Điều kiện đủ cấp 2 cho cực tiểu địa phương chặt cấp 2

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

––––––––––––––––––––––––––––

NGUYỄN HUY HÙNG

ĐIỀU KIỆN ĐỦ CẤP 2

CHO CỰC TIỂU ĐỊA PHƯƠNG CHẶT CẤP 2

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS Đỗ Văn Lưu

THÁI NGUYÊN – 2011



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

1

MỤC LỤC Trang

MỞ ĐẦU ............................................................................................... 2

Chương 1. ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU CẤP 2 CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU

KHÔNG TRƠN VỚI RÀNG BUỘC TẬP ............................................. 5

1.1. CÁC KẾT QUẢ BỔ TRỢ ........................................................... 5

1.2. ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU............................................................ 7

1.3. BÀI TOÁN VỚI HỮU HẠN RÀNG BUỘC............................. 17

Chương 2. ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU CẤP 2 CHO BÀI TOÁN

TỐI ƯU KHÔNG TRƠN CÓ RÀNG BUỘC BẤT ĐẲNG THỨC ..... 23

2.1. CÁC ĐIỀU KIỆN ĐỦ CẤP 2.................................................... 23

2.2. SO SÁNH VỚI ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU CỦA A. D. IOFFE .. 40

2.3. ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU DƯỚI NGÔN NGỮ HÀM

LAGRANGE.................................................................................... 45

KẾT LUẬN.......................................................................................... 51

TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................... 52

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

2

MỞ ĐẦU

Lý thuyết các bài toán tối ưu có nhiều ứng dụng trong kinh tế và

nhiều ngành kỹ thuật. Các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 cho phép ta nhận

được các điểm cực tiểu địa phương chặt cấp 2. Các điều kiện tối ưu cấp 2

cổ điển thường được thiết lập dưới ngôn ngữ các gradient và Hessian của

hàm mục tiêu và các hàm ràng buộc của bài toán. Với bài toán tối ưu mà

dữ liệu là các hàm Lipschitz địa phương, người ta thường dùng gradient

suy rộng và Jacobian suy rộng Clarke thay thế vai trò của gradient và

Hessian.

R.W. Chaney [7] đã thiết lập các điều kiện đủ tối ưu cấp 2

tổng quát dưới ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke cho bài toán với ràng

buộc trong không gian Euclide n-chiều. Ở đây hàm mục tiêu là Lipschitz

địa phương, ràng buộc là một tập đóng trong R

n

. Phương pháp chứng

minh phản chứng cùng với các điều kiện cần tối ưu cấp 1 của Clarke [3]

đã được tác giả sử dụng để dẫn đến các điều kiện đủ tối ưu cấp 2. Các

điều kiện đủ cấp 2 cho bài toán trên với các hàm bán trơn và chính quy

dưới vi phân cùng được thiết lập. Trong [6] R.W. Chaney đã dẫn các

điều kiện đủ tối ưu cấp 2 cho bài toán với hữu hạn ràng buộc đẳng thức

và bất đẳng thức Lipschitz địa phương. Ở đây các điều kiện đủ cấp 2

được thiết lập dưới ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke của các hàm được

xây dựng kiểu hàm “quy gọn” của Ioffe [9] (“quy gọn” bài toán xuất

phát có ràng buộc hàm thành bài toán không ràng buộc với hàm mục tiêu

“quy gọn”).

Luận văn trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 của

Chaney [6,7] cho các bài toán với ràng buộc tập và bài toán với hữu hạn

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

3

ràng buộc hàm, trong đó dữ liệu của các bài toán là các hàm Lipschitz

địa phương. Các điều kiện đủ cấp 2 được trình bày dưới ngôn ngữ

gradient suy rộng Clarke của hàm bổ trợ cho hàm mục tiêu, và hàm quy

gọn kiểu Ioffe. Các điều kiện đủ cấp 2 cho bài toán trên với các hàm bán

trơn và chính quy dưới vi phân cũng được trình bày trong luận văn.

Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và

danh mục các tài liệu tham khảo.

Chương 1 trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 tổng quát

cho cực tiểu địa phương chặt cấp 2 của bài toán tối ưu với ràng buộc tập,

trong đó hàm mục tiêu là Lipschitz địa phương, còn ràng buộc là một tập

đóng trong R

n

. Các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 được trình bày trong

chương này là của R.W. Chaney [7] dưới ngôn ngữ gradient suy rộng

Clarke. Các điều kiện đủ cấp 2 cho bài toán với các hàm bán trơn và

chính quy dưới vi phân cũng được trình bày trong chương này.

Chương 2 trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 cho bài

toán tối ưu có hữu hạn ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức. Các điều

kiện đủ tối ưu cấp 2 được trình bày trong chương này là của R.W.

Chaney [6] được thiết lập dưới ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke của

các hàm H và M được xây dựng theo kiểu hàm quy gọn của Ioffe [9].

Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu

sắc nhất tới thầy giáo PGS.TS Đỗ Văn Lưu, người đã tận tình hướng

dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, khoa

Sau Đại học trường Đại học sư phạm – Đại học Thái Nguyên cùng các

thầy cô giáo đã tham gia giảng dạy khóa học, xin chân thành cảm ơn gia

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

4

đình, bạn bè đồng nghiệp và các học viên lớp Cao học Toán K17 đã luôn

quan tâm, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và quá trình làm luận

văn.

Thái Nguyên, tháng 8 năm 2011

NGUYỄN HUY HÙNG

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn