Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
Đề thi toán vào lớp 10 chuyên Hà Nội docx
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
PTC_1011QĐ_01
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHTN
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT CHUYÊN
Năm học 2010- 2011
Môn thi: TOÁN- Vòng I
Câu I
1) Giải hệ phương trình
+ =
+ + =
2.
3 8 12 23
2 2
2 2
x y
x y xy
2) Giải phương trình
2 1 3 4 2 1 3 8 1.
2 3
x + + x − x + = + x +
Câu II
1) Tìm tất cả các số nguyên không âm (x, y) thoả mãn đẳng thức
(1 )(1 ) 4 2( )(1 ) 25.
2 2
+ x + y + xy + x + y + xy =
2) Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không
vượt quá a và ký hiệu là [a]. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn
có.
( )
n
n n
n n
=
+
+ +
+ +
1
1
...
2.3
7
1.2
3
2
Câu III
Cho đường tròn (O) với đường kính AB = 2R. Trên đường thẳng tiếp xúc với
đương tròn (O) tại A ta lấy điểm C sao cho góc 0 ACB = 30 . Gọi H là giao điểm thứ hai
của đường thăng BC với đường tròn (O).
1) Tính độ dài đương thẳng AC, BC và khoảng cách từ A đến đương thẳng BC
theo R.
2) Với mỗi điểm M trên đoạn thẳng AC, đường thẳng BM cắt đường tròn (O tại
điểm N (khác B). Chứng minh rằng bốn điểm C, M, N, H nằm trên cùng một
đường tròn và tâm đường tròn đó luôn chạy trên một đường thẳng cố định khi
M thay đổi trên đoạn thẳng AC.
Câu IV
Với a,b là các số thực thoả mãn đẳng thức
4
9
(1+ a)(1+ b) = , hãy tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức 4 4 P = 1+ a + 1+ b .
----------------------------------------------- Hết -------------------------------------------
HD gi¶i ®Ò MÔN TOÁN (Vòng 1)
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu I
3) Giải hệ phương trình
+ =
+ + =
2.
3 8 12 23
2 2
2 2
x y
x y xy
4) Giải phương trình
2 1 3 4 2 1 3 8 1.
2 3
x + + x − x + = + x +
H íng dÉn
1) Céng c¶ hai ph¬ng tr×nh ta ®îc (2x+3y)2=25
Ta cã hai hÖ
+ =
+ =
2
2 3 5
2 2
x y
x y
Vµ
+ =
+ = −
2
2 3 5
2 2
x y
x y
Giai ra ta ®îc PT cã 4 nghiÖm 1,-1;
13
7
;
13
7
−
2) §KX§
2
−1
x ≥
§Æt 2 1 ( 0); 4 2 1 ( 0)
2
x + = a a ≥ x − x + = b b >
Ta cã (1-b)(a-3) =0
b=1 th×
2
1
0; x1 = x2 = ;a=3 th× x3 = 4
Câu II
3) Tìm tất cả các số nguyên không âm (x, y) thoả mãn đẳng thức
(1 )(1 ) 4 2( )(1 ) 25.
2 2
+ x + y + xy + x + y + xy =
4) Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không
vượt quá a và ký hiệu là [a]. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn
có.
( )
n
n n
n n
=
+
+ +
+ +
1
1
...
2.3
7
1.2
3
2
H íng dÉn
1)Ph¸ ngoÆc
( )( ) ( )( ) ( )( )
( 1 ) 25 ( 1)( 1) 25
1 1 4 2 1 25. ( 1) 2 1 ( ) 25
2 2
2 2 2 2
⇔ + + + = ⇔ + + =
+ + + + + + = ⇔ + + + + + + =
xy x y x y
x y xy x y xy xy x y xy x y
v× x,y kh«ng ©m nªn (x+1)(y+1)=5 ta cã (x;y)=(0;4);(4;0)
2) xÐt ( )
1
1
1
1
1
( 1) ( 1)
1
( 1) ( 1)
1
2 2
k N
k k k k
k
k k
k
k k
k
k k
k k
+ ∈
+
+ = −
+
=
+
+
+
+
=
+
+ +
Thay k lÇn lît tõ 1 ®Õn n ta cã
( )
n
n
n
n
n
n
n n
n n
=
+
= +
+
= + −
+
+ +
+ +
1 1
1
1
1
1
...
2.3
7
1.2
3
2
(®pcm)
Câu III
Cho đường tròn (O) với đường kính AB = 2R. Trên đường thẳng tiếp xúc với
đương tròn (O) tại A ta lấy điểm C sao cho góc 0 ACB = 30 . Gọi H là giao điểm thứ hai
của đường thăng BC với đường tròn (O).
3) Tính độ dài đương thẳng AC, BC và khoảng cách từ A đến đương thẳng BC theo
R.
4) Với mỗi điểm M trên đoạn thẳng AC, đường thẳng BM cắt đường tròn (O tại điểm
N (khác B). Chứng minh rằng bốn điểm C, M, N, H nằm trên cùng một đường tròn
và tâm đường tròn đó luôn chạy trên một đường thẳng cố định khi M thay đổi trên
đoạn thẳng AC.
H íng dÉn