Đề thi và đáp áp Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 THCS Trần văn ơn mã 12

Vũ Thị Mỹ Hoà – THCS Trần Văn Ơn – Quận Hồng Bàng

CAUHOI

Phần 7_11

Giả sử M là một đa giác lồi. Ta ký hiệu s là số bé nhất các hình tròn bán kính 1 phủ

miền đa giác M, t là số lớn nhất các hình tròn đôi một rời nhau có đường kính 1 và có tâm

thuộc miền đa giác. Chứng minh rằng s t.

DAPAN

Bài Nội dung Điểm

Bài 5

(1,0đ)

Giả sử các hình tròn lần lượt có tâm A1, …, At thuộc miền đa giác, có

đường kính bằng 1 và đôi một rời nhau. 0,25

Xét t hình tròn (A; 1), …, (At; 1). Rõ ràng t hình tròn này phủ kín miền đa

giác M. Thật vậy nếu trái lại, khi đó tồn tại một điểm At+1 thuộc miền đa

giác nhưng không thuộc bất kỳ hình tròn nào trong số vừa nói. Ta có

At+1Ai> 1, i = 1, 2, …, t.

0,25

Vậy (t + 1) hình tròn có đường kính bằng 1 có tâm tại A1, …, At+1 đôi một

rời nhau và có các tâm thuộc miền đa giác M.

0,25

Điều này trái với giả thiết t là số lớn nhất. Vậy t hình tròn (A1;1), …,

(At;1) phủ kín miền đa giác M. Do s là số bé nhất ta đạt được st.

0,25