Giải ngân hàng đề thi trắc nghiệm toán A2 Đại số tuyến tính

Gi¶i ng©n hµng c©u hái tr¾c nghiÖm To¸n A2

Phần một. MỞ ĐẦU

hằm trang bị đầy đủ kiến thức cho tất cả các bạn sinh viên về phần Đại số tuyến

tính. Đặc biệt là những kỹ năng cơ bản để làm tốt những bài tập trắc nghiệm,

chuẩn bị cho tất cả các bạn sinh viên trước kỳ kiểm tra cuối kỳ này. Đó cũng chính là

một trong những lý do, mà nhóm 7 chúng tôi làm đề tài tiểu luận với việc “Gi¶i

ng©n hµng ®Ò thi tr¾c nghiÖm to¸n A2 - §¹i sè

tuyÕn tÝnh”.

N

Chúng tôi chia bài tiểu luận thành những chương khác nhau, với hai mục riêng

biệt là Tóm tắt lý thuyết và Giải bài tập trắc nghiệm trong ngân hàng câu hỏi. Ngoài

ra chúng tôi còn giải thêm một số bài tập nâng cao liên quan đến chương đó, nhằm góp

cho tất cả các bạn hiểu rõ hơn về chương đó.

Tuy nhiên chắc chắn chúng tôi sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Nhóm 7 -

lớp DHTP3 rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của tất cả các thầy cô và các

bạn sinh viên ở trong trường cũng như ngoài trường, để lần sau nhóm 7 viết tiểu luận

đạt kết quả cao hơn.

Nhóm 7 xin chân thành cảm ơn Thạc sĩ Hồ Thị Kim Thanh, Khoa Khoa học

cơ bản, Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh đã giúp nhóm 7 hoàn

thành bài tiểu luận này.

Những chỉ dẫn và đóng góp xin gởi về Nhóm 7 - lớp DHTP3, Trường Đại học

Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh, số 12 Nguyễn Văn Bảo, Phường 4, Quận Gò

Vấp, Tp. Hồ Chí Minh. Xin chân thành cảm ơn!

TP. Hồ Chí Minh, tháng 5 năm 2008

Thay mặt Nhóm 7

Nhãm trëng NguyÔn TÊn Huyn

Phần hai. NỘI DUNG

Ch¬ng 1. MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

Nhãm 7.1 - Líp Dhtp3 - §¹i häc c«ng nghiÖp tp HCM

Gi¶i ng©n hµng c©u hái tr¾c nghiÖm To¸n A2

PhÇn 1. Tãm t¾t lý thuyÕt

A. MA TRẬN

1. Định nghĩa

Cho m và n là hai số nguyên dương một ma trận A cấp m x n là một bảng gồm

m x n số được xếp thành m hàng và n cột. Kí hiệu: A = [aij]mxn

2. Các phép toán trên ma trận

2.1. Các phép toán

Cho 3 ma trận A, B, C thuộc Mmxn ta có

 Hai ma trận bằng nhau: A = B nếu (A)ij = (B)ij, i =

___

1,m , j =

___

1,n

 Phép nhân một số với ma trận: (KA)ij = k(A)ij, i =

____

1,m , j =

____

1,n , k∈R

 Phép cộng ma trận: (A + B)ij = (A)ij + (B)ij, i =

___

1,m , j =

____

1,n

 Hiệu hai ma trận: A – B = A + (- B)

 Phép nhân hia ma trận: (AB)ij = KJ

n

k

(A)

ik (B)

1

∑=

, i =

___

1,m , j =

____

1,n

2.2. Tính chất

Tương tự như trong các phép tính đại số ma trận cũng có các tính chất như

giao hoán, kết hợp …

2.3. Phép chuyển vị ma trận

A

T

là ma trận chuyển vị của ma trận A nhận được từ A bằng cách chuyển hàng

thành cột.

(AT

)ij = (A)ji , i =

___

1,m , j =

____

1,n

• Tính chất:

(A + B)T = AT + BT

(aA)T = aAT

(AT

)

T=A

(AB)T=BTA

T

*Tổng quát:

(A1,A2,…An)

T=An

T…A2

TA1

T

Lũy thừa của ma trận: AP = AP-1A

2.4. Các phép biến đổi sơ cấp ma trận bậc thang

2.4.1. Ma trận bậc thang

Là ma trận có tính chất sau:

 Các hàng khác không đều ở trên hàng bằng không

 Phần tử cơ sở của một hàng nằm ở cột bên phải so với phần tử cơ sở của hàng

trên (phần tử cơ sở của hàng là phần tử khác không dầu tiên từ bên trái qua)

2.4.2. Các phép biến đổi sơ cấp

Nhãm 7 - Líp Dhtp3 - §¹i häc c«ng nghiÖp tp HCM

Gi¶i ng©n hµng c©u hái tr¾c nghiÖm To¸n A2

Mọi ma trận đều đưa về được dạng ma trận bậc thang nhờ các phép biến đổi sơ

cấp đối với hàng như sau:

 Nhân các phần tử của một hàng với một số khác không: hi → λ (λ ≠ 0) hi

 Cộng vào các phần tử của hàng các phần tử tương ứng của hàng khác đã nhân

với một số hi

→ + λ (λ ≠ 0) hi hi

.

 Đổi chỗ hai hàng cho nhau: hi→hj.

 Các hàng tỉ lệ với nhau hay giống nhau thì có thể bỏ đi chỉ trừ lại một hàng

* Chú ý: Nếu các phép biến đổi sơ cấp thực hiện trên cột thì gọi là phép biến

đổi sơ cấp đối với cột.

B. ĐỊNH THỨC

1. Định nghĩa

Cho ma trận vuông cấp n: A=[aij]mxn. Định thức A kí hiệu là detA hay A là

một số thực được xác định như sau: n n

n

a a a a

n

n

( 1) ...

1 2

1 2

21

1 2

( .... )

...

α α

α α α

αα α

∑ −

2. Tính chất

* Tính chất 1: detA = detAT

* Tính chất 2: Nếu A có một hàng các phần tử đều bằng 0 thì detA = 0.

* Tính chất 3: Nếu đỏi chỗ hai hàng cho nhau thì detA đổi dấu.

* Tính chất 4: Nếu A có hai hàng giống nhau thì detA = 0.

* Tính chất 5: Nếu nhân mọi phần tử trong một hàng của A với một số khác 0

thì detA cũng được nhân lên với số đó.

* Tính chất 6: Nếu A có hai hàng tỉ lệ thì detA =0.

* Tính chất 7: Nếu mọi phần tử trong hàng của A có dạng tổng của hai số hạng

thì định thức có thể tách thành tổng hai định thức.

* Tính chất 8: Nếu cộng vào một hàng nào đó của A bội của dòng khác thì

định thức không thay đổi.

* Tính chất 9: Nếu cộng vào một hàng nào đó của A tổ hợp tuyến tính của của

các dòng còn lại thì detA không đổi.

3. Một số phương pháp tính định thức

3.1. Phương pháp khai triển theo một hàng hay một cột

Cho A = (aij)n, A bỏ đi hàng i cột j phần còn lại tạo một ma trận vuông cấp n-1

định thức đó được gọi là định thức con bù của aij kí hiệu là ∆ij : Aij = (-1)i+j ∆ij gọi là

phần bù đại số của aij.

3.2. Phương pháp Gauss

Sử dụng phép biến đổi trên hàng để đưa định thức về dạng tam giác khi đó

định thức sẽ bằng tích các phần tử trên đường chéo chính.

Nhãm 7 - Líp Dhtp3 - §¹i häc c«ng nghiÖp tp HCM

Gi¶i ng©n hµng c©u hái tr¾c nghiÖm To¸n A2

3.3. Khai triển Laplace

 Mở rộng công thức khai triển theo một hàng hay một cột thành công thức khai

triển trên k hàng k cột.

 Định lý Laplace: Chọn k hàng bất kì trong detA, gọi M1, M2,…,Ms là tất cả các

định thức con cấp k do k hàng vừa chọn kết hợp với k cột trong n cột của A và

A1,A2,…,AS là phần bù đại số tương ứng ta có detA = M1A1 + M2A2 + ….+

MSAS.

S= ! − !

!

k (n k)

n

3.4. Phương pháp truy toán

Biến đổi định thức cùng dạng nhưng cấp thấp hơn để tính.

