Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
Giải tích 3
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
PDF by http://www.ebook.edu.vn 39
Chöông 3
HAØM SOÁ THÖÏC THEO MOÄT BIEÁN SOÁ THÖÏC
Trong chöông naøy, baèng caùch duøng khaùi nieäm veà giôùi haïn cuûa daõy soá,
chuùng ta seõ khaûo saùt khaùi nieäm giôùi haïn, tính lieân tuïc vaø tính khaû vi cuûa moät
haøm soá trong phaàn 1, 2 vaø 3. Cuoái cuøng, caùc haøm soá sô caáp cô baûn ñöôïc giôùi
thieäu vaø khaûo saùt trong phaàn 4.
1. GIÔÙI HAÏN CUÛA HAØM SOÁ
Cho a , ∈ = +∞ −∞ U { } vaø f laø moät haøm soá xaùc ñònh treân moät laân caän
cuûa a, coù theå khoâng xaùc ñònh taïi a, nghóa laø f xaùc ñònh treân moät khoaûng môû I,
coù theå khoâng xaùc ñònh taïi a, vôùi I a , a , = −α +α ( ) α > 0, khi a ∈ ; I , , = α +∞ ( )
α > 0 khi a vaø = +∞ I , , = −∞ −α ( ) α > 0 khi a = −∞ .
1.1. Ñònh nghóa. Ta noùi haøm f coù giôùi haïn l khi x ∈ tieán veà a khi f bieán moïi
daõy ( ) nx caùc phaàn töû cuûa I, coù giôùi haïn a, ≠ nx a , thaønh daõy ( ) ( ) n f x hoäi tuï veà
l, kyù hieäu ( ) →
= x a
lim f x l hay f x l khi ( ) → x a → .
Cho a ∈ vaø f laø haøm soá xaùc ñònh treân khoaûng = −α ( ) 1
I a , a , α > 0. Ta
noùi f coù giôùi haïn beân traùi ∈ 1
l khi x tieán veà a, khi f bieán moïi daõy ( ) nx caùc
phaàn töû cuûa 1
I hoäi tuï veà a thaønh daõy ( ) ( ) n f x hoäi tuï veà 1
l , kyù hieäu
→ −
= 1
x a
lim l .
Khi haøm soá f xaùc ñònh treân khoaûng = +α ( ) 2I a, a , α > 0 , ta coù ñònh nghóa
töông töï cho giôùi haïn beân phaûi 2
l cuûa f taïi a, kyù hieäu
→ +
= 2
x a
lim f (x) l .
Chuù yù raèng, ñeå khaûo saùt giôùi haïn beân traùi cuõng nhö beân phaûi cuûa f taïi a,
ta laàn löôït thay ñieàu kieän ≠ nx a trong ñònh nghóa cho giôùi haïn cuûa f taïi a
baèng ñieàu kieän < nx a , > nx a .
Ví duï 1. i)
→
= x a
lim x a ;
→+∞
= +∞
x
lim x ;
→−∞
= −∞ x
lim x .
ii)
→
= 1 1
x a x a
lim khi a 0 ≠ ;
→ +
= +∞ 1
x x 0
lim ;
→ −
= −∞ 1
x x 0
lim ;
→+∞
= 1
x x
lim 0;
→−∞
= 1
x x
lim 0.
iii) Cho haøm soá ( ) = x
x
f x vôùi mieàn xaùc ñònh { } ∗ = \ 0 . Ta chöùng minh
raèng ( ) x 0 →
lim f x khoâng toàn taïi. Thaät vaäy, xeùt daõy ( ) nx , vôùi ( ) − =
n 1
n n
x , ∗
PDF by http://www.ebook.edu.vn 40
Ta coù ( ) ∗ ⊂ nx , →∞
= n
n
lim x 0 nhöng ( ) ( ) →∞ →∞ →∞
= =− n
n
x n
n
n nn x
lim f x lim lim 1 khoâng
toàn taïi.
Ta cuõng coù theå chöùng minh ñieàu naøy baèng caùch xeùt caùc daõy soá ( ) nx vaø
( ) ny , vôùi = − 1
n n
x , = 1
n n
y , ∗ n ∈ . Ta coù ( ) nx , ( ) ∗ ⊂ ny ,
→∞ →∞
= = n n
n n
lim x lim y 0 nhöng ( ) →∞ →∞
= =− n
n
x
n
n n x
lim f x lim 1 vaø
( ) →∞ →∞ = = n
n
y
n
n n y
lim f y lim 1.
