dạy học mô hình hóa hàm số thông qua bài toán tính diện tích trong môi trường tích hợp mềm cabri ii

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

__________________________

Nguyễn Thị Hồng Cúc

DẠY HỌC MÔ HÌNH HÓA HÀM SỐ THÔNG QUA BÀI TOÁN

TÍNH DIỆN TÍCH TRONG MÔI TRƯỜNG TÍCH HỢP MỀM

CABRI II

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp giảng dạy Toán

Mã số: 60 14 10

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. NGUYỄN CHÍ THÀNH

Thành Phố Hồ Chí Minh - 2010

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Chí Thành,

người đã tận tình chỉ dẫn, động viên tôi, giúp tôi có đủ niềm tin và nghị lực để hoàn

thành luận văn này.

Tôi xin trân trọng cảm ơn: PGS. TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Lê Thái

Bảo Thiên Trung, PGS. TS. Annie Bessot, TS. Alain Birebent đã nhiệt tình giảng dạy, giải đáp

những thắc mắc giúp chúng tôi có thể tiếp thu một cách tốt nhất về chuyên ngành nghiên cứu rất thú vị

- Didactic Toán.

Tôi xin chân thành cảm ơn:

- Ban lãnh đạo và chuyên viên phòng Khoa học công nghệ - Sau đại học, ban chủ nhiệm và giảng

viên khoa Toán – Tin của trường ĐHSP TPHCM đã tạo thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khoá học.

- Ban giám hiệu và các đồng nghiệp trong tổ Toán trường THPT Long Phú – Vĩnh Long đã tạo

điều kiện cho tôi trong suốt thời gian theo học cao học ở trường ĐHSP, đồng thời đã nhiệt tình hỗ

trợ tôi tiến hành thực nghiệm 1 và thực nghiệm 2.

- Ths Dương Hữu Tòng, là giảng viên trường ĐH Cần Thơ và cũng là học viên khóa trước, đã

động viên và chia sẻ cho tôi rất nhiều kinh nghiệm quí báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn.

Lời cảm ơn chân thành đến các bạn cùng khóa đã luôn chia sẻ cùng tôi những buồn vui và khó

khăn trong quá trình học tập.

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân yêu trong gia đình, những

người luôn là chỗ dựa vững chắc nhất cho tôi về mọi mặt.

NGUYỄN THỊ HỒNG CÚC

MỞ ĐẦU

1. CÁC GHI NHẬN BAN ĐẦU VÀ CÂU HỎI XUẤT PHÁT.

Hàm số là khái niệm quan trọng trong toán học hiện đại và trong nội dung dạy học toán phổ

thông ở Việt Nam. Hàm số qua các chương trình cải cách giáo dục được đưa vào giảng dạy cho học

sinh ở lớp 7, 9, 10, 11, 12. Cụ thể, lớp 9 học sinh học về hàm số bậc nhất và hàm số bậc 2 dạng y =

ax2

(a  0), lớp 10 học sinh được ôn lại các hàm số đã học ở lớp 9, hàm số dạng y = ax2 + bx + c

(a  0) .Lớp 11, đưa vào học hàm số lượng giác. Lớp 12 học sinh được học về hàm số lũy thừa, mũ,

logarit, bậc 3, trùng phương, nhất biến, bậc 2 trên bậc nhất. Đặc biệt, ở lớp 12, nội dung này được

đưa vào giảng dạy với thời lượng khoảng 50% so với cả chương trình giải tích 12.

Mặt khác, nội dung khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trở thành câu hỏi không thể thiếu trong tất

cả các đề thi tốt nghiệp phổ thông và đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng. Liên quan với nội dung

khảo sát và vẽ đồ thị hàm số là câu hỏi về cực trị của hàm số. Người ta nhận thấy học sinh gặp khá

nhiều khó khăn khi bắt đầu vào học nội dung này.

Để học sinh phát triển được tính tư duy sáng tạo và một tiết dạy tập trung vào hoạt động của

học sinh, SGK cải cách 2006 đòi hỏi phải đổi mới PPDH.

Theo TS. Nguyễn Chí Thành, Đại học Giáo dục, ĐHQG Hà Nội “Hiện nay ứng dụng công nghệ

thông tin và truyền thông trong dạy học là điều tất yếu khi nói đến đổi mới phương pháp dạy học,

đặc biệt trong dạy học môn Toán…. Ứng dụng của công nghệ thông tin vào DH môn Toán cũng

không có nghĩa là chỉ sử dụng các công nghệ phần mềm DH để trình diễn, minh hoạ các kết quả

tính toán hay mô phỏng mà còn cần phải xây dựng các tình huống dạy học để tạo ra các môi trường

có tích hợp các CNTT nhằm giúp hs xây dựng vào khám phá các kiến thức mới”.

