ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC MÔN TOÁN TỈNH KON TUM 2005-2006 docx

UBND TỈNH KON TUM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2005-2006

Ngày thi: 13/12/2005

Môn: TOÁN – Thời gian: 180 phút (không kể giao đề)

ĐỀ BÀI

Bài 1: (2 điểm)

1) Giải phương trình: 4x 1 x 3x

3 2

  

2) Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình sau đúng với mọi x < 0.

.2  ( 1)(3 5)  (3 5)  0

x x x m m

Bài 2: (2 điểm)

1) Giải hệ phương trình: 







 

   

128

4

2 2

x y

x y x y

2) Với mọi x thỏa:

2

0



 x  , chứng minh: sin tan 1

2 2 2



 

x x x

Bài 3.(2,5 điểm)

Cho hình tứ diện OABC

1) Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc miền trong của hình tứ diện OABC và x1; x2; x3; x4; lần

lượt là khoảng cách từ M đến bốn mặt (ABC), (OBC), (OAC) và (OAB). Gọi h1; h2; h3; h4 lần lượt là

chiều cao của các hình chóp tam giác O.ABC; A.OBC; B.OAC và C.OAB.

Chứng minh tổng

4

4

3

3

2

2

1

1

h

x

h

x

h

x

h

x

   là một hằng số.

2) Các tia OA, OB, OC đôi một hợp với nhau một góc 600

. OA = a. Góc BAC bằng 900

.

Đặt OB+OC = m. (m >0, a > 0). Chứng minh m > 2a. Tính thể tích khối tứ diện OABC theo m và a.

Bài 4.(1,5 điểm)

Cho dãy số u0, u1, u2, …, un thỏa các điều kiện sau:

2

0 1 1

1

,

2

1

 k  k   uk 

n

u u u ( k = 1, 2, 3, …, n)

Chứng minh: 1

1

1  un 

n

Bài 5. (2 điểm)

1) Tìm GTNN của hàm số:

5

8

5

4

2

1

4 10

2

1

5

32

5

16

2

1

2

2

1 2 2 2 2

y  x   x  x   x  x   x  x 

2) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều nếu

(AB.BC).CA + (BC.CA).AB + (CA.AB).BC = 0