Độ sâu lọc của iđêan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Mai Vân

Chuyên ngành : Đại Số và Lý Thuyết Số

Mã số : 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. TRẦN TUẤN NAM

Thành phố Hồ Chí Minh - 2010

Lời Cảm Ơn

Luận văn được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn tận tình và nghiêm

khắc của thầy giáo TS. Trần Tuấn Nam. Nhân dịp này tôi xin chân

thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy và gia đình.

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm

Thành phố Hồ Chí Minh, lãnh đạo Khoa Toán Tin, lãnh đạo và chuyên

viên Phòng KHCN - SĐH của Trường đã tạo mọi điều kiện thuận lợi

cho tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập của mình.

Tôi xin chân thành cảm ơn sự tận tâm và nhiệt tình của PGS.TS

Mỵ Vinh Quang, PGS.TS Bùi Tường Trí, TS. Trần Huyên và các quý

thầy cô tham gia giảng dạy cho lớp cao học chuyên ngành Đại số và

lý thuyết số khóa 18.

Tôi cũng rất biết ơn lãnh đạo và đồng nghiệp ở Trường Sĩ quan

Không Quân nơi tôi công tác, Ban cán bộ và Chi bộ Tiểu đoàn 1 ở

Trường Sĩ quan Kỹ thuật Quân sự Winhempich và tất cả các bạn cùng

khóa đã ủng hộ, giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học

tập và làm luận văn.

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn những người thân yêu trong gia đình

đã luôn cho tôi niềm tin và động lực để học tập và công tác tốt.

Nguyễn Thị Mai Vân

1

Lời Nói Đầu

Cho (R, m) là vành giao hoán Noether địa phương, I là iđêan thực sự

của R và M là R - môđun hữu hạn sinh. Khái niệm dãy chính quy, độ

sâu của iđêan, cùng với những tính chất và những đặc trưng của nó

thông qua Ext, môđun đối đồng điều địa phương và đồng điều Koszul

đã được các nhà toán học tìm hiểu rất chi tiết và được trình bày rất

cụ thể trong các giáo trình về vành giao hoán. Đặc biệt, kết quả độ

sâu của I trên M, kí hiệu bởi depth(I,M), là chiều dài của một M -

dãy chính quy tối đại trong I và cũng là số nguyên nhỏ nhất r sao cho

môđun đối đồng điều địa phương Hr

I (M) 6= 0 được nhiều nhà toán

học quan tâm nghiên cứu và mở rộng.

Năm 1978, Nguyễn Tự Cường và Ngô Việt Trung đã trình bày khái

niệm về dãy chính quy lọc xem như là mở rộng của dãy chính quy

và họ đã nghiên cứu một lớp môđun gọi là f − module. G. Faltings

(1978) đã chỉ ra rằng số nguyên nhỏ nhất r để Hr

I (M) không hữu hạn

sinh là min {depth (Mp) + ht ((I + p) /p)| I 6⊂ p}. L. Melkerson (1995)

đã trình bày một kết quả tương tự như Faltings trong đó tính hữu hạn

được thay bằng tính Artin. Ông chỉ ra rằng số nguyên nhỏ nhất r để

Hr

I (M) không Artin là min {depth (IRp, Mp)| p ∈ Supp(M/IM)\ {m}}.

