Giải tích 11 - Chương III

t

Ch¬ng III.

D·y sè – cÊp sè céng vµ cÊp sè nh©n

47

t

Ngµy so¹n: 05/12/2008 TiÕt pp:

37-38

§ 1. ph¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc

I. môc tiªu.

1. KiÕn thøc: - Häc sinh n¾m ®îc c¸c bíc chøng minh bµi to¸n b»ng ph¬ng ph¸p quy n¹p.

2. Kü n¨ng: - Häc sinh chøng minh ®îc bµi to¸n b»ng ph¬ng ph¸p quy n¹p.

3. T duy: T duy c¸c vÊn ®Ò cña to¸n häc mét c¸ch logic cã hÖ thèng.

4. Th¸i ®é: Tù gi¸c tÝch cùc trong häc tËp.

II. ChuÈn bÞ ph¬ng tiÖn d¹y häc.

1. Thùc tiÔn:

2. Ph ¬ng tiÖn: Gi¸o ¸n, SGK, thíc kÎ, .

III. Ph¬ng ph¸p d¹y häc. Gîi më - vÊn ®¸p - ®an xen th¶o luËn nhãm

IV. TiÕn tr×nh bµi häc vµ c¸c ho¹t ®éng.

1. æn ®Þnh:2P

2. KiÓm tra:

3. Bµi míi:

Ho¹t ®éng cña gi¸o viªn Ho¹t ®éng cña häc sinh Néi dung

-Ph¬ng ph¸p quy n¹p th￾êng ®îc ¸p dông c/m c¸c

m® chøa biÕn

n ∈N

- trêng hîp thêng gÆp p

=1,2

- gi¶ thiÕt m® ®óng khi n

= k gäi lµgi¶ thiÕt quy

n¹p.

Híng dÉn HS lµm tõng b￾íc.

Víi n = 1 th× VT vµ VP cã

gi¸ trÞ nh thÕ nµo?

Ta cã kÕt luËn g×?

Híng dÉn HS ®Æt gi¶ thiÕt

qui n¹p. Chó ý khi thay n =

k vµo (1)

Gäi HS thay n = k + 1 vµo

(1)

Híng dÉn HS dïng gi¶

thiÕt qui n¹p ®Ó cm (1)

còng ®óng víi n = k + 1

Cho hs lµm ho¹t ®éng 1

yªu cÇu hs lµm theo tõng b￾íc

Bíc 1 ta lµm g×?

Gi¶ thiÕt qui n¹p cña bµi

to¸n nµy nh thÕ nµo?

- chó ý n¾m b¾t ph¬ng ph¸p

cm bµi to¸n b»ng ph¬ng

ph¸p qui n¹p.

Thay n = 1 vµo (1) ta cã VT

= 1, VP = 1

KL (1) ®óng víi n = 1

Chó ý khi thay n = k vµo (1)

Thay n = k + 1 vµo (1)

1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) + (2k

+ 1) = (k + 1)2

Thay n = 1 vµo 2 vÕ cña (2)

VT = 1, VP = 1

KL (2) ®óng víi n = 1

§Æt gi¶ thiÕt qui n¹p

Gi¶ sö (2) ®óng víi n = k ≥1

I. Ph¬ng ph¸p qui n¹p to¸n häc.

§Ó chøng minh nh÷ng mÖnh ®Ò liªn quan ®Õn

sè tù nhiªn n ∈ N*

lµ ®óng víi mäi n mµ kh«ng

thÓ thö trùc tiÕp ®îc th× cã thÓ lµm nh sau:

Bíc 1: KiÓm tra r»ng mÖnh ®Ò ®óng víi n = 1

Bíc 2: Gi¶ thiÕt mÖnh ®Ò ®óng víi mét sè tù

nhiªn bÊt k× n = k ≥ 1 (gäi lµ gi¶ thiÕt qui n¹p),

chøng minh r»ng nã còng ®óng víi n = k + 1.

§ã lµ ph¬ng ph¸p qui n¹p to¸n häc, hay cßn gäi

lµ ph¬ng ph¸p qui n¹p.