4. Ứng dụng của định thức

 Hạng ma trận: Hạng của A là cấp cao nhất của các định thức con khác không

của A. Kí hiệu r(A)

 Tìm hạng ma trận: Dùng các phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận về dạng ma trận

bậc thang khi đó hạng ma trận bằng số các hàng khác không .

5. Ma trận nghịch đảo

5.1. Các định nghĩa

a) Ma trận phụ hợp

Cho ma trận vuông cấp n: A=(aij)và A ij là phần bù đại số của aij ta lập ma trận.

























=

n n nn

n

n

A A A

A A A

A A A

A

...

... ... ... ...

...

...

~

1 2

21 22 2

11 21 1

A

~

gọi là ma trận phụ hợp của A

b) Ma trận không suy biến

Ma trận vuông A gọi là không suy biến nếu detA ≠ 0

c) Ma trận nghịch đảo

Cho A∈ Mn. Nếu tồn tại ma trận B sao cho AB = BA = In thì B gọi gọi là ma

trận nghịch đảo của A, kí hiệu B = A-1

5.2. Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo

Phương pháp dùng định thức: A-1 = A

1

A

~

Phương pháp dùng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng : (A/In) In//A-1

PhÇn 2. Bµi tËp tr¾c nghiÖm

Nhãm 7 - Líp Dhtp3 - §¹i häc c«ng nghiÖp tp HCM

Biến đổi trên hàng

Gi¶i ng©n hµng c©u hái tr¾c nghiÖm To¸n A2

Câu 1: (Trần Độ)

Tính định thức

0 1 2 0

2 2 7 0

7 3 4 1

0 4 4 0

∆ =

Giải

0 1 2 0

2 2 7 0

7 3 4 1

0 4 4 0

∆ = = (-1)3+4

Câu 2: (Trần Thị Trúc Hà)

Tính định thức

7 3 4 1

0 1 2 0

2 2 7 0

0 4 4 0

∆ =

Giải

7 3 4 1

0 1 2 0

2 2 7 0

0 4 4 0

∆ = =

1+4

Câu 3: (Nguyễn Tấn Huyn)

Tính định thức

0 1 2 0

7 3 4 1

1 2 7 0

0 4 4 0

∆ =

Giải

0 1 2 0

7 3 4 1

1 2 7 0

0 4 4 0

∆ = = 4

Câu 4: (Võ Thị Mỹ Lam)

Tính định thức

0 0 1 2

7 1 3 4

1 0 2 7

0 0 4 4

∆ =

Giải

Nhãm 7 - Líp Dhtp3 - §¹i häc c«ng nghiÖp tp HCM

Gi¶i ng©n hµng c©u hái tr¾c nghiÖm To¸n A2

0 0 1 2

7 1 3 4

1 0 2 7

0 0 4 4

∆ = =(-1)2+2

Câu 5: (Trần Ngọc Luân)

Tính định thức

7 1 3 4

0 0 1 2

1 0 2 7

0 0 4 4

∆ =

Giải

7 1 3 4

0 0 1 2

1 0 2 7

0 0 4 4

∆ = =(-1)1+2

Câu 6: (Trần Tuyết Mai)

Tính định thức

2 4

3 0 0

1 1 2

m

∆ = . Tìm m để ∆ ≤ 0 .

Giải

Để

Câu 7: (Trần Thị Thuý Nga)

Tính định thức

2 4

0 0

1 1

m

m

m

∆ = . Tìm m để ∆ = 0 .

Giải

Để

Câu 8: (Trương Thị Tú Nha)

Tính định thức

2 0 4

0 0

1 1

m

m

−

∆ = . Tìm m để ∆ = 0 .

Nhãm 7 - Líp Dhtp3 - §¹i häc c«ng nghiÖp tp HCM

Gi¶i ng©n hµng c©u hái tr¾c nghiÖm To¸n A2

Giải

Để

Câu 9: (Nguyễn Thị Kiều Xinh)

Tính định thức

1 1 3

1 2

1 1

m

m

∆ = . Tìm m để ∆ ≥ 0 .

Giải

Để

Câu 10: (Nguyễn Thị Hồng Xuyến)

Tính định thức

1 1

1 2 0

1 1 2

m

∆ = . Tìm m để ∆ < 0 .

