Giải tích 2

PDF by http://www.ebook.edu.vn 18

Chöông 2

DAÕY VAØ CHUOÃI SOÁ

Daõy soá laø haøm soá coù mieàn xaùc ñònh laø taäp ￾ caùc soá nguyeân töï nhieân.

Ngöôøi ta thöôøng duøng daõy soá laøm moâ hình cho caùc hieän töôïng rôøi raïc. Chaúng

haïn khi ngöôøi ta ño ñaïc caùc ñaïi löôïng taïi nhöõng thôøi ñieåm caùch ñeàu nhau nhö

saûn löôïng haøng naêm, chæ soá giaù tieâu duøng haøng thaùng, keát toaùn naêm ...

1. KHAÙI NIEÄM TOÅNG QUAÙT

1.1. Ñònh nghóa. Daõy soá laø moät aùnh xaï töø ￾ vaøo ￾ lieân keát moãi n ∈ ￾ vôùi

∈ ￾ nu ; kyù hieäu

( )

Φ →

Φ ≡

￾ ￾

a n

:

n nu

Khi khaûo saùt daõy soá, ngöôøi ta thöôøng thay n n baèng kyù hieäu a Φ ( )

a n n u , trong ñoù bieán n ∈ ￾ ñöôïc goïi laø chæ soá.

Daõy soá coøn ñöôïc kyù hieäu bôûi

( ) n n∈￾ u , ( ) n n

u , ( ) nu , a n n u hay 1u , 2u , ...

trong ñoù nu ñöôïc goïi laø soá haïng thöù n cuûa daõy ( ) nu vaø 1u laø soá haïng ñaàu.

Ví duï 1. i) Daõy ( ) nu xaùc ñònh bôûi = nu a , n ∈ ￾ , trong ñoù a laø moät haèng

soá (nghóa laø nu khoâng phuï thuoäc vaøo n). Loaïi daõy naøy coøn ñöôïc goïi laø daõy

haèng.

ii) Daõy ( ) nu xaùc ñònh bôûi = nu n , n ∈ ￾ .

iii) Daõy ( ) nu xaùc ñònh bôûi = n

1

u

n , n ∈ ￾ .

iv) Daõy ( ) nu xaùc ñònh bôûi = −( )n

nu 1 , n ∈ ￾ .

v) Daõy ( ) nu xaùc ñònh bôûi = + ( )

n 1

n n

u 1 , n ∈ ￾ .

vi) Daõy ( ) nu xaùc ñònh bôûi ( ) +

= +

n 1 1

n n

u 1 , n ∈ ￾ .

vii) Daõy ( ) nu cho bôûi = 1u 1 , = + 2u 11 , =++ 3u 111 , ... . Ta

noùi ( ) nu xaùc ñònh baèng quy naïp theo n : = 1u 1 vaø vôùi moïi n ∈ ￾ ,

+ =

PDF by http://www.ebook.edu.vn 19

viii) Daõy ( ) nu xaùc ñònh baèng quy naïp theo n : = 1u 2 vaø vôùi moïi n ∈ ￾ ,

+

⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ n

3

n1 n u

1

u u

2 .

ix) Laõi keùp : Moät löôïng voán C ñaàu tö vôùi laõi suaát i trong n naêm vôùi tieàn

lôøi ñöôïc nhaäp vaøo voán moãi cuoái naêm. Giaù trò cuûa löôïng voán naøy vaøo cuoái naêm

thöù nhaát ñöôïc kyù hieäu laø 1x , cuoái naêm thöù hai laø 2x , ..., cuoái naêm thöù n laø nx .

Ta coù

= + ( ) 1x C 1 i ;

= + ( )2

2x C 1 i ;

...

( ) −

− = +

n 1

n 1 x C 1 i ;

()() − = += +

n

n n1 x x 1 i C 1 i .

vaø nhö vaäy, ta nhaän ñöôïc daõy soá ( ) nx vôùi = + ( )n

nx C 1 i .

x) Laõi lieân tuïc : Vôùi 1 ñoàng voán ñaàu tö, xeùt tröôøng hôïp chu kyø tính laõi

nhaäp vaøo voán giaûm daàn vôùi laõi suaát naêm 7%, nöûa naêm 7

2

% , quyù 7

4

% , thaùng

7

12

% , tuaàn 7

52

% , ngaøy 7

365

% ... vaø ñaët 1y , 2y , 4y , 12 y , 52 y , 365 y giaù trò voán

thu ñöôïc vaøo cuoái naêm, ta coù

=+ = 1y 1 0, 07 1, 07 ;

( ) =+ =

2 0,07

2 2 y 1 1, 071225 ;

( ) =+ ≈

4 0,07

4 4 y 1 1, 071859 ;

( ) =+ ≈

12 0,07

12 12 y 1 1, 072290;

( ) =+ ≈

52 0,07

52 52 y 1 1, 072458 ;

( ) =+ ≈

365 0,07

365 365 y 1 1, 072501.

Toång quaùt, khi moät naêm ñöôïc chia thaønh n chu kyø ñeàu nhau vôùi laõi suaát

treân moãi chu kyø laø 7

n

% vaø tieàn lôøi ñöôïc nhaäp vaøo voán sau töøng chu kyø thì giaù

trò voán nhaän ñöôïc cuoái naêm laø

( ) = +

n 0,07

n n

y 1 .