Đề thi + đáp án học sinh giỏi 10 Trường Đông Sơn 1

Së GD & §T thanh hãa §Ò thi häc sinh giái líp 10

Trêng THPT §«ng S¬n I N¨m häc 2007 - 2008

--------***--------

M«n thi : To¸n

Ngµy thi: 04 / 05/ 2008

Thêi gian lµm bµi: 180 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò

-------------------------***-----------------------------

C©u 1: (2 ®iÓm) Cho ( ) 2( 1) 3

2 2

f x = x − m + x +m − . T×m m ®Ó f(x) cã hai nghiÖm

ph©n biÖt 1 2

x , x tháa m·n 2

2

2 1

3

1 2

2

1 2

3

1

x + x x − 4x = x + x x − 4x .

C©u 2: (2 ®iÓm) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh







+ + =

+ =

2 4

( 2) 3

2

x x y

xy x

C©u 3: (2®iÓm) Cho tan a + cot a = 3 , TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc

a

a

a a a

a

A 2

3

2

3

cos

cot

sin .cos

1

sin

tan

= − +

C©u 4: (2®iÓm) Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh sau: x 2x 4x 4 5 2x

2 2

+ + + ≥ −

C©u 5: (2®iÓm) Cho a, b, c lµ ®é dµi ba c¹nh cña tam gi¸c ABC lÇn lît øng víi c¸c

gãc A, B, C. Chøng minh r»ng nÕu











=

=

+ −

+ −

a b C

a

b c a

b c a

2 cos

2

3 3 3

th× tam gi¸c ABC ®Òu.

C©u 6: (2®iÓm) Trong mÆt ph¼ng täa ®é ®Ò c¸c vu«ng gãc Oxy, cho elip

( ): 9 25 225 2 2

E x + y = , gäi F1, F2 lµ hai tiªu ®iÓm cña (E). T×m to¹ ®é ®iÓm M thuéc

(E) sao cho F1M ⊥F2M .

C©u 7: (2®iÓm) Trong mÆt ph¼ng täa ®é ®Ò c¸c vu«ng gãc Oxy cho hai ®êng

trßn ( ): 4 5 0 vµ ( ): 6 8 16 0

2 2

2

2 2 C1

x + y − y − = C x + y − x − y + = . ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp

tuyÕn chung cña hai ®êng trßn.

C©u 8: (2®iÓm) Trong mÆt ph¼ng täa ®é ®Ò c¸c vu«ng gãc Oxy cho hai ®iÓm

A(1 ; 1) vµ B(4 ; -3). T×m ®iÓm C thuéc ®êng th¼ng x – 2y – 1= 0 sao cho

kho¶ng c¸ch tõ C ®Õn ®êng th¼ng AB b»ng 6.

C©u 9: (2®iÓm) Cho n + 2 sè d¬ng 1 2 2

, ,..., a a an+ tho¶ m·n 1 1 2 2

, a = an+

a = an+ ,

a n

n

k

∑ k ≥

=1

. Chøng minh r»ng: ∑

= + +

≥

+

n

k k k

k n

a a

a

1 1 2

2

2

.

C©u 10: (2 ®iÓm) T×m m ®Ó hÖ bÊt ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm









+ + + ≤

+ =

x y m

x y

5 3

3