Định lý bốn điểm đối với hàm phân hình và tính chuẩn tắc của họ các ánh xạ phân hình nhiều biến.

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Năm 1925, R. Nevanlinna công bố bài báo về sự phân bố giá trị của hàm

phân hình trên mặt phẳng phức. Sau đó, nó nhanh chóng được mở rộng sang

trường hợp hàm phân hình nhiều biến phức và ánh xạ chỉnh hình vào không

gian xạ ảnh phức, lập nên lý thuyết mà sau này mang tên Nevanlinna (hay còn

được gọi là Lý thuyết phân bố giá trị). Nhiều ứng dụng đẹp đẽ của lý thuyết

này đã được chỉ ra trong việc nghiên cứu ánh xạ chỉnh hình, phân hình như:

Bài toán xác định duy nhất ánh xạ chỉnh hình, phân hình; Bài toán về tính

Hyperbolic của đa tạp đại số xạ ảnh; Bài toán họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh

hình, phân hình; Bài toán thác triển ánh xạ chỉnh hình.

Phát triển lý thuyết cũng như nghiên cứu ứng dụng của Lý thuyết Nevan￾linna trong những lĩnh vực khác nhau đã liên tục thu hút được sự quan tâm

của nhiều nhà toán học trong suốt gần 100 năm qua. Trong bối cảnh đó, chúng

tôi chọn đề tài nghiên cứu: "Định lý bốn điểm đối với hàm phân hình

và tính chuẩn tắc của họ các ánh xạ phân hình nhiều biến".

2. Mục đích nghiên cứu

1. Năm 1926, R. Nevanlinna đã chứng minh rằng với hai hàm phân hình

khác hằng f và g trên mặt phẳng phức, nếu chúng có cùng ảnh ngược không

kể bội của năm điểm phân biệt thì f = g (Định lý năm điểm) và g là một biểu

diễn phân tuyến tính của f nếu chúng có cùng số ảnh ngược (tính cả bội) của

bốn điểm phân biệt (Định lý bốn điểm). Số điểm cần thiết trong các kết quả

nói trên của R. Nevanlinna đã ở mức ít nhất có thể. Tuy vậy, từ hai kết quả

đó, ta sẽ xuất hiện câu hỏi tự nhiên là: Liệu Định lý bốn điểm có được mở

rộng đến trường hợp không tính bội hay bội được ngắt bởi một mức nào đó

hay không? Vấn đề này thu hút sự quan tâm của H. Cartan, G. Gundersen,

N. Steinmetz, H. Fujimoto, M. Shirosaki, Trần Văn Tấn và nhiều tác giả khác.

Tiếp tục hướng nghiên cứu này, chúng tôi xem xét vấn đề sau: Mở rộng Định

lý bốn điểm nói trên tới trường hợp bội được ngắt với mức thấp và bốn điểm

được thay bởi bốn hàm phân hình nhỏ (so với các hàm f, g đang xét).

2

2. Một trong những ứng dụng quan trọng của lý thuyết Nevanlinna là nó

cho ta các tiêu chuẩn về tính suy biến hay chặt hơn là tính hằng của các đường

cong (chỉnh hình, phân hình). Trong khi đó, theo nguyên lý Bloch, mỗi định

lý dạng Picard bé (về tiêu chuẩn đường cong hằng) đều tương ứng với một

tiêu chuẩn họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình. Đó chính là cầu nối giữa lý

thuyết Nevanlinna và lý thuyết về họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình. Nhiều

tiêu chuẩn chuẩn tắc cho họ các ánh xạ chỉnh hình, phân hình dưới điều kiện

về ảnh ngược của các siêu phẳng, siêu mặt đã được chỉ ra bởi L. Zalcman,

H. Fujimoto, W. Bergweiler, Z. Tu, Phạm Ngọc Mai - Đỗ Đức Thái - Phạm

Nguyễn Thu Trang, Sĩ Đức Quang - Trần Văn Tấn, Y. Zhang và nhiều tác giả

khác. Vấn đề nghiên cứu thứ hai của luận án là: Tính chuẩn tắc cho họ các

ánh xạ phân hình từ một miền trong không gian affine phức vào không gian

xạ ảnh phức dưới điều kiện có cùng ảnh ngược của các siêu phẳng hay siêu

mặt di động.

3. Định lý Picard lớn cổ điển chỉ ra rằng: Mỗi hàm chỉnh hình trên một đĩa

thủng nếu tránh 2 giá trị phân biệt thì có thể thác triển chỉnh hình qua điểm

thủng. Kết quả trên đã được mở rộng sang các trường hợp ánh xạ chỉnh hình

vào không gian xạ ảnh phức dưới điều kiện về ảnh ngược của các siêu phẳng

(cố định hay di động) và của các siêu mặt cố định bởi H. Fujimoto, Z. Tu, Z.

Tu - P. Li và nhiều tác giả khác. Tiếp tục hướng nghiên cứu này, chúng tôi

xem xét vấn đề sau: Thiết lập Định lý Picard lớn cho ánh xạ chỉnh hình vào

phần bù của 2n + 1 siêu mặt di động trong không gian xạ ảnh phức n chiều.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận án là Lý thuyết Nevanlinna; Lý thuyết họ

chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình, phân hình; Bài toán xác định duy nhất ánh

xạ phân hình; Bài toán thác triển ánh xạ chỉnh hình.

4. Phương pháp nghiên cứu

Để giải quyết những vấn đề đặt ra trong luận án, chúng tôi sử dụng các

phương pháp nghiên cứu của Lý thuyết phân bố giá trị, Giải tích phức, Hình

học phức; kế thừa và phát triển các kỹ thuật của các tác giả đi trước về các

chủ đề liên quan.