Baèng caùch duøng tính chaát cuûa giôùi haïn daõy soá, ta ñöôïc
1.2. Meänh ñeà. Cho f vaø g laø hai haøm soá xaùc ñònh treân moät laân caän I cuûa a ,
coù theå khoâng xaùc ñònh taïi a . Neáu
→
= x a
lim f (x) l vaø
→
= x a
lim g(x) k thì
i) ( ) →
+ =+
x a
lim f g (x) l k ,
ii) ∀λ ∈ , →
λ =λ
x a
lim f (x) l,
iii)
→
= x a
lim f (x) l ,
iv) ( ) →
⋅ =⋅ x a
lim f g (x) l k ,
v)
→ →
= = 1 11
xa xa f f (x) l lim (x) lim vôùi ñieàu kieän l 0 ≠ ,
vi) Neáu ∀ ∈x I , f (x) g(x) ≤ thì l k ≤ ,
vii) Neáu
→ →
= = xa xa
lim f (x) lim g(x) l vaø f (x) h(x) g(x) ≤ ≤ , ∀ ∈x I , thì
→
= x a
lim h(x) l ,
vôùi ñieàu kieän laø veá phaûi khoâng xuaát hieän daïng voâ ñònh, nghóa laø khoâng xuaát
hieän daïng ∞−∞ trong i) vaø daïng 0 ⋅ ∞ trong iv).
Chuù yù raèng neáu ( ) →
= x a
lim f x l vaø ( ) →
= x a
lim g x k vôùi l, k , thì ∈
( )
→ ( ) = f x l
x a g x k lim neáu khoâng xuaát hieän daïng voâ ñònh 0
0
vaø ∞
∞ .
Ta cuõng nhaän ñöôïc keát quaû töông töï cho giôùi haïn beân traùi vaø giôùi haïn
beân phaûi.
2. HAØM SOÁ LIEÂN TUÏC
Cho a ∈ vaø f laø moät haøm soá xaùc ñònh treân moät laân caän cuûa a.
2.1. Ñònh nghóa. Ta noùi f lieân tuïc taïi a khi
→
= x a
lim f (x) f
PDF by http://www.ebook.edu.vn 41
Ñieàu naøy bao haøm :
− f xaùc ñònh taïi a;
− giôùi haïn cuûa f khi x tieán veà a toàn taïi;
− giôùi haïn cuûa f khi x tieán veà a baèng vôùi giaù trò cuûa haøm soá f taïi a.
Ví duï 2. Töø ví duï 1, i), ta coù haøm soá f x x lieân tuïc taïi moïi ( ) = a ∈ . Hôn
nöõa, baèng caùch duøng meänh ñeà 1.2, iv), ta coù theå chöùng minh baèng quy naïp
raèng
→
= n n
x a
lim x a , vôùi moïi n ∈ . Do ñoù, haøm soá ( ) = n fx x cuõng lieân tuïc taïi
moïi a ∈ .
2.2. Ñònh nghóa. Cho f laø moät haøm soá xaùc ñònh treân ( − α ⎤
⎦ a , a , α > 0. Ta noùi f
lieân tuïc beân traùi taïi a khi
→ −
=
x a
lim f (x) f (a).
Töông töï, vôùi haøm soá f xaùc ñònh treân ⎡ + α) ⎣a, a , α > 0, ta noùi f lieân tuïc
beân phaûi taïi a khi
→ +
=
x a
lim f (x) f (a) .
f lieân tuïc beân traùi taïi a f lieân tuïc beân phaûi taïi a
f khoâng lieân tuïc beân traùi laãn beân phaûi taïi a
Ví duï 3. Haøm soá
( )
⎧ ≠ ⎪ = ⎨
⎪
⎩ =
x
x
khi x 0
f x
1 khi x 0
lieân tuïc beân phaûi taïi 0, haøm soá
( )
⎧ ≠ ⎪ = ⎨
⎪
⎩− =
x
x
khi x 0
g x
1 khi x 0
lieân tuïc beân traùi taïi 0 nhöng haøm s