Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
Giải các dạng bài tập toán A3.doc
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
DẠNG CÂU HỎI 1 ĐIỂM
Câu1 : (1đ) Cho hàm số z = arctg
y
x
chứng minh z’’xx + z’’yy= 0
Z = artag
y
x
⇒Z’X = )
2
(1 ( )
1
y
x
y +
= 2 2
x y
y
+
2 2 2
1 ( )
1
.
2
'
x y
x
y
x
y
x
y
z
+
= −
+
−
=
Nên ⇒
'
)
2 2
' ' ( x
x y
y
xx z
+
= = -y. 2
)
2 2
(
2
2
)
2 2
(
2
x y
xy
x y
x
+
−
=
+
y
x y
x
yy
z
'
2 2
( )
''
+
−
=
=
2 2 2 2 2 2
( )
2
( )
( 2 )
.
x y
xy
x y
y
x
+
=
+
−
−
Vậy ⇒
z''xx+z''yy = 0.
2
)
2 2
(
2 2
=
+
− +
x y
xy xy
(đpcm )
Câu 3 : (1đ) Cho hàm số z = x + f(xy) với f(t) là hàm số khả vi, CMR xz’x-yz’y=x
Z =x + f(xy) vì f(t) khả vi ⇒∃ f’
(t) = f’
(xy)
⇒ z x = x + f xy x =
'
( ( )
'
( )
'
.
'
1+ (xy) x f xy
(a);
Z
’
Y = ( )
'
.
'
0 ( )
'
( )) '
(x + f xy y = + xy y f xy ( )
'
= x. f xy
(b) Thay (a) và (b) ta có x z x − y z y =
'
.
'
. (1 ( )) ( . ( )) ' '
x + yf xy − y x f xy
= + − ( ) =
'
( )
'
x xyf xy xyf xy x (đpcm)
Câu 4 : (1đ) Cho hàm số z = y f (x2
-y2
), với f(t) là hàm số khả vi CMR 2
'
1
'
1
y
z
z
y
z
y
x + y =
)
2 2
z = yf (x + y ( ( ) .( ) . ( ) 2 . ( )
' 2 2 ' 2 2 ' ' 2 2 ' 2 2
= z x yf x − y x = y x − y x f x − y = xy f x − y
và
( ( )) ( ) ( ) . ( ) ( ) 2 . ( )
' 2 2 ' 2 2 2 2 ' ' 2 2 2 2 2 ' 2 2
z y = yf x − y y = f x − y + y x − y y f x − y = f x − y − y f x − y
Khi đó ⇒ + z y =
y
z x
x
'
.
' 1
.
1
.( ( ) 2 ( )) 1
.2 ( )
1 ' 2 2 2 2 2 ' 2 2
f x y y f x y
y
xyf x y
x
− + − − + =
y
f x y )
2 2
( +
(đpcm)
Câu 5 : (1đ) Cho hàm số z = ln(1/r) với r= x2 + y2 CMR z’’xx + z’’yy=0
r
r
z ln 1
= ln = − ,với 2
r = x + y
Ta có: r
x
x y
x
x
r =
+
=
2 2
2
2
'
r
y
x y
y
y
r =
+
=
2 2
2
2
'
2
/
.
1
. '
1
' ( ln )
r
x
r
x
r
r
r
z r x
x
x
− ⇒ = − = − = − =
( )
2
2 . .
2 ' .
.
1
'' ( )' 4
2 2
4
2
2 2 4
a
r
x r
r
r
r
x
r x
r
r r
x
r r
x
z
x
xx x
−
=
− +
+ =
−
=
− ⇒ =
Với vai trò của x và y là tương đương nhau trong biểu thức → tính tương tự ta được :
( )
4
2 2
2
'' b
r
y r
yy z
−
= Cộng 2 vế (a) và (b) →
4
2 2 2
4
2 2
4
2 2
2 2 2( ) 2
'' ''
r
x y r
r
y r
r
x r
z z xx yy
+ −
=
−
+
−
+ = = 0 (đpcm )
Câu 6 : (1đ) Cho hàm số
x
x y
xy
y
x
x arctg
y
y x
x
y
x
x y z arctg
y
x
z xarctg x 2 2
1 ( )
1
.
1
' .
2 2
2
2 2
−
+
− = +
+
= − − ⇒ = +
Khi đó . ' 2 ( )
2 2
2
2
a
x y
x y
x
y
x
x z x
xarctg
+
= − +
2 2 . ' 2 ( )
1 ( )
1
' . .
