Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
Giáo án chi tiết bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 9
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
GIÁO ÁN CHI TIẾT BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9
Ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn A. KiÕn thøc c¬ b¶n:
I. Mét sè ph ¬ng ph¸p th êng vËn dông khi gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn
1. Ph ¬ng ph¸p ® a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch:
C¸c vÝ dô:
VD1: T×m c¸c nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: xy – x – y =2
Gi¶i:
ViÕt PT vÒ d¹ng: (x – 1 )(y – 1 ) =3
Do x, y ∈Z nªn (x-1), (y-1) ∈Z vµ x-1, y-1 lµ íc cña 3
Do vai trß cña x,y nh nhau nªn kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t g/s x≥ y
1 3 4
1 1 2
1 1
1 1 0
1 3 2
x x
y y
x y
x x
y y
− = = − = =
⇒ − ≥ − ⇒ ⇔
− = − = − = − = −
VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm (x;y) = (4;2), (0;-2) , (2;4), (-2;0)
VD2: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: x2+x+6=y2 (2)
Gi¶i: Ph¬ng tr×nh ®· cho t¬ng ®¬ng víi
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
4 4 24 4
2 2 1 23
2 2 1 2 2 1 23
2 2 1 0 2 2 1 0
x x y
y x
y x y x
y x y x
+ + =
⇔ − + =
⇔ + + − + =
+ + > ⇒ − + >
Ta cã: 2 2 1 2 2 1 y x y x + + > − + nªn
5
6
6
2 2 1 23 2 12 6
2 2 1 1 2 1 11 5
6
6
6
x
y
x
y x y y
y x x x
y
x
y
=
=
= −
+ + = = = −
⇔ ⇔
− + = + = =
= −
= −
=
VËy ph¬ng tr×nh cã c¸c nghiÖm nguyªn (5;6),(5;-6),(-6;6),(-6,6)
2. § a vÒ ph¬ng tr×nh tæng:
C¸c vÝ dô:
VD1: T×m c¸c nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh: x2
– 4xy +5y2=169
Gi¶i:
Pt t¬ng ®¬ng víi: (x – 2y)2
+y2
=169 =132+02=122+52
Mµ y∈Z+
;
2 0
13
2 5
2
12
2 12
5
x y
y
x y
x y N
y
x y
y
− =
=
− =
− ∈ ⇒
=
− =
=
Tõ ®ã t×m ®îc nghiÖm nguyªn d¬ng cña PT: (26;13), (29;12) , (19;22), (22;5)
VD2: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh:
-
Sinh viªn: §oµn ThÞ ¸nh NguyÖt- Líp §¹i häc liªn th«ng to¸n Lý - K50
1
GIÁO ÁN CHI TIẾT BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9
1 10
1 7
x
y
z
+ =
+
Gi¶i:
Ta cã
10 1 1 1 1 1
7 1 1 1 2 2
3 3
x
y
z
= + ⇒ + = +
+ + +
V× sù ph©n tÝch trªn lµ duy nhÊt nªn ta cã x=1;y=2;z=3
3. NhËn xÐt vÒ Èn sè:
VD: Gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn: 1+x+x2+x3=y3
Gi¶i:
Ta cã x2+x+1>0 vµ 5x2+11x+7>0 víi mäi x
Nªn (1+x+x2+x3
) – (x2+x+1)< 1+x+x2+x3<(1+x+x2+x3
) +(5x2+11x+7)
Do ®ã x3<y3<(x+2)3
suy ra y3=(x+1)3
Tõ ®ã suy ra x(x+1)=0
VËy nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh ®· cho lµ: 0 1
;
1 0
x x
y y
= = − = =
4. VËn dông tÝnh chÊt cña tËp hîp sè nguyªn.
VD1: Gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn: 3x+17y=159
Gi¶i:
Gi¶ sö x,y lµ c¸c sè nguyªn tho¶ m·n ph¬ng tr×nh
Ta thÊy 3x,159 chia hÕt cho 3 nªn 17y ph¶i chia hÕt cho 3 mµ 17 kh«ng chia hÕt cho 3
vËy y ph¶i chi hÕt cho 3 suy ra y=3t(t∈ Z )
Thay y=3t vµo pt ta ®îc: x=53-17t
Thay x=53-17t; y=3t vµo pt, ta ®îc nghiÖm ®óng
VD2: T×m nghiÖm nguyªn tè cña ph ¬ng tr×nh: x2
– 2y2
= 1
Gi¶i:
PT t¬ng ®¬ng víi (x+1)(x-1)=2y2
V× x2=2y2+1 lµ sè lÎ nªn x+1, x-1 lµ sè ch½n do ®ã (x+1)(x-1) chia hÕt cho 4 vËy y2
chia
hÕt cho 2 suy ra y chia hÕt cho 2 mµ y lµ sè nguyªn tè nªn y=2
VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: (3;2)
5. Ph¬ng ph¸p chøng minh b»ng ph¶n chøng.
b. VÝ dô: T×m c¸c nghiÖm nguyªn cña pt: x3+2y3=4z3
(1)
Gi¶i:
Gi¶ sö (x0;y0;z0) lµ mét nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh (1) .
Khi ®ã x0 chia hÕt cho 2 . ®Æt x0=2x1 . Thay vµo (1) ta cã y0 chia hÕt cho 2, ®Æt y0=2y1
Thay vµo (1) ta cã z0 chia hÕt cho 2 ,®Æt z0=2z1.
Nh vËy nÕu (x0;y0;z0) lµ nghiÖm cña (1) th× (x1;y1;z1) còng lµ nghiÖm cña (1) .
Qu¸ tr×nh cø tiÕp tôc m·i suy ra x0,y0,z0 chia hÕt cho 2k
(k thuéc tËp sè tù nhiªn)
VËy (x0;y0;z0)=(0;0;0)
B. Bµi tËp ¸p dông
Bµi1: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña c¸c ph¬ng tr×nh:
a/ 5x-y=13
b/23x+53y=109
c/12x-5y=21
d/12x+17y=41
e/5x+10y=3
g/4x+12y=7
h/ 4x+11y=47
i/12x-7y=45
k/9x+10y=135
Bµi2: Gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn
a/ x2+91=y2 e/ 2m-2n=1984 k/ x+y=xy
b/x2
-656xy-657y2=1983 g/ (x+5)(y+6)=3xy l/x2+x+1991=y2
c/x2
-25=y(y+6) h/ y3-x3=91 m/x2=y2
+2y+13
d/ 3 2 2 6 332
2
x y x − = + i/x4
=y2
(y-x2
) n/x2
-6xy+5y2
=121
Bµi3: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng :
-
Sinh viªn: §oµn ThÞ ¸nh NguyÖt- Líp §¹i häc liªn th«ng to¸n Lý - K50
2