Đề thi chọn đội tuyển chính thức dự thi hsg quốc gia lớp 12 THPT môn toán tỉnh Quảng Bình VONG 2

së gd-®t qu¶ng b×nh ®Ò thi chän ®éi tuyÓn chÝnh thøc

dù thi hsg quèc gia líp 12 THPT

N¨m häc : 2009 - 2010

§Ò chÝnh thøc M«n : to¸n (vßng 2)

Thêi gian lµm bµi: 180 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)

Bµi 1 (2,0 ®iÓm) Gi¶i ph­¬ng tr×nh:

4 4 2 2 2010 2010 2010.

2009

x x x x   



Bµi 2 (2,0 ®iÓm) T×m tÊt c¶ c¸c hµm sè f R R :  sao cho

2 2 f x y x y f x f y x R ( ) ( )( ( ) ( )),       .

Bµi 3 (1,5 ®iÓm) Cho P x( ) lµ ®a thøc bËc 7 cã hÖ sè nguyªn vµ nhËn gi¸ trÞ b»ng

1991 víi 4 gi¸ trÞ nguyªn kh¸c nhau cña biÕn x . Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh

P x( ) 2010  kh«ng cã nghiÖm nguyªn.

Bµi 4 (2,5 ®iÓm) Cho tø gi¸c låi ABCD. LÊy ®iÓm M bÊt kú trªn ®­êng chÐo AC.

§­êng th¼ng qua M song song víi AB c¾t BC t¹i P. §­êng th¼ng qua M song song

víi CD c¾t AD t¹i Q. Chøng minh r»ng:

2 2 2 2

1 1 1

.

MP MQ AB CD

 



§¼ng thøc x¶y ra khi nµo?

Bµi 5 (2,0 ®iÓm) Víi mçi sè nguyªn d­¬ng n, tam gi¸c ®Òu ABC cã ®é dµi c¹nh

b»ng n ®­îc chia thµnh n2

tam gi¸c ®Òu («) cã ®é dµi c¹nh b»ng 1 bëi c¸c ®­êng

th¼ng song song víi c¸c c¹nh cña tam gi¸c ABC. Gäi ®­êng ®i lµ mét ®­êng gÊp

khóc xuÊt ph¸t tõ t©m cña « chøa ®Ønh A vµ lu«n ®i qua t©m cña « cã c¹nh chung víi

« ®ang ®øng, ®ång thêi kh«ng ®i qua « nµo hai lÇn. T×m sè n bÐ nhÊt ®Ó trong tam

gi¸c ®Òu ABC cã ®­êng ®i qua 1981 «.

hÕt

Hä vµ tªn: ……………………………………………………………….

Sè b¸o danh: …………………………………………………………….