2
2 2
2
2 2
2
2
2
y b
x y
x y
y y z
x y
x
y
y
y x
x
z x y y −
+
−
− ⇒ =
+
−
− =
+
−
=
Cộng 2 vế của (a) và (b) ta được
' . ' 2 2 2( ) ' ' ( )
2 2 2 2 2
2 2
2
2
x y xz yz z x y
y
x
y xarctg
x y
x y
x
y
x
xz y z xarctg x y − = − + ⇔ x + y = − +
+
−
+ = − +
Câu 7 : (1đ)
1,1, 2 )
2 2 2
u = x + y + z ,A(
Ta có :
2
z
2
y
2
x
x
2
z
2
y
2
2 x
2x
x
u
+ +
=
+ +
=
∂
∂
2
z
2
y
2
x
y
2
z
2
y
2
2 x
2 y
y
u
+ +
=
+ +
=
∂
∂
2
z
2
y
2
x
z
2
z
2
y
2
2 x
2z
z
u
+ +
=
+ +
=
∂
∂
2
1
2
( 2 )
2
1
2
1
1
x
u( A)
=
+ +
=
∂
∂ ⇒
2
1
2
( 2 )
2
1
2
1
1
y
u( A)
=
+ +
=
∂
∂
⇒ 2
2
2
( 2 )
2
1
2
1
2
z
u( A )
=
+ +
=
∂
∂ ⇒
Biết rằng: l OA
= tạo với 3 trục của Oxyz cỏc gúc α ,β ,γ cosin Chỉ phương:
2
1
2
( 2 )
2
1
2
1
1
cos =
+ +
α =
2
1
2
( 2 )
2
1
2
1
1
cos =
+ +
β =
2
2
2
( 2 )
2
1
2
1
2
cos =
+ +
γ =
Vậy:
cos . . . 1
( )
cos
( )
cos
( ) ( )
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
= + + =
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
α β γ
l
u A
y
u A
x
u A
l
u A
Câu 8 : (1đ) Cho trường vô hướng
TÝnh T¹i A(1,0),
u 2 .ln( + ) − − = (1,−1)
∂
∂ u x x y x y l
l
Bg: Ta có 2 x y
1
x y
x
2 ln( x y )
x
u
−
−
+
= + +
∂
∂
2 x y
1
x y
2x
x
u
−
+
+
=
∂
∂
( ) 2
3
2 1 0
1
1 0
1
2. ln(1 0)
( )
=
−
−
+
= + +
∂
∂
⇒ x
u A
2
5
2 1 0
1
1 0
2.1
y
u( A )
=
−
+
+
=
∂
∂
Biết rằng l =( 1,−1 )⇒
véctơ Chỉ phương
2
1
1 ( 1)
1
2
1
1 ( 1)
1
0 2 2 2 2
(cos , cos ) cos cos −
+ −
−
+ −
= = = = = = =
l
y
l
x
l
α β α β
Biết rằng α cosβ
y
u( A)
cos
x
u( A)
l
u( A)
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
2
2
2
1
2
5
2
1
2
3
. .
− −
=
= +
Câu 9 : (1đ) Cho trường vô hướng
TÝnh div (gradu).
u e ( y 2x 3 )
xy 2
= + −
Bg: Ta có
( ) y
u
x
u MÆt kh¸c gradu ∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
= + − + = + − + = + − + = + − +
;
. ( 2 3) 2. ( 2 3 2) . ( 2 3) 2 . ( . 2 3 2 )
2 3 2 2 2
y e y x e e y xy y x e y x y e e y x x x y
xy xy xy
x
xy xy xy u
x
u
và x y
y x y y y e
x y
y e
x
u
2 3 2) 2 .
3
. (
2
2
= + − + +
∂
∂
e ( y 2xy 3y 4 y )
xy 4 2 2
+ − +
4 2)
2
3
3
2
2 2
4
2
3
2
2
4
(
2 2
4 2)
2
3
3
2
2 2
3 2 ) (2 2) (
2
2
2
. (
2
2
= + − + + + − + +
∂
∂
+
∂
∂ ⇒ =
= + − + + + + = + − + +
∂
∂
y xy y y y x x x xy
xy
e
x
u
y
u
y x x x xy
xy
xy e
xy
y x x x y e
xy
x e
y
u
2 2
div (gradu)
Câu 10 : (1đ) Cho hàm ẩn z = z(x, y)
Có PT
z x
y
z x arctg
−
− =
Ta có y d y dx z x
z dz x y
' ' ( , ) = + mà 0 ( , , ) + − =
−
⇔ =
−
− = x z
z x
y
F arctg
z x
y
z x arctg x y z
2
( ) 2 2
1 ( )
1
.
