Giải tích ngẫu nhiên và ứng dụng trong toán tài chính

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————–

VÕ TUYẾT NHUNG

GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN

VÀ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN TÀI CHÍNH

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60.46.01.02

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2017

Công trình được hoàn thành tại

Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN

Người hướng dẫn khoa học: TS. LÊ VĂN DŨNG

Phản biện 1:

.................................................

Phản biện 2:

.................................................

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp

thạc sĩ Khoa học họp tại Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN vào ngày

09 tháng 09 năm 2017

Có thể tìm hiểu luận văn tại

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Giải tích ngẫu nhiên bắt đầu hình thành từ đầu thế kỷ XX. Đầu tiên phải kể

đến sự ra đời của khái niệm toán học về chuyển động Brown hay quá trình Wiener

đưa ra bởi Louis Bachelier (1900) và Albert Einstein (1905). Đặc biệt là sự sáng

tạo ra tích phân ngẫu nhiên Itô (1944) đã giúp giải quyết nhiều bài toán ngẫu

nhiên trong kinh tế, vật lý,... mà Giải tích tất định cổ điển không sử lý được.

Giải tích ngẫu nhiên bao gồm ba bộ phận chính :

1. Lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên.

2. Lý thuyết các tích phân ngẫu nhiên.

3. Phương trình vi phân ngẫu nhiên.

Giải tích ngẫu nhiên ngày nay đóng một vai trò hết sức quan trọng trong lý

thuyết xác suất – thống kê hiện đại, được ứng dụng rộng rãi ở nhiều lĩnh vực

khác nhau, đặc biệt là trong kinh tế, thị trường tài chính. Trong hơn một thế kỷ

qua , các nội dung này đã phát triển rất mạnh mẽ và là những công cụ không thể

thiếu được trong các nghiên cứu về tài chính. Lý do là bản thân giá chứng khoán

và giá các tài sản tài chính biến động một cách ngẫu nhiên nên có thể xem chúng

như các quá trình ngẫu nhiên .

Giải tích ngẫu nhiên đã làm cơ sở cho việc mô hình hóa các biến động giá cả

trên thị trường tài chính. Một số khái niệm cơ bản của giải tích ngẫu nhiên, trong

đó có martingale, chuyển động Brown, tích phân Ito, tích phân Stratonovich,

Phương trình vi phân ngẫu nhiên đã được ứng dụng rộng rãi trong việc nghiên

cứu thị trường tài chính. Các mô hình định giá , chẳng hạn như mô hình Black –

Scholes, đều dựa trên kiến thức về Giải tích ngẫu nhiên . Hơn nữa, việc xây dựng

các mô hình toán học và ứng dụng chúng vào việc tính toán trong thị trường tài

chính vẫn còn là một lĩnh vực khá mới mẻ ở Việt Nam.

Với các lí do trên, dưới sự hướng dẫn của TS. Lê Văn Dũng, tôi chọn nghiên

cứu đề tài: “Giải tích ngẫu nhiên và ứng dụng trong toán tài chính”.

2. Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu, nghiên cứu kỹ các tài liệu từ nhiều nguồn khác nhau, cố gắng lĩnh

2

hội được các kiến thức về giải tích ngẫu nhiên, cũng như ứng dụng của nó trong

toán tài chính.

Hy vọng luận văn có thể được sử dụng như một tài liệu tham khảo bổ ích cho

sinh viên các trường Đại học, Cao đẳng.

3. Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là:

- Giải tích ngẫu nhiên

- Ứng dụng của giải tích ngẫu nhiên trong toán tài chính

Phạm vi nghiên cứu của luận văn chỉ đi sâu tìm hiểu các khái niệm, định nghĩa,

đính lý liên quan, từ đó đưa ra ứng dụng liên quan đến giải tích ngẫu nhiên trong

toán tài chính.

4. Phương pháp nghiên cứu

Với đề tài: “Giải tích ngẫu nhiên và ứng dụng trong toán tài chính”

tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau:

Thu thập, phân tích và tổng hợp tài liệu.

Phân loại và hệ thống hóa lý thuyết.

Trao đổi với giáo viên hướng dẫn.

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Đề tài sẽ trình bày chi tiết cở sở lý thuyết và các giải thuật để giải các bài

toán liên quan đến giải tích ngẫu nhiên trong toán tài chính. Luận văn có thể sẽ

là tài liệu tham khảo cho các sinh viên, học viên cao học và những người có nhu

cầu tìm hiểu về giải tích ngẫu nhiên và toán kinh tế.

6. Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm 2 chương:

- Chương 1: Kiến thức cơ sở.

Trình bày các khái niệm về xác suất, biến ngẫu nhiên, các tham số đặc trưng

của biến ngẫu nhiên, vector ngẫu nhiên, quá trình ngẫu nhiên.

- Chương 2: Ứng dụng trong toán tài chính.

Trình bày các ứng dụng trong toán tài chính như xây dựng phương trình

Black-Scholes, định giá quyền chọn,chứng khoán phái sinh, bảo hộ giá và tối ưu

hóa danh mục đầu tư.

