Định lý rolle, quy tắc dấu descartes và ứng dụng.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ THANH DIỆU

ĐỊNH LÝ ROLLE, QUY TẮC DẤU DESCARTES

VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60. 46. 01. 13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2015

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. PHAN ĐỨC TUẤN

Phản biện 1: TS. NGUYỄN NGỌC CHÂU

Phản biện 2: PGS.TS. TRẦN ĐẠO DÕNG

Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt

nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp tại Đại Học Đà Nẵng vào ngày 27

tháng 6 năm 2015.

Có thể tìm hiểu Luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài

Đa thức và các bài toán liên quan luôn đóng vai trò quan trọng

trong toán học không những như là một đối tượng nghiên cứu trọng

tâm của đại số mà còn là một công cụ đắc lực của giải tích trong lý

thuyết xấp xỉ, lý thuyết nội suy, lý thuyết biểu diễn, tối ưu... Đặc biệt

bài toán khảo sát số nghiệm thực của đa thức với các hệ số thực là

vấn đề được quan tâm của nhiều thế hệ các nhà toán học. Những kết

quả đầu tiên theo hướng này là của Descartes về quy tắc dấu để xác

định số nghiệm âm, dương của một đa thức thực dựa vào sự phân bố

dấu của dãy các hệ số của đa thức đã cho.

Bên cạnh đó Định lý Rolle và một số mở rộng (Định lý

Lagrange, Định lý Cauchy) là các định lý quan trọng về giá trị trung

bình trong chương trình giải tích cổ điển. Ứng dụng của các định lý

này trong chương trình toán trung học phổ thông rất đa dạng và

phong phú, đặc biệt là các dạng toán về giải phương trình, biện luận

số nghiệm của phương trình trên một khoảng, chứng minh bất đẳng

thức...

Trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic quốc tế thì các

bài toán về đa thức, phương trình và các vấn đề liên quan cũng được

đề cập nhiều và được xem như những dạng toán khó ở bậc trung học

phổ thông. Các bài toán liên quan đến đa thức và phương trình cũng

nằm trong chương trình thi Olympic sinh viên giữa các trường đại

học và cao đẳng trong cả nước về Giải tích và Đại số.

2

Với những lý do trên và qua khả năng tìm hiểu, nghiên cứu

chúng tôi lựa chọn đề tài: “Định lý Rolle, quy tắc dấu Descartes và

ứng dụng” làm luận văn tốt nghiệp bậc cao học của mình.

2. Mục tiêu nghiên cứu của đề tài

Mục tiêu của đề tài là nhằm giúp người đọc hiểu được nội dung,

tính chất liên quan đến định lý olle, quy tắc dấu escartes và một

số phương pháp để xác định số nghiệm âm, dương của một đa thức.

3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các đa thức với dãy các hệ số thực.

Phạm vi nghiên cứu của đề tài là định lý olle, quy tắc dấu escartes và ứng

dụng.

4. Phƣơng pháp nghiên cứu

Thu thập các bài báo khoa học và tài liệu của các tác giả nghiên

cứu liên quan đến định lý olle và quy tắc dấu escartes.

Tham gia các buổi seminar của thầy hướng dẫn để trao đổi các

kết quả đang nghiên cứu.

5. Bố cục đề tài

Luận văn được chia thành hai chương:

Ở chương 1 giới thiệu các khái niệm, các tính chất về sự đổi dấu

và vị trí đổi dấu của dãy, trình bày định lý olle, quy tắc dấu

Descartes.

Đến chương 2 trình bày các bài toán liên quan đến định lý olle

và quy tắc dấu escartes.

3

6. Tổng quan tài liệu nghiên cứu

Tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên quan

đến định lý olle, quy tắc dấu escartes và ứng dụng thực tế qua các

ví dụ, bài tập áp dụng, nhằm xây dựng một tài liệu tham khảo cho

những ai muốn nghiên cứu về định lý olle và quy tắc dấu

Descartes.

Chứng minh chi tiết các định lí và làm rõ một số tính chất, cũng

như đưa ra một số ví dụ minh họa nhằm làm cho người đọc dễ dàng

tiếp cận vấn đề được đề cập.

4

CHƢƠNG 1

ĐỊNH LÝ ROLLE VÀ QUY TẮC DẤU DESCARTES

1.1. CÁC KHÁI NIỆM VỀ SỰ ĐỔI DẤU CỦA DÃY

Trong luận văn này, khi nói đến các đa thức, chuỗi luỹ thừa hay

dãy số ta đều xét chúng là các số thực. Tiếp đó, nếu không nói ngược

lại, các hàm được đưa vào đều giả thiết là giải tích trong các khoảng

đã nêu. Tuy nhiên các định lý được khẳng định chỉ cần thay đổi

không lớn lắm hoặc thậm chí hoàn toàn không cần một sự thay đổi

nào khi thay giả thiết này bằng giả thiết yếu hơn, chẳng hạn với đòi

hỏi tồn tại đạo hàm đến một cấp nào đó. Khắp nơi về sau, các không

điểm được tính theo bội của nó.

Và để thuận tiện cho việc lập luận, ta quy ước số 0 là số chẵn.

Ta cần xét một số khái niệm sau:

Định nghĩa 1.1. [7]. Không điểm của hàm số

y f x  ( )

là điểm

0

x

mà ở đó hàm số triệt tiêu

0

f x( ) 0  .

