Đề thi toán vào lớp 10 chuyên Hà Nội docx

PTC_1011QĐ_01

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHTN

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT CHUYÊN

Năm học 2010- 2011

Môn thi: TOÁN- Vòng I

Câu I

1) Giải hệ phương trình









+ =

+ + =

2.

3 8 12 23

2 2

2 2

x y

x y xy

2) Giải phương trình

2 1 3 4 2 1 3 8 1.

2 3

x + + x − x + = + x +

Câu II

1) Tìm tất cả các số nguyên không âm (x, y) thoả mãn đẳng thức

(1 )(1 ) 4 2( )(1 ) 25.

2 2

+ x + y + xy + x + y + xy =

2) Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không

vượt quá a và ký hiệu là [a]. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn

có.

( )

n

n n

n n

=











+

+ +

+ +

1

1

...

2.3

7

1.2

3

2

Câu III

Cho đường tròn (O) với đường kính AB = 2R. Trên đường thẳng tiếp xúc với

đương tròn (O) tại A ta lấy điểm C sao cho góc 0 ACB = 30 . Gọi H là giao điểm thứ hai

của đường thăng BC với đường tròn (O).

1) Tính độ dài đương thẳng AC, BC và khoảng cách từ A đến đương thẳng BC

theo R.

2) Với mỗi điểm M trên đoạn thẳng AC, đường thẳng BM cắt đường tròn (O tại

điểm N (khác B). Chứng minh rằng bốn điểm C, M, N, H nằm trên cùng một

đường tròn và tâm đường tròn đó luôn chạy trên một đường thẳng cố định khi

M thay đổi trên đoạn thẳng AC.

Câu IV

Với a,b là các số thực thoả mãn đẳng thức

4

9

(1+ a)(1+ b) = , hãy tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức 4 4 P = 1+ a + 1+ b .

----------------------------------------------- Hết -------------------------------------------

HD gi¶i ®Ò MÔN TOÁN (Vòng 1)

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)

Câu I

3) Giải hệ phương trình









+ =

+ + =

2.

3 8 12 23

2 2

2 2

x y

x y xy

4) Giải phương trình

2 1 3 4 2 1 3 8 1.

2 3

x + + x − x + = + x +

H íng dÉn

1) Céng c¶ hai ph¬ng tr×nh ta ®îc (2x+3y)2=25

Ta cã hai hÖ







+ =

+ =

2

2 3 5

2 2

x y

x y

Vµ







+ =

+ = −

2

2 3 5

2 2

x y

x y

Giai ra ta ®îc PT cã 4 nghiÖm 1,-1;

13

7

;

13

7

−

2) §KX§

2

−1

x ≥

§Æt 2 1 ( 0); 4 2 1 ( 0)

2

x + = a a ≥ x − x + = b b >

Ta cã (1-b)(a-3) =0

b=1 th×

2

1

0; x1 = x2 = ;a=3 th× x3 = 4

Câu II

3) Tìm tất cả các số nguyên không âm (x, y) thoả mãn đẳng thức

(1 )(1 ) 4 2( )(1 ) 25.

2 2

+ x + y + xy + x + y + xy =

4) Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không

vượt quá a và ký hiệu là [a]. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn

có.

( )

n

n n

n n

=











+

+ +

+ +

1

1

...

2.3

7

1.2

3

2

H íng dÉn

1)Ph¸ ngoÆc

( )( ) ( )( ) ( )( )

( 1 ) 25 ( 1)( 1) 25

1 1 4 2 1 25. ( 1) 2 1 ( ) 25

2 2

2 2 2 2

⇔ + + + = ⇔ + + =

+ + + + + + = ⇔ + + + + + + =

xy x y x y

x y xy x y xy xy x y xy x y

v× x,y kh«ng ©m nªn (x+1)(y+1)=5 ta cã (x;y)=(0;4);(4;0)

2) xÐt ( )

1

1

1

1

1

( 1) ( 1)

1

( 1) ( 1)

1

2 2

k N

k k k k

k

k k

k

k k

k

k k

k k

+ ∈

+

+ = −

+

=

+

+

+

+

=

+

+ +

Thay k lÇn lît tõ 1 ®Õn n ta cã

( )

n

n

n

n

n

n

n n

n n

=











+

= + 











+

 = + −











+

+ +

+ +

1 1

1

1

1

1

...

2.3

7

1.2

3

2

(®pcm)

Câu III

Cho đường tròn (O) với đường kính AB = 2R. Trên đường thẳng tiếp xúc với

đương tròn (O) tại A ta lấy điểm C sao cho góc 0 ACB = 30 . Gọi H là giao điểm thứ hai

của đường thăng BC với đường tròn (O).

3) Tính độ dài đương thẳng AC, BC và khoảng cách từ A đến đương thẳng BC theo

R.

4) Với mỗi điểm M trên đoạn thẳng AC, đường thẳng BM cắt đường tròn (O tại điểm

N (khác B). Chứng minh rằng bốn điểm C, M, N, H nằm trên cùng một đường tròn

và tâm đường tròn đó luôn chạy trên một đường thẳng cố định khi M thay đổi trên

đoạn thẳng AC.

H íng dÉn