3

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. XÁC SUẤT

1.1.1. σ-Đại số

Định nghĩa 1.1.1. Cho Ω là một tập hợp thì một σ-đại số F trên Ω là một

họ những tập con của Ω với các tính chất sau:

i) ∅ ∈ F

ii) Nếu F∈ F thì F

c=Ω\F∈ F

iii) Nếu A1, A2, ... ∈ F thì S∞

i=1 Ai ∈ F

1.1.2. σ-Đại số Borel trên R

k

Định nghĩa 1.1.2. σ- đại số Borel trên R

k

, kí hiệu bởi B(R

k

),được xác định

như là một σ- đại số nhỏ nhất chứa tất cả các tập mở trong R.

1.1.3. Không gian xác suất

Định nghĩa 1.1.3. Một không gian xác suất là bộ (Ω, F, P), ở đây Ω là một

tập hợp không rỗng, F là một σ- đại số trên Ω, và P : Ω → R là một độ đo xác

suất trên F sao cho:

i) 0 ≤ P(A) ≤ 1 với mọi A ∈ F;

ii) P(Ω)=1;

iii) Với mọi A1, A2, ... ∈ F với Ai

T

Aj = ∅ khi i 6= j:

P(

S∞

i=1 Ai) = P∞

i=1 P(Ai)

Tập hợp Ω được gọi là không gian mẫu, phần tử của F được gọi là biến cố và

mỗi phần tử của Ω được gọi là biến cố sơ cấp.

1.2. BIẾN NGẪU NHIÊN

Định nghĩa 1.2.1. Cho (Ω, F, P) là một không gian xác suất. Một biến ngẫu

nhiên nhận giá trị thực là bất kì ánh xạ Borel đo được X : Ω → R sao cho với

mỗi tập Borel B ∈ B(R), X−1

(B) ∈ F

4

Định nghĩa 1.2.2. Cho X : Ω → R là một biến ngẫu nhiên, thì ánh xạ

PX : B(R) → R với

PX(B) = P(X−1

(B)) = P([X ∈ B])

là một độ đo xác suất trên R và nó được gọi là quy luật xác suất của X.

Mệnh đề 1.2.3. Nếu P : B(R) → R là một độ đo xác suất. Khi đó tồn tại

một biến ngẫu nhiên X : R → R sao cho P là đồng nhất với luật xác suất PX kết

hợp với X.

Định nghĩa 1.2.4. Cho X : Ω → R là một biến ngẫu nhiên. Khi đó σ- đại

số FX = X−1

(R) được gọi là σ− đại số sinh bởi X.

Định nghĩa 1.2.5. Cho X : Ω → R là một biến ngẫu nhiên. Ánh xạ

FX : R → [0; 1]

với

FX(x) = P(X ≤ x), x ∈ R,

được gọi là hàm tích lũy(cumulative function) của X.

Mệnh đề 1.2.6.

i) Với mọi a, b ∈ R, a < b : FX(a) − FX(b) = P(a < X ≤ b)

ii) FX(x) là hàm tăng và liên tục phải

iii) limx→−∞ FX(x) = 0 và limx→+∞ FX(x) = 1

Mệnh đề 1.2.7. Ngược lại, nếu ta cho một hàm F : R → [0; 1] thỏa mãn ii)

và iii) của mệnh đề 1.26 thì bằng nhận xét i) ta có thể xác định một độ đo xác

suất PX : B(R) → R liên kết với một biến ngẫu nhiên X mà hàm phân phối tích

lũy là đồng nhất trên F.

Định nghĩa 1.2.8. Một biến ngẫu nhiên X là liên tục nếu hàm phân phối

tích lũy của FX của nó là liên tục.

Nhận xét 1.2.9. Một biến ngẫu nhiên X là liên tục nếu và chỉ nếu P(X =

a) = 0 với mọi a ∈ R.

Định nghĩa 1.2.10. Cho X là một biến ngẫu nhiên liên tục. Nếu tồn tại một

hàm f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ R sao cho:

5

FX(x) = R x

−∞ f(t)dt

thì f(x) được gọi là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X.

Định nghĩa 1.2.11. Một biến ngẫu nhiên X được gọi là rời rạc nếu miền giá

trị của nó là tập hữu hạn hoặc tập vô hạn đếm được. Nếu X(Ω) là miền giá trị

của biến ngẫu nhiên rời rạc X thì

P(x) = 

P(X = x), nếu x ∈ X(Ω)

0, nếu x /∈ X(Ω)

được gọi là hàm xác suất của X.

1.3. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN

1.3.1. Kì vọng toán

Định nghĩa 1.3.1. Kỳ vọng hoặc giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên X

(kí hiệu E(X)) được xác định như sau:

i) Nếu X rời rạc và nhận các giá trị xi với xác suất tương ứng pi = P(X = xi)

thì

E(X) = X

i=1

xipi

ii) Nếu X liên tục và có hàm mật độ f(x) thì

E(X) = Z +∞

−∞

xf(x)dx

Nhận xét 1.3.2.

i) E(C) = C với mọi hằng số C

ii) E(CX) = CE(X) với mọi hằng số C

iii) E(X1 + X2 + ... + Xn) = E(X1) + E(X2) + ... + E(Xn)

iv) Nếu X1, X2, ...Xn độc lập thì E(X1...Xn) = E(X1)...E(Xn)

1.3.2. Phương sai

Định nghĩa 1.3.3. Phương sai của biến ngẫu nhiên X (kí hiệu V ar(X)) là

đại lượng đo sự phân tán bình phương trung bình của X xung quanh giá trị trung

bình E(X). Trong đó:

V ar(X) = E(X − EX)

2