Năm 2001, R. L ..u và Z. Tang đã chỉ ra rằng số r này chính là độ sâu

lọc của I trên M, kí hiệu là f − depth(I,M), là chiều dài của một M

- dãy chính quy lọc tối đại trong I. Kết qủa mà họ đạt được trong

bài báo này là chứng minh một số tính chất cơ bản của dãy chính quy

4

lọc và độ sâu lọc, đưa ra một số đặc trưng của độ sâu lọc thông qua

Ext, môđun đối đồng điều địa phương và đồng điều Koszul, những kết

quả này xem như là những kết quả mở rộng của dãy chính quy và độ

sâu của iđêan. Rồi từ những kết quả này khá nhiều nghiên cứu được

mở rộng. Chẳng hạn, Lê Thanh Nhàn (2004) đã định nghĩa độ sâu

suy rộng của I trong M, kí hiệu là gdepth(I,M). Bà chỉ ra rằng số

nguyên nhỏ nhất r sao cho Supp (Hr

I (M)) vô hạn và Ass (Hr

I (M)) là

tập hữu hạn với mọi i 6 gdepth(I,M). L. Chu và Z. Tang (2007) đã

chứng minh f − depth(I + Ann(M), N) là số nguyên nhỏ nhất r sao

cho môđun đối đồng điều địa phương suy rộng Hr

I (M,N) không Artin

và khá nhiều mở rộng khác nữa .v.v... Điều này cho thấy, khái niệm

độ sâu lọc trở thành một công cụ hữu ích cho khá nhiều nghiên cứu

gần đây liên quan đến môđun đối đồng điều địa phương, môđun đối

đồng điều địa phương suy rộng với mục đích giải quyết các vấn đề về

tính triệt tiêu, tính hữu hạn, tính Artin và tính hữu hạn của tập các

iđêan nguyên tố liên kết của chúng. Vì những kết quả này có nhiều

ứng dụng trong các lĩnh vực của toán học như Đại số giao hoán, Hình

học đại số, Đại số tổ hợp.

Trong luận văn này, chúng tôi sẽ giới thiệu một số tính chất cơ bản

của dãy chính quy lọc và độ sâu lọc, bên cạnh đưa ra một số đặc trưng

của độ sâu lọc thông qua Ext, môđun đối đồng điều địa phương và

đồng điều Koszul. Ngoài ra, chúng tôi còn xét một số kết quả về tính

hữu hạn của tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều

địa phương. Cuối cùng, chúng tôi sẽ giới thiệu thêm về f − module và

5

mối liên hệ giữa f − module và f − depth. Kết quả này được mở rộng

tương tự như mối liên hệ giữa môđun Cohen - Macaulay và độ sâu.

Nội dung của luận văn chia làm ba chương cụ thể như sau:

Chương I: Kiến thức cơ sở.

Trong chương này, chúng tôi nhắc lại các khái niệm và một số mệnh

đề dùng sử dụng trong chương II.

Chương II: Độ sâu lọc của iđêan.

Đầu tiên, chúng tôi định nghĩa dãy chính quy lọc. Sau đó đưa ra một

số tính chất của dãy chính quy lọc được trình bày trong các mệnh đề

2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4.

Từ kết quả của mệnh đề 2.2.1, ta định nghĩa độ sâu lọc của iđêan:

Cho I là một iđêan thực sự của R. Độ sâu lọc của I trên M là độ

dài của bất kì một M - dãy chính quy lọc tối đại trong I, kí hiệu là

f − depth(I,M), ta có:

f − depth(I,M) = min {n| dim (Extn

R (R/I, M)) > 0}

f − depth(I,M) = ∞ khi dim (Extn

R (R/I, M)) 6 0, ∀n > 0

Vì nếu x1, x2, ..., xn là M - dãy chính quy thì nó cũng là M - dãy chính

quy lọc. Do đó dựa trên những tính chất của độ sâu ta cũng có những

tính chất cơ bản của độ sâu lọc trong các mệnh đề 2.3.1, 2.3.2, 2.3.3,

2.3.4, 2.3.5.

Bên cạnh những tính chất cơ bản, độ sâu lọc còn có những đặc trưng

thông qua Ext, môđun đối đồng điều địa phương và đồng điều Koszul

được trình bày trong các định lí:

Định lí 2.4.1 Cho I là iđêan thực sự của R. Lấy y1, y2, ..., yn ∈ I sao

6

cho I = (y1, y2, ..., yn). Khi đó

f − depth(I,M) = n − Sup {i|dim(Hi(y1, y2, ..., yn; M)) > 0}

Nếu không tồn tại i để dim(Hi(y1, , ..., yn; M)) > 0 thì vế phải bằng

∞.

Định lí 2.4.2 Cho I là iđêan thực sự của R sao cho Supp(M/IM) 6⊂

{m}. Khi đó

f − depth(I,M) = min {depth (IRp, Mp) : p ∈ SuppM/IM\ {m}}

Định lí 2.4.3 Cho I là iđêan thực sự của R. Khi đó

f − depth(I,M) = min 

i : dim SuppHi

I (M) > 0

Định lí 2.4.4 Cho I là iđêan thực sự của R. Khi đó

f − depth(I,M) = min 

i ∈ N : SuppHi

I (M) 6⊂ {m}

Định lí 2.4.6 Cho I là iđêan thực sự của R. Khi đó

f − depth(I,M) = min{r |Hr

I (M) không là mô đun Artin}

Đồng thời, chúng tôi còn xét kết quả về tính hữu hạn của tập các

iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương, đó là

AssHi

I (M) là tập hữu hạn với mọi i 6 f − depth(I,M).

Chương III: f − module

Trong chương này, chúng tôi sẽ giới thiệu thêm về f − module và các

tính chất của nó.

Cuối cùng trình bày định lí thể hiện mối quan hệ giữa f − module và

f − depth.

7