Giải

1 1

1 2 0

1 1 2

m

∆ = =

Để

Câu 11: (Trần Độ)

Tính định thức

1 0

2 1 2 2

1 0 2

m

∆ = − m . Tìm m để ∆ > 0 .

Giải

1 0

2 1 2 2

1 0 2

m

∆ = − m =

Để

Câu 12: (Trần Thị Trúc Hà)

Nhãm 7 - Líp Dhtp3 - §¹i häc c«ng nghiÖp tp HCM

Gi¶i ng©n hµng c©u hái tr¾c nghiÖm To¸n A2

Tính định thức

1 2 1

0 1

1 0 1

∆ = m . Tìm m để ∆ > 0 .

Giải

Để

Câu 13: (Nguyễn Tấn Huyn)

Tính định thức

1 2

2 5 1

3 7 2

m

m

m

∆ = +

+

. Tìm m để ∆ > 0 .

Giải

1 2

2 5 1

3 7 2

m

m

m

∆ = +

+

Để

Câu 14: (Võ Thị Mỹ Lam)

Tính định thức

2 2 4

0

1 2

m

m m

m

+

∆ = . Tìm m để ∆ = 0 .

Giải

2 2 4

0

1 2

m

m m

m

+

∆ =

Để

Câu 15: (Trần Ngọc Luân)

Tính định thức

2 2 2 4

1 2 1 2

1 2 2

m

m m

m

+

∆ = + + . Tìm m để ∆ = 0 .

Giải

Nhãm 7 - Líp Dhtp3 - §¹i häc c«ng nghiÖp tp HCM

Gi¶i ng©n hµng c©u hái tr¾c nghiÖm To¸n A2

2 2 2 4

1 2 1 2

1 2 2

m

m m

m

+

∆ = + +

Để

Câu 16: (Trần Tuyết Mai)

Tính định thức

2 4

0 0

3 1 4

m

m

m m

∆ =

+ +

. Tìm m để ∆ = 0 .

Giải

2 4

0 0

3 1 4

m

m

m m

∆ =

+ +

Để

Câu 17: (Trần Thị Thuý Nga)

Tính định thức

2 2 1 4

3 1

3 1

m

m

m m

+

∆ = − − −

+

. Tìm m để ∆ > 0 .

Giải

2 2 1 4

3 1

3 1

m

m

m m

+

∆ = − − −

+

Để

Câu 18: (Trương Thị Tú Nha)

Nhãm 7 - Líp Dhtp3 - §¹i häc c«ng nghiÖp tp HCM

Gi¶i ng©n hµng c©u hái tr¾c nghiÖm To¸n A2

Tính định thức

2 2 5 12

3 1 3

3 1 3

m

m m m

m m m

+ −

∆ = − + −

+ − −

. Tìm m để ∆ > 0 .

Giải

2 2 5 12

3 1 3

3 1 3

m

m m m

m m m

+ −

∆ = − + −

+ − −

Để

Câu 19: (Nguyễn Thị Kiều Xinh)

Tính định thức

2 2 1 4

3 1

3 1

m

m m

m

+

∆ = + . Tìm m để ∆ > 0 .

Giải

2 2 1 4

3 1

3 1

m

m m

m

+

∆ = +

Để

Câu 20: (Nguyễn Thị Hồng Xuyến)

Tính định thức

5 5 3

1 1 0

1 1 1

m

m m

+

∆ = − − . Tìm m để ∆ = 0 .

Giải

5 5 3

1 1 0

1 1 1

m

m m

+

∆ = − −

Nhãm 7 - Líp Dhtp3 - §¹i häc c«ng nghiÖp tp HCM

Gi¶i ng©n hµng c©u hái tr¾c nghiÖm To¸n A2

Để

Câu 21: (Trần Độ)

Tính định thức

0 2

1 1 0

1 1 0 0

0 0 0

m m m

m m

m

−

∆ = . Tìm m để ∆ > 0 .

Giải

0 2

1 1 0

1 1 0 0

0 0 0

m m m

m m

m

−

∆ =

Để

Câu 22: (Trần Thị Trúc Hà)

Tính định thức

0 0 0

1 1 0 0

1 1 0

2 0 1

m

m

m

m m

−

∆ = . Tìm m để ∆ > 0 .