II. VÝ dô ¸p dông

1 VÝ dô 1. CMR ∀ n ∈ N*

th×

1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n2

(1)

Gi¶i:

Víi n = 1 , ta cã:

VT = 1

VP = 1

VËy (1) ®óng víi n = 1

Gi¶ sö (1) ®óng víi n = k bÊt k× (k ≥ 1)

Tóc lµ: 1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) = k2

Ta ®i cm (1) còng ®óng víi n = k + 1, tøc lµ

1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) + (2k + 1) = (k +

1)2

ThËt vËy theo gi¶ thiÕt qui n¹p, ta cã:

{1 + 3 + 5 +...+ (2k – 1)] + (2k + 1)

= k2

+ 2k + 1 = (k + 1)2

VËy (1) ®óng víi mäi n ∈ N*

Ho¹t ®éng 1.

CMR ∀n∈N* th×

1 + 2 + 3 + ... + n =

( 1)

2

n n +

(2)

+ n =1 ta cã vt =1, vp =1

vËy m® (1) ®óng

48

t

Gäi hs thay n = 2, a, k, k+1

vµo ®t(2)

Chó ý:

gi¶ sö ax2

+ bx + c = 0 cã

hai nghiÖm ph©n biÖt x1 vµ

x2 th× ®îc viÕt l¹i b»ng

a(x - x1)(x - x2)

Bíc 1 ta lµm ntn

Gäi HS ®Æt gi¶ thiÕt qui

n¹p

Gäi häc sinh thay n = k+1

vµo (3)

Híng dÉn HS chøng minh

dùa vµo gi¶ thiÕt qui n¹p

1+2+3 +.......+ k = ( 1)

2

k k +

®i cm (2) ®óng víi n = k+1

Thö xem (3) cã ®óng víi n = 1

VT = 1, VP = 1

VËy (3) ®óng víi n = 1

Gi¶ sö (3) ®óng víi n = k ≥ 1

bÊt k×

Tøc lµ :

1

2

+ 22

+ 32

+...+ k2

=

( 1)(2 1)

6

k k k + +

+ Gi¶ thiÕt m®(1) ®óng víi n = k ≥1 ,

ta cã

1 + 2 + 3 +.......+ k = ( 1)

2

k k +

ta cm m®(1) còng ®óng víi n = k+1,

tøc lµ chøng minh

1+ 2 +3 +....+ k + (k+1) = ( 1)( 2)

2

k k + +

Tacã :

( 1 + 2 + 3 +....+ k ) + (k +1) =

=

( 1)

2

k k +

+ (k +1)

=

[ ( 1) 2( 1)]

2

k k k + + +

=

( 1)( 2)

2

k k + +

VËy ®¼ng thøc (1) ®óng víi mäi n≥1.

Bµi 1c/ 82 SGK

CMR ∀ n ∈ N*, ta cã

1

2

+ 22

+ 32

+...+ n2

=

( 1)(2 1)

6

n n n + +

(3)

Gi¶i.

Víi n = 1, ta cã

VT = 12

= 1

VP = 1

VËy (3) ®óng víi n = 1

Gi¶ sö (3) ®óng víi n = k ≥ 1 bÊt k×

Tøc lµ :

1

2

+ 22

+ 32

+...+ k2

=

( 1)(2 1)

6

k k k + +

Ta cm (3) còng ®óng víi n = k + 1

Tøc lµ cm:

1

2+22+32+...+k2+(k+1)2=

( 1)( 2)(2 3)

6

k k k + + +

ThËt vËy theo gt qui n¹p, ta cã:

1

2 + 22 + 32 +...+ k2 + (k+1)2

=

( 1)(2 1)

6

k k k + +

+ (k+1)2

= (k + 1)

2

2 7 6

6

  k k + +  ÷  

=

( 1)( 2)(2 3)

6

k k k + + +

VËy (3) ®óng ∀ n ∈ N*

4. Cñng cè bµi : §Ó cm mét bµi to¸n b»ng pp qui n¹p ph¶i lµm theo 2 bíc

5. Híng dÉn vÒ nhµ : lµm c¸c bµi tËp trong SGK.

49