Dùng phương pháp lượng giác hóa để giải các bài toán về phương trình, hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức.

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN

—————–

DƯƠNG LỆ TRÚC

DÙNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA GIẢI PHƯƠNG TRÌNH,

HỆ PHƯƠNG TRÌNH, CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Giảng viên hướng dẫn: Ths. Nguyễn Thị Hà Phương

Đà Nẵng, 05/2016

Mục lục

MỞ ĐẦU 4

1 Các kiến thức chuẩn bị về lượng giác 7

1.1 Khái niệm và lịch sử hình thành hàm lượng giác . . . . . . . 7

1.1.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.2 Lịch sử hình thành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Bảng giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt . . 8

1.3 Công thức lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1 Các công thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.2 Công thức cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.3 Công thức nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.4 Công thức biến đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4 Hệ thức lượng trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.1 Định lý sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.2 Định lý cosin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Dùng phương pháp lượng giác hóa để giải phương trình, hệ

phương trình. 13

2.1 Một số kỹ thuật thường dùng để giải phương trình, hệ phương

trình. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Các bước giải một bài toán về phương trình, hệ phương trình: 15

2

2.3 Một số bài phương trình dùng phương pháp lượng giác hóa: . 15

2.4 Một số bài hệ phương trình dùng phương pháp lượng giác hóa: 26

3 Dùng phương pháp lượng giác hóa để chứng minh bất đẳng

thức 37

3.1 Một số bổ đề thường dùng để chứng minh bất đẳng thức: . . 37

3.2 Một số bất đẳng thức lượng giác cơ bản: . . . . . . . . . . . . 38

3.3 Một số bất đẳng thức sử dụng trong luận văn . . . . . . . . . 38

3.4 Các bước giải một bài toán chứng minh bất đẳng thức . . . . 39

3.5 Một số bài toán cụ thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4 Dùng phương pháp lượng giác hóa để tìm giá trị lớn nhất và

nhỏ nhất của biểu thức 49

4.1 Các bước giải một bài toán cực trị: . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2 Một số bài toán cụ thể: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3

MỞ ĐẦU

1. Lý do lựa chọn đề tài

Trong cấu trúc đề thi tuyển sinh và thi học sinh giỏi hiện nay, các bài

toán về phương trình, hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức, tìm giá

trị lớn nhất nhỏ nhất là những dạng bài tập khó, không có một phương pháp

chung để giải tất cả chúng. Đôi khi các công cụ học sinh đã biết không đủ

để giải quyết các bài tập này hoặc khó tìm ra hướng đi để dẫn đến lời giải.

Đứng trước hàng loạt các phương pháp giải bài toán như: đặt ẩn phụ, dùng

hằng đẳng thức, bất đẳng thức, dùng đồ thị, hình học,... Việc lựa chọn đúng

phương pháp giải cho một bài toán là vấn đề đầu tiên và quan trọng nhất

để đưa bài toán từ các phép biến đổi phức tạp về đơn giản. Có những bài

hệ phương trình 3 ẩn nhưng 2 phương trình hoặc có những bài phương trình

có số mũ rất lớn thì việc sử dụng các phương pháp thông thường sẽ rất khó

khăn để đưa đến kết quả. Nhưng thật may mắn thay, một số bài phương

trình, hệ phương trình lại có điều kiện bó hẹp của biến giúp ta liên tưởng

đến một số công thức lượng giác, từ đó mà ta biến đổi linh hoạt các điều

kiện để chuyển các bài toán về dạng lượng giác, cách giải sẽ dễ dàng hơn rất

nhiều.

Trong quá trình học tập và nghiên cứu, tôi nhận thấy lượng giác là một

4

phương pháp rất hay trong việc giải quyết các bài toán đại số. Các tài liệu

về lượng giác rất nhiều , tuy nhiên sách viết về ứng dụng lượng giác còn khá

ít. Nên việc nghiên cứu thêm những phần mở rộng của lượng giác đối với học

sinh phổ thông là vô cùng cần thiết.

Với những lí do trên, tôi đã chọn đề tài: "Dùng phương pháp lượng

giác hóa để giải các bài toán về phương trình, hệ phương trình,

chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

biểu thức" làm luận văn tốt nghiệp của mình.

2. Mục đích nghiên cứu

- Hệ thống hóa các kiến thức cơ bản về lượng giác.

- Xây dựng hệ thống các bài tập vận dụng để thấy được tính thiết thực của

việc ứng dụng lượng giác trong giải phương trình, hệ phương trình, chứng

minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Lí thuyết lượng giác và ứng dụng của nó.

- Phạm vi nghiên cứu: Một số bài toán về phương trình, hệ phương trình,

chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

trong chương trình phổ thông và các kỳ thi học sinh giỏi.

4. Nhiệm vụ nghiên cứu

-Nghiên cứu các bài toán về phương trình, hệ phương trình giải được bằng

phương pháp lượng giác hóa.

-Nghiên cứu các bài toán chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất

và nhỏ nhất của biểu thức giải được bằng phương pháp lượng giác hóa.

5. Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu luận: đọc giáo trình, tài liệu tham khảo để hệ

thống hóa, phân dạng các bài toán.

5

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: tích lũy các kinh nghiệm có được

của bản thân, bạn bè, thầy cô, các anh chị khóa trước để nghiên cứu sâu

hơn, kĩ hơn.

- Phương pháp hỏi ý kiến chuyên gia: hỏi trực tiếp giáo viên hướng dẫn và

giáo viên giảng dạy các kiến thức liên quan đến đề tài.

6. Nội dung luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành 4 chương:

- Chương 1: Trình bày sơ lược các kiến thức về lượng giác: một số định

nghĩa, tính chất, các công thức lượng giác cơ bản.

- Chương 2: Trình bày các dấu hiệu, một số kỹ thuật thường dùng để giải

các bài phương trình, hệ phương trình bằng phương pháp lượng giác hóa, và

các bài toán ứng dụng cụ thể.

- Chương 3: Trình bày các dấu hiệu, một số kỹ thuật thường dùng để

chứng minh bất đẳng thức và các bài toán ứng dụng cụ thể.

- Chương 4: Trình bày các dấu hiệu, một số kỹ thuật thường dùng để giải

các bài tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất bằng phương pháp lượng giác hóa và

các bài toán ứng dụng cụ thể.

6