Định lý hahn-banach.

MÖC LÖC

MÖC LÖC..................................................................................... 1

LÍI MÐ †U................................................................................ 2

Ch÷ìng I. Mët sè ki¸n thùc cì b£n.......................................... 5

Ch÷ìng II. ành lþ Hahn-Banach .......................................... 14

2.1. ành lþ Hahn-Banach ............................................................. 14

2.2. TæPæ Y¸u ................................................................................ 25

2.3. C¡c tªp Lçi compact ................................................................ 35

KT LUŠN ................................................................................. 42

T€I LI›U THAM KHƒO......................................................... 43

1

LÍI NÂI †U

1. Lþ do chån · t i.

N¸u khæng câ ành lþ Hahn-Banach th¼ c§u tróc cõa gi¡o tr¼nh Gi£i

t½ch h m r§t kh¡c so vîi ng y nay nh÷ ta ¢ bi¸t. ành lþ Hahn-Banach

l  mët trong ba ành lþ quan trång v  cì b£n nh§t cõa Gi£i t½ch h m, l 

mët trong nhúng ành lþ l m cì sð n·n mâng cho lþ thuy¸t h m, ngo i

ra ành lþ m¤nh v· sü tçn t¤i m  d¤ng cõa nâ °c bi»t th½ch hñp nhúng

v§n · tuy¸n t½nh vîi mët l÷ñng lîn nhúng ùng döng thüc ti¹n quan

trång. ành lþ Hahn-Banach l  mët ành lþ r§t ÷ñc c¡c nh  Gi£i t½ch

håc ÷u chuëng. Möc ½ch cõa kho¡ luªn kh¯ng ành ch­c ch­n sü tçn

t¤i cõa mët phi¸m h m tuy¸n t½nh còng vîi nhúng °c t½nh n o â.

Nhªn th§y t¦m quan trång cõa ành lþ Hahn-Banach v  ÷ñc sü ành

h÷îng cõa th¦y gi¡o Th.S L÷ìng Quèc Tuyºn, t¡c gi£ ¢ quy¸t ành chån

nghi¶n cùu · t i: "ành lþ Hahn-Banach."

2. Möc ½ch. Muèn t¼m hiºu s¥u v· ành lþ Hahn-Banach.

Vîi möc ½ch nghi¶n cùu nh÷ tr¶n, b i vi¸t ÷ñc chia l m 2 ch÷ìng

vîi c¡c nëi dung ch½nh nh÷ sau:

Ch÷ìng 1. Mët sè ki¸n thùc cì b£n. Tr¼nh b y l¤i mët sè kh¡i

ni»m v  ành ngh¾a cì b£n cõa tæpæ ¤i c÷ìng º phöc vö cho vi»c chùng

minh c¡c ành lþ, bê ·, h» qu£,...ð ch÷ìng sau.

Ch÷ìng 2. ành lþ Hahn-Banach. N¶u l¤i ành ngh¾a khæng gian

li¶n hñp, sì chu©n, nûa chu©n trong khæng gian vectì tæpæ, ngo i ra ÷a

ra më sè ành lþ cì b£n v· Hahn-Banach, chùng minh mët sè t½nh ch§t

câ li¶n quan ¸n ành lþ Hahn-Banach. Nh­c l¤i ành ngh¾a Tæpæ y¸u,

mët sè t½nh ch§t cõa nâ. Cuèi còng trong ch÷ìng 2, n¶u l¤i c¡c t½nh ch§t

cõa Tªp lçi, chùng minh ÷ñc mët sè ành lþ, h» qu£...

2

3. èi t÷ñng nghi¶n cùu. ành lþ Hahn-Banach.

4. Ph¤m vi · t i. Gi£i t½ch h m.

5. Þ ngh¾a khoa håc v  thüc ti¹n cõa · t i.

Kho¡ luªn s³ l  mët t i li»u tham kh£o º hiºu s¥u hìn v· ành lþ

Hahn-Banach v  c¡c ùng döng cõa nâ cho vi»c chùng minh c¡c ành lþ

kh¡c.

Do h¤n ch¸ v· thíi gian v  ki¸n thùc n¶n mët sè k¸t qu£ trong kho¡

luªn n y ch¿ tr½ch ð d¤ng bê ·, khæng chùng minh nh÷ng câ chó th½ch

t i li»u tham kh£o.

Sau ¥y l  mët sè kþ hi»u ÷ñc quy ÷îc trong to n bë b i vi¸t

Trong to n bë b i vi¸t khi cho c¡c khæng gian X th¼ ta hiºu l  c¡c

khæng gian tæpæ v  t¡c gi£ qui ÷îc t§t c£ c¡c khæng gian l  τ1 v  ch½nh

quy c¡c kh¡i ni»m v  thuªt ngú kh¡c n¸u khæng nâi g¼ th¶m th¼ ÷ñc

hiºu thæng th÷íng.

Gi£ sû E l  tªp con lçi cõa khæng gian lçi àa ph÷ìng X. Khi â bao

âng cõa E ÷ñc kþ hi»u E, bao âng y¸u kþ hi»u Ew.

Gi£ sû X l  khæng gian tæpæ. Khi â khæng gian lçi àa ph÷ìng kþ hi»u

Xw, èi ng¨u cõa Xw ÷ñc kþ hi»u X∗

.

º ho n th nh · t i n y t¡c gi£ ¢ nhªn ÷ñc sü gióp ï r§t nhi·u

cõa gia ¼nh, th¦y cæ v  b¤n b±. ¦u ti¶n cho ph²p t¡c gi£ xin gûi líi

c¡m ìn s¥u s­c ¸n th¦y Th.S L÷ìng Quèc Tuyºn ¢ tªn t¼nh gióp ð

trong suèt qu¡ tr¼nh º ho n th nh kho¡ luªn n y. T¡c gi£ ch¥n th nh

c¡m ìn Ban chõ nhi»m khoa To¡n v  c¡c th¦y cæ gi¡o trong khoa To¡n

tr÷íng ¤i Håc S÷ Ph¤m- ¤i Håc   N®ng ¢ nhi»t t¼nh gi£ng d¤y.

Cuèi còng t¡c gi£ xin c¡m ìn c¡c th nh vi¶n trong gia ¼nh v  t§t c£

3

b¤n b±, °c bi»t l  Ba m¡ v  c¡c b¤n lîp 08CTT2 ¢ ëng vi¶n, gióp

ï v  t¤o i·u ki»n thuªn lñi cho t¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp

v  nghi¶n cùu.

M°c dò ¢ câ nhi·u cè g­ng nh÷ng v¼ thíi gian câ h¤n v  n«ng lüc

cán h¤n ch¸ n¶n kho¡ luªn v¨n khæng thº tr¡nh khäi thi¸u sât v· m°t

nëi dung l¨n h¼nh thùc. V¼ vªy, t¡c gi£ r§t mong ÷ñc nhªn ÷ñc sü âng

gâp, ch¿ b£o quþ b¡u cõa th¦y, cæ gi¡o v  nhúng gâp þ cõa b¤n åc.

  N®ng, th¡ng 05 n«m 2012.

T¡c gi£.

4