ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT ĐỒNG THÁP DỰ THI CẤP QUỐC GIA NĂM 2010 MÔN TOÁN HỌC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỒNG THÁP -------------------------------------------------------------------------

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT

DỰ THI CẤP QUỐC GIA NĂM 2010

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ĐỀ THI MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Ngày thi: 15 tháng 11 năm 2009

(Đề thi gồm có: 01 trang)

Câu 1: ( 5 điểm)

1a) Giải hệ phương trình sau:











     

     

     

3 ln( 1) 3

3 ln( 1) 3

3 ln( 1) 3

2 3

2 3

2 3

z z z x z

y y y z y

x x x y x

2a) Cho dãy số (Un), biết rằng : , n N *

6 12

10

4

2 1

2

1

 











  



 

Un Un Un

U

U

.

Chứng minh rằng : (Un + 4) chia hết cho n, với mọi số nguyên tố n.

Câu 2: ( 4 điểm)

Cho hàm số f xliên tục trên đoạn [0,1] thỏa mãn điều kiện

f 0  f 1.Chứng minh rằng phương trình   











 

2009

1

f x f x có nghiệm

x 0,1.

Câu 3: ( 5 điểm)

3a) Cho tam giác ABC và I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Các đường

phân giác trong của các góc A, B, C lần lượt cắt các cạnh đối diện tại

A’, B’, C’. Chứng minh rằng:

27

8

'. '. '

. .



AA BB CC

AI BI CI

3b) Gọi , ,  là góc giữa đường thẳng (d) và theo thứ tự với các đường

thẳng chứa ba cạnh BC, CA, AB của tam giác đều ABC.

Tính M = sin2.sin2

.sin2

 + cos2.cos

2

.cos

2



Câu 4: (3 điểm)

Tìm ba số nguyên tố a, b, c thỏa ab

– c + 1 = 0.

Câu 5: (3 điểm)

Trong một giải đấu thể thao vòng tròn một lượt có n vận động viên

, ,...,  1 P1 P2 Pn

n  .Mỗi vận động viên đấu với tất cả mọi đấu thủ còn lại và nguyên tắc

đấu không có hòa. Đặt Wr

và Lr

là số trận thắng và số trận thua tương ứng của đấu

thủ Pr

.Hãy chứng tỏ rằng:    



n

r

r

n

r

Wr L

1

2

1

2

. HẾT

Đề chính thức