De thi hsgtoan tinh thanh hoa nam 2013

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH HÓA

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2012 – 2013

MÔ THI: TOÁN

Ngày thi: 15/03/2013

Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)

Đề thi này có 01 trang, gồm có 5 câu

Câu I (4,0 điểm)

Cho hàm số 2

2

x

y

x





1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2. Viết phương trình tiếp tuyến với đò thị (C) sao cho khoảng cách từ I(-2;2) đến tiếp

tuyến đó là lớn nhất.

Câu II (4,0 điểm)

1. Giải phương trình

3 3 sin .sin 3 cos .cos3 1

8

tan .tan

6 3

x x x x

x x

 



          

   

2. Giải hệ phương trình

 

   

 

2 1 2 2 1 1 4 5 1 2

,

ln 3 ln 3

4

x y x y x y

x y x y

x y

         

  

     



Câu III (4,0 điểm)

1. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z=3. Chứng minh rằng:

     

2

4 4 4

x y z y z x z x y

xyz

yz zx xy

  

  

  

2. Tìm các giá trị thực của tham số m để hệ bất phương trình sau có nghiệm thực

3

1

2 0

4 3.2 4 0 x x x x

x mx

 

   



   

Câu IV (4,0 điểm)

1. Cho khai triển  

15 2 14 2 210 1 ... =a ... 0 1 2 210         x x x a x a x a x . Chứng minh rằng:

0 1 2 15

15 15 15 14 15 13 15 0 C a C a C a C a      ... 15.

2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(1;2). Phương

trình đường tròn đi qua trung điểm của hai cạnh AB, AC và chân đường cao hạ từ A đến

cạnh BC của tam giác ABC là    

2 2

x y     3 2 25. Viết phương trình đường tròn

ngoại tiếp tam giác ABC.

Câu V (4,0 điểm)

1. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân tại C, cạnh đáy AB bằng

2a và ABCˆ bằng 300

. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’, biết khoảng cách giữa

hai đường thẳng AB và CB’ bằng

2

a

.

2. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(-1; -2; -3), B(-6; 10; -3). Viết phương trình

mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ A đến mp(P) bằng 15 và khoảng cahcs từ B đến

mp(P) bằng 2.

………………………………..HẾT…………………………………….

Thí sinh không được sử dụng tài liệ, MÁY TÍNH CẦM TAY

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Số báo danh

…………..