Giải

0 0 0

1 1 0 0

1 1 0

2 0 1

m

m

m

m m

−

∆ =

Để

Câu 23: (Nguyễn Tấn Huyn)

Tính định thức

3

7 2 7

3 3

m m

m

m

∆ = + . Tìm m để ∆ = 0 .

Giải

3

7 2 7

3 3

m m

m

m

∆ = +

Nhãm 7 - Líp Dhtp3 - §¹i häc c«ng nghiÖp tp HCM

Gi¶i ng©n hµng c©u hái tr¾c nghiÖm To¸n A2

Để

Câu 24: (Võ Thị Mỹ Lam)

Tính định thức

8 7 6

1 2 1

1 1 1

m

m m m

m m m

+

∆ = + −

− − −

. Tìm m để ∆ = 0 .

Giải

8 7 6

1 2 1

1 1 1

m

m m m

m m m

+

∆ = + −

− − −

Để

Câu 25: (Trần Ngọc Luân)

Tính định thức

1 2

4 1

4 1 5

m

m

m m

−

∆ =

+ −

. Tìm m để ∆ = 0 .

Giải

Nhãm 7 - Líp Dhtp3 - §¹i häc c«ng nghiÖp tp HCM

Gi¶i ng©n hµng c©u hái tr¾c nghiÖm To¸n A2

1 2

4 1

4 1 5

m

m

m m

−

∆ =

+ −

m2 + 4 = 0 (Phương trình vô nghiệm)

Câu 26: (Trần Tuyết Mai)

Tính định thức

8 7 6

1 2 1

1 1 1

m

m m m

m m m

+

∆ = + −

+ + +

. Tìm m để ∆ ≤ 0 .

Giải

8 7 6

1 2 1

1 1 1

m

m m m

m m m

+

∆ = + −

+ + +

Để

Câu 27: (Trần Thị Thuý Nga)

Tính định thức

8 7 6

1 2 1

1 1 1

m

m m m

m m m

+

∆ = + −

+ + +

. Tìm m để ∆ < 0 .

Giải

8 7 6

1 2 1

1 1 1

m

m m m

m m m

+

∆ = + −

+ + +

Nhãm 7 - Líp Dhtp3 - §¹i häc c«ng nghiÖp tp HCM

Gi¶i ng©n hµng c©u hái tr¾c nghiÖm To¸n A2

Để

Câu 28: (Trương Thị Tú Nha)

Cho hai định thức: 1 2

1 2 3 4 2 5 4 7

2 5 4 7 1 2 3 4

;

3 6 8 4 4 8 12 17

4 8 12 17 3 6 8 4

∆ = ∆ =

Khẳng định nào sau đây đúng?

a) ∆ = ∆ 1 2 b) ∆ = −∆ 1 2 c) 2 1 ∆ = ∆2 d) 2 1 ∆ = − ∆2

Giải

Chọn đáp án (a) vì hàng 1 cua đổi thành hàng 2 của .

Câu 29: (Nguyễn Thị Kiều Xinh)

Cho hai định thức: 1 2

1 2 3 4 2 4 6 16

2 5 4 7 2 5 4 14

;

3 6 8 4 3 6 8 8

4 8 12 17 4 8 12 34

∆ = ∆ =

− −

Khẳng định nào sau đây đúng?

a) ∆ = ∆ 1 2 b) ∆ = −∆ 1 2 c) 2 1 ∆ = ∆2 d) 2 1 ∆ = ∆4

Giải

Ta có:

Chọn đáp án (d)

Câu 30: (Nguyễn Thị Hồng Xuyến)

Cho hai định thức: 1 2

1 2 3 4 2 4 6 8

2 2b 2 2

;

3 6 8 4 6 12 16 8

4 8 12 17 4 8 12 17

a b c d a c d

− −

− −

∆ = ∆ =

− −

− −

Khẳng định nào sau đây đúng?

a) 1 2 2∆ = ∆ b) 2 1 ∆ = ∆8 c) 2 1 ∆ = ∆4 d) 2 1 ∆ = ∆ 16

Giải

Ta có: =

Nhãm 7 - Líp Dhtp3 - §¹i häc c«ng nghiÖp tp HCM