1
' 2
( )
2
2
( )
2
1
2
2 ( )
1
2
1 ( )
1
. 2
( )
'
y z x
z x
z x
y z x y
F
y z x
y y z x
z x
y
y
z x
y
z x
y
x
F
+ −
−
= =
−
+
−
=
+ −
+ + −
+ = =
+ −
+ =
−
− +
=
2
2
(
)
2
)
2
(
)
2
(
2
(
)
2
)
2
(
)
2
(
1
2
(
)
2
1
2
1
(
)
1 . 2
(
) ' y
z
x
y
y
z
x
y
z
x
y
y
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
xy
z
F
+
−
−
+
+
−
=
+
−
−
+
+
−
−
=
+
−
−
−
=
−
+
−−
=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 ' ( ) ' ' 1 ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ' ' ' y y z x z x FF
z
y
z
x
y
y
z
x
y
z
x
y
y
z
x
FF
z
z
y
y
z
x
x
+
+
−
−
=
−
=
=
+
−
−
+
+
−
+
−
−
+
+
−
=
−
VËynª
n
→
=
dy
y
y
z
x
z
x
d
z dx
z dy dx
z
(
x
,
y
)
x
y
2
2
(
) ' ' + + − −
Do dã,
=
+
=
+
Câu 11 : (1đ) cho hàm ẩn x = x( y,z) có PT : 3 2
Víi
z
=
4
x
−
x
+ xy
2
4
3
(
,
,
)
z
x
x xy
⇔
F
x
y
z
=
+
−
− ' 1 ' 2' 3
4
2
2
==
−
=
−
−
F
z
F xy d F
x
y
y
x Khi ã,
2
2
2
2
3
41 ' ' ' 3
4
2 '' ' F x
y
F
x
x
y
xy
FF
x
xz
z
xy
y
−
−
−
=
−
=
−
−
=
−
⇒
=
Như vậy = dz x y
dy
x
y
xy
d
x dy
x dz
x
(
y
,
z
)
y
z
2
2
2
2
3
41
3
4
2 ' ' −
−
−
−
−
=
+
=
Câu 12 : (1đ) cho hàm ẩn x = x( y,z) có PT z e
(
x
y
2
y
)
2
x
2
=
+
+
F
e
x
y
y
z
o
x
x
y
z
⇔
=
(
+
+
2
)
−
=
2
2
(
,
,
)
Ta có: ' 1 ' 2. (
2
)
(
2
4
2
1
) ' (
2
2
)
2. (
1
)
2
2
2
2
2
2
2
=
−
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
=
+
z
x
x
y
x
x
x
x
FF
e
x
y
y
e
e
x
y
y
F
e
y
e
y(2
1
4
2
)
1 '' ' 2 1 4 2 2( 1)
(
2
1
4
2
)
2
(
1
) ' ' ' 2
2
2
2
2
2
F
e
x
y
y
F
x
x
y
y
y
e
x
y
y
e
y
FF
x
x
xz
x
z
x
x
y
y
+
+
+
=
−
=
+
+
+
−
+
=
+
+
+
−
+
=
−
⇒
=
Như vậy
(
2
1
4
2
)
2
(
1
) ' ' 2
2
2
(
,
)
e
x
y
y
y
e dy dz
d
x dy
x dz
x
x
x
y
z
y
z
+
+
+
−
+
+
=
+
=
DẠNG CÂU HỎI 2 ĐIỂM
Câu 1 : (2đ) Tìm cực trị của hàm số z = e (x + y)(x − y + 4) x
Mxđ :
∀
(
x
,
y
)
∈
R ta có
z' =
e
(
x
+
y)(
x
−
y
+
4
)
+
e
(
x
−
y
+
4
)
+
e
(
x
+
y
)
=
e [(
x
+
y)(
x
−
y
+
4
)
+
2
x
+
4] x x x x
x
z
e
x
y
e
x
y
e [ y] x x x
y' =
(
−
+
4
)
−
(
+
)
=
+
4
−
2
Xét tọa độ các điểm tới hạn của h/số : M(x,y) == ' ( ) 0 ' ( ) 0 z y M z x M ⇔ [ ] ( ' 9
8
1
)
2
2
4
2
6
8
0
2
(
2
)
2
4
0
2
( ) (
4
)
2
4
0
(
4
2
)
0
2
2
∆
=
−
= = − = = − =
⇔ + + = =
+
+
+
=
=
⇔ + − + + + = − =
xyxy
xy
x
x
y
e
x
y
x
y
x
e
y
y
xx
⇒ Hàm số có 2 điểm tới hạn:
(
2
,
2
)
M
1
− và
(
4
,
2
)
M
2
−
Ta lại có:
r
=
A
=
z'' e [(
x
+
y)(
x
−
y
+
4
)
+
2
x
+
4
x
xx
+
−
+
+
+
+
]
=
[
+
−
+
+
+
]
=
= xy
= yx
=
x
(
x
y
4
)
(
x
y
)
2
e
(
x
y)(
x
y
4
)
4
x 10
s
B
z
'
'
z
'
' [ ] [ ] x y x
yy
x
x
x
e
(
4
2
y
)
e
(
4
2
y
)
t
C
z
'
'
e
(
4
2
y
)
2
e
/
/
−
=
−
=
=
=
−
=
−
3