z2 = 0. Đó là mặt nón tròn xoay.

z

Bài tâp 2. Tim măt đăng tri cùa trường u (x ,y ,z) = I

yỊx2 + y 2 + z 2

Bài giải

Theo (1.1) phương trình mặt đẳng trị của trường có dạng

r = c, (x2 + y 2 + z 2 * 0)

n ~ ~ yỊx + y + z

Ta có |c| = , 1 ^ < -Ị=L = 1, dấu “=” xẩy ra <=> X2 + y2 = 0.

yjx2 + y 2 + z 2 \lz 2

• c = - 1. Khi đó

\ x + ỷ + z \^ jx 2 +y2 +z2 = z \ x 2+ y = 0

Đó là các điểm thuộc nửa trục oz VỚI z < 0.

• c = 1. Khi đó￾yjx2 + ỷ +z I yjx2 + y2+z2 = z \x 2+ y2=0

Đó là các điềm thuộc nửa trục oz với z > 0.

Ịz = 0

z> 0

• c = 0. Khi đó

z ị z = 0

yỊx2 + y 2 + z 2 ~ \ x 2+ y 2 + z 2 * 0

Đó là các điểm thuộc mặt phẳng Oxy trừ gốc 0

• -K c <0. Khi đó

z

yịx2 + y 2 +z'

- ~ c

ịz< 0

I CyỊx2+ y2+ zĩ =:

z< 0

13