Định nghĩa 1.2. [7]. Cho dãy

0 1 2 a a a , , ,...

gồm hữu hạn hay vô

hạn các số hạng.

Chỉ số

m

được gọi là vị trí đổi dấu của dãy nếu có

a a m m 1  0, ( 1) m 

hoặc là

1 2 k 1 a a a m m m    

    ... 0

và

5

a a m k m   0 , ( 2) m k   .

Trong trường hợp thứ nhất thì

m 1 a 

và

m a , còn trong trường hợp

thứ hai thì

m k a 

và

m a

lập thành vị trí đổi dấu.

Định nghĩa 1.3. [7]. Hàm

f x( )

được gọi là duy trì dấu trong

khoảng

( ; ) ab

nếu

f x( ) 0 

hoặc

f x( ) 0  ,  x a b ( ; ).

Giả sử khoảng

( ; ) ab

được chia thành

Z 1

khoảng con sao

cho:

a.

f x( )

không đồng nhất triệt tiêu trong khoảng con nào đó.

b. Trong mỗi khoảng con

f x( )

duy trì dấu.

c. Trong hai khoảng con kề nhau

f x( )

có dấu ngược nhau.

Khi đó ta nói rằng trong khoảng

( ; ) ab

hàm

f x( )

có

Z

lần đổi

dấu.

Nhận xét 1.1. Khi vượt qua không điểm bậc lẻ, hàm giải tích bị

thay đổi dấu còn khi vượt qua không điểm bậc chẵn thì không đổi

dấu.

Định nghĩa 1.4. [7]. Ta gọi sự đổi dấu và vị trí đổi dấu của đa

thức

1

0 1 1 ... ,

n n

a a x a x a x n n



    

hoặc của chuỗi luỹ thừa

1

0 1 1 ... ...,

n n

a a x a x a x n n



     

chính là sự đổi dấu và vị trí đổi dấu của dãy hữu hạn hoặc vô hạn các

hệ số

6

0 1 2 , , ,..., , a a a an

tương ứng

0 1 2 a a a , , ,...

1.2. CÁC TÍNH CHẤT VỀ SỰ ĐỔI DẤU CỦA DÃY VÀ

HÀM

Tính chất 1.1. [7]. Số vị trí đổi dấu của một dãy nào đó không

thay đổi nếu các số hạng bằng 0 được bỏ đi còn những số hạng còn

lại vẫn bảo toàn vị trị tương hỗ của nó.

Tính chất 1.2. [7]. Các dãy

0 1 2 , , ,..., a a a an

và

1 1 0 , ,..., , a a a a n n

có cùng một số vị trí đổi dấu.

Tính chất 1.3. [7]. Khi gạch bỏ các số hạng của dãy, số vị trí

đổi dấu không tăng thêm.

Tính chất 1.4. [7]. Khi đặt vào giữa các số hạng của dãy một số

lượng tùy ý các số hạng bằng 0, số vị trí đổi dấu của dãy vẫn không

thay đổi.

Tính chất 1.5. [7]. Số vị trí đổi dấu của dãy sẽ không thay đổi

nếu bên cạnh một số hạng nào đó của dãy, ta đặt một số hạng mới có

cùng dấu với số hạng đó.

Tính chất 1.6. [7]. Nếu

0 p  0 ,

1 p  0 ,

2 p  0

,... thì các dãy

0 1 2 a a a , , ...,

và

0 0 1 1 2 2 a p a p a p , , ,...,

có cùng những vị trí đổi dấu.

7

Tính chất 1.7. [7]. Dãy

0 1 0 2 1 1 , , ,..., , a a a a a a a a   n n n 

có số vị

trí đổi dấu không lớn hơn so với dãy

0 1 2 , , ,..., a a a an

.

Tính chất 1.8. [7]. Nếu dãy vô hạn

0 1 2 , , ,..., ,... a a a an

chỉ có một

số hữu hạn

W

vị trí đổi dấu thì dãy tạo nên nhờ dãy đã cho:

0 0 1 0 1 2 0 1 2 , , 2 ,..., ... ,...,

1 2 n

n n

a a a a a a a a a a

   

              

cũng chỉ có một số hữu hạn vị trí đổi dấu và số đó không lớn hơn

W .

Tính chất 1.9. [7]. Trong khoảng mà khắp nơi

( ) 0 x 

, các hàm

f x( )

và

f x x ( ) ( ) 

có cùng các không điểm.

Tính chất 1.10. [7]. Cho hàm

f x( )

liên tục trên khoảng

ab, ,

và

a b,

không là không điểm của hàm

f x( )

. Khi đó

i. Nếu

f a f b ( ). ( ) 0 

thì

f x( )

chứa một số lẻ các không

điểm trên khoảng

ab, .

ii. Nếu

f a f b ( ). ( ) 0 

thì

f x( )

chứa một số chẵn các không

điểm trên khoảng

ab, .

Tính chất 1.11. [7]. Giả sử

,

j k a a

khác 0 (

j k 

). Khi đó:

i. Nếu

j a

và

k a

cùng dấu thì dãy số hữu hạn

1 1 , ,..., , j j k k a a a a  

sẽ có một số chẵn vị trí đổi dấu.

ii. Nếu

j a

và

k a

trái dấu thì dãy số hữu hạn

1 1 , ,..., , j j k k a a a a  

sẽ

có một số lẻ vị trí đổi dấu.