Đề tài: PHÉP QUY NẠP TRONG HÌNH HỌC pdf

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

KHOA TOÁN

----

Đề tài:

PHÉP QUY NẠP TRONG HÌNH HỌC

Giáo viên hướng dẫn : Ths. Nguyễn Chiến Thắng

Sinh viên thực hiện : Nguyễn Huy Hùng

MSSV : 0851007961

Lớp : 49A Toán

Vinh - 2011

Mục Lục

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH.....................................................................1

Mục Lục.....................................................................................................2

3. Sự tiếp xúc gợi ý..................................................................................11

4. Phương pháp quy nạp...........................................................................13

5. Phương pháp giải bằng quy nạp toán học............................................13

I. Phép quy nạp trong tính toán hình học.................................................15

II. Chứng minh định lí hình học bằng phép quy nạp................................24

Bài tập ứng dụng:.....................................................................................29

IV. Tìm quỹ tích bằng quy nạp................................................................42

VI. Phép quy nạp trong không gian.........................................................51

1. Dạng tính toán trong không gian bằng quy nạp...................................51

2

Nhận xét của giáo viên

……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………

3

Lời nói đầu

Phép quy nạp được sử dụng rộng rãi trong số học đại số và lý

thuyết số. Và phép quy nạp được coi là 1 tuyệt chiêu trong toán học. Nó

là một trong những phương pháp tiếp cận bài toán rất độc đáo. Quy nạp

thường được dùng trong việc chứng minh một khẳng định nào đó. Nhìn

chung, giải bài toán theo phương pháp quy nạp nghĩa là đưa bài toán

này thành 2 bài toán con nhỏ hơn để giải quyết.

Hai bài toán con nhỏ hơn này thường là :

P1: Là bài toán tương tự như bài toán đã cho, có giả thiết là trường hợp

đặc biệt của giả thiết của bài toán ban đầu, P1 thường được giải dễ

dàng.

P2: Ta chứng minh sau 1 phép biến đổi (*) giả thiết của bài toán tương

tự như bài toán ban đầu thành một giả thiết khác, điều khẳng định vẫn

còn đúng.

(Với điều kiện rằng sau 1 số lần hữu hạn thực hiện phép biến đổi (*)

như vậy đối với giả thiết của P1, ta thu được bài toán ban đầu, nhờ vậy

bài toán ban đầu được chứng minh)

Lấy 1 ví dụ nhỏ. Ta hãy chứng minh với một số n thuộc tập thì luôn

tồn tại một số An có n chữ số chỉ gồm các chữ số 1 và 2 sao cho An này

chia hết cho 2

n

.

P1: n=1. Số cần tìm là 2.

4

P2: Ta chứng minh sau phép biến đổi giả thiết : Tăng n lên 1 đơn vị, bài

toán vẫn đúng (Sau 1 số lần hữu hạn tăng 1 đơn vị liên tiếp, ta có thể

"biến" số n=1 thành bất kì số nào trong tập N

*

và điều này dẫn đến bài

toán đúng )

Hãy giả sử bài toán đã đúng với n=k, nghĩa là ta sẽ phải chứng minh bài

toán cũng đúng với n=k+1.

Ta có : Ak = k

2 .q

Nếu q lẻ ta sẽ chọn Ak 1+ = k

1A ,

Nếu q chẵn thì chọn Ak 1+ = k

2A .

Dễ nhận thấy (cần phải chứng minh, nhưng khá đơn giản) số Ak 1+

chỉ gồm các chữ số 1,2 và nó chia hết cho k 1 2

+

Như vậy, rõ ràng Quy nạp có 1 sức mạnh tuyệt vời khi giải quyết

những bài toán chứng minh. Ta thường xuyên gặp những bài toán mang

tính chất đại số giải quyết bằng phương pháp quy nạp và trong phần lớn

các tài liệu về phương pháp này, có rất ít tài liệu đề cập đến việc sử dụng

phương pháp Quy nạp để giải quyết bài toán Hình Học. Nhưng những

ứng dụng của nó trong hình học lại vô cùng lý thú và hấp dẫn. Phép quy

nạp không chỉ ứng dụng trong việc tính toán các đại lượng hình học đơn

thuần mà nó còn được áp dụng trong việc chứng minh định lý hình học,

trong giải các bài toán dựng hình, quỹ tích cả trong mặt phẳng và trong

không gian, ở hình học sơ cấp và hình học cao cấp. Vì vậy đề tài Phép

quy nạp trong hình học là một đề tài thiết thực khai thác vào một

phương pháp giải toán hình học mà chưa được nhắc tới nhiều.

Trong khuôn khổ giới hạn của đề tài, tôi không đưa ra các khái niệm,

định lý, tính chất mới mà chỉ trình bày các nội dung chính thuộc đề tài,

các dạng bài tập, thí dụ minh họa và bài tập ứng dụng.

Mặc dù đã tham khảo một lượng rất lớn các tài liệu cùng với sự nổ lực

của bản thân nhưng do trình độ hiểu biết có hạn nên chắc chắn không

tránh khỏi thiếu sót. Vì vậy, tôi rất mong được sự góp ý của thầy giáo

Ths. Nguyễn Chiến Thắng và bạn đọc.

Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo Ths. Nguyễn Chiến

Thắng, Thư viện Đại học Vinh và toàn thể các bạn sinh viên lớp 49A

Toán đã giúp đỡ tôi hoàn thành đề tài này !

Người thực hiện

Nguyễn Huy Hùng

5