ĐỊNH LÍ ROLL VÀ BẤT ĐẲNG THỨC HÀM LỒI

Tập san khối chuyên Toán 2008-2009

ĐỊNH LÍ ROLL VÀ BẤT ĐẲNG THỨC HÀM LỒI

A. Lý thuyết

1.Bất đẳng thức hàm lồi

• Định lí 1: Cho hàm số f x( ) xác định trên khoảng( a b, ) .

1) Hàm số f x( ) được gọi là lồi trên khoảng đó

( ( ) ( ) )

'' f x x a b ≤ ∀ ∈ 0 ,

( ) 1 2 , ,.., ,

n ⇔ ∀ ∈ x x x a b ta có

( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 .. .. n n

f x f x f x x x x f

n n

+ + +   + +

≤    

Dấu “=” xảy ra khi 1 2 .. .

n

x x x = = =

2) Hàm số f x( ) được gọi là lõm trên khoảng đó( ( ) ( ) )

'' f x x a b ≥ ∀ ∈ 0 ,

( ) 1 2 , ,.., ,

n ⇔ ∀ ∈ x x x a b ta có

( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 .. .. n n

f x f x f x x x x f

n n

+ + +   + +

≥    

Dấu “=” xảy ra khi 1 2 .. .

n

x x x = = =

• Định lí 2: Giả sử hàm số f x( ) gọi là lồi trên khoảng ( a b, ) . Với n giá trị tùy ý

1 2 , ,..,

n

x x x của biến số x thuộc khoảng đó, với n số hữu tỉ 1 2 , ...,

n

r r r thỏa mãn

điều kiện

1 2

0 . 1,

... 1

i

n

r i n

r r r

 < = 

 + + + =

Ta đều có: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 ... ...

n n n n

r f x r f x r f x f r x r x + + + ≤ + +

Dấu “=” xảy ra khi 1 2 .. .

n

x x x = = =

- Ta có cách chứng minh cho định lí trên như sau:

Viết các số hữu tỉ 1 2 , ,...,

n

r r r dưới dạng n phân số cùng mẫu chung M như sau:

i

i

m

r

M

= với i n =1,

Ta có: 1 2 ... m m m M + + + =n

Áp dụng định lí 1 cho m1

số 1

x

m2

số 2

x …

mn

số n

x

⇒ M số. Ta có: f x( ) là hàm lồi

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

... ...

... ...

n n n n

n n n n

m f x m f x m f x m x m x m x f

M M

r f x r f x r f x f r x r x r x

+ + +   + + + ⇒ ≤    

⇔ + + ≤ + + +

• Ta có thể nói định lí 2 là hệ quả của định lí 1.

2.Định lí Roll:

- Nếu hàm số y f x = ( ) lồi hoặc lõm trên miền D thì phương trình f x( ) = 0 sẽ không

có quá 2 nghiệm thực thuộc D

B. Các ví dụ áp dụng:

- 1 -