Tuy nhiên, SGK chưa có các hoạt động với phần mềm DH. Trong thực tế giảng dạy ở nhiều

trường phổ thông, các phần mềm DH bước đầu được nhiều GV quan tâm sử dụng như Cabri,

Geospace,… Song “việc sử dụng chỉ dừng ở mức độ minh hoạ tính chất và mô phỏng chuyển động

của hình trong các bài giảng điện tử của môn hình học”. Vấn đề chưa được ứng dụng trong toán

giải tích.

Trong các phần mềm, Cabri II Plus lôi cuốn chúng tôi nhiều nhất bởi nó có một giao diện

thân thiện với các biểu tượng, câu lệnh dễ nhớ. Cabri II Plus là một vi thế giới đã được việt hoá, có

tính tương tác cao, có thể tạo ra hình vẽ trực quan, và những hình ảnh này dễ dàng thay đổi vị trí

bằng các thao tác “rê” chuột. Điều này đặt ra câu hỏi về vai trò của phần mềm dạy học Cabri II Plus

trong thể chế DH Việt Nam.

Các bài toán thực tế xuất hiện ngày càng nhiều trong dạy học toán, vật lý, hóa học và sinh

học. Trong dạy học ở trung học phổ thông, khi nó nhờ đến một sự hình thức hóa toán học để hỗ trợ

nghiên cứu các bài toán thực tế, sự hình thức hóa này được điều khiển qua các mô hình toán học

sinh ra các hiện tượng dạy học mà công việc hiện tại của chúng tôi đang cố gắng làm rõ.

Trong việc mô hình hoá hàm số, có nhiều bài toán thể hiện chúng như: bài toán tính diện

tích, bài toán chuyển động, bài toán tính thể tích,…Trong các bài toán này, bài toán tính diện tích là

bài toán được nhắc lại rất nhiều lần cho HS qua các bài tập từ cấp tiểu học đến THPT. Mặt khác, bài

toán diện tích xuất hiện thường xuyên trong các nội dung dạy học hàm số và việc giải các bài toán

này bị rút gọn lại theo một quy trình: chọn biến (thường đã cho sẵn), tính công thức, khảo sát hàm

số (thường là hàm đa thức), kết luận. Vì thế, chúng tôi chọn nghiên cứu dạy học bài toán này trong

dạy học nội dung hàm số.

Từ những ghi nhận ban đầu trên đưa chúng tôi đến với những câu hỏi xuất phát sau:

Q1: Hàm số và bài toán diện tích được trình bày như thế nào trong chương trình Đại số và Giải tích

từ 2006 ở Việt Nam?

Q2: Trong chương trình Toán PT, SGK 2006 có những tình huống và dạng bài tập nào về mô hình

hoá hàm số?

Q3: Cách trình bày bài toán mô hình hóa của SGK đã ảnh hưởng như thế nào đến người học?

Q4 : Có thể vận dụng phần mềm II Plus Cabri, để xây dựng nội dung dạy học trong các bài toán liên

quan đến mô hình hoá khái niệm hàm số như tính diện tích hay không?

2. PHẠM VI LÝ THUYẾT THAM CHIẾU:

Để tìm kiếm các yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi trên, chúng tôi vận dụng lý thuyết

didactique Toán. Cụ thể, đó là một số khái niệm công cụ của lý thuyết nhân học, lý thuyết tình

huống và hợp đồng didactique.

Tại sao lại là “lý thuyết nhân học”? Bởi vì hai trong bốn câu hỏi của chúng tôi đều liên quan

đến khái niệm cơ bản của lý thuyết này: quan hệ cá nhân, quan hệ thể chế với một đối tượng tri

thức, tổ chức toán học.

Hai câu hỏi xuất phát còn lại có liên quan đến các khái niệm trong lý thuyết tình huống.

Ngoài ra, chúng tôi có nghiên cứu thêm lý thuyết về dạy học mô hình hóa để trả lời cho các

câu hỏi có liên quan đến mô hình hóa.

Chúng tôi sẽ trình bày tóm tắt những khái niệm đó và cố gắng làm rõ tính thoả đáng của sự lựa

chọn phạm vi lý thuyết của mình.

Quan hệ cá nhân đối với một đối tượng tri thức:

Một đối tượng một cái gì đó tồn tại, ít nhất đối với một cá nhân. Quan hệ cá nhân của một cá

nhân X đối với một đối tượng tri thức O, kí hiệu là R(X, O), là tập hợp những tác động qua lại mà X

có đối với O. R(X, O) cho biết X nghĩ gì về O.X hiểu O như thế nào, thao tác O ra sao.

Đối tượng O trong nghiên cứu của chúng tôi là “hàm số và bài toán diện tích”

Quan hệ thể chế đối với một đối tượng tri thức:

Thế nhưng, một cá nhân không thể tồn tại lơ lững ở đâu đó mà luôn phải ở trong ít nhất một

thể chế. Từ đó suy ra việc thiết lập hay biến đổi quan hệ R(X,O) phải được đặt trong thể chế I nào

đó mà có sự tồn tại của X.

Chevallard đã dùng thuật ngữ quan hệ thể chế I với tri thức O, kí hiệu R(I,O), để chỉ tập hợp

các ràng buộc mà thể chế I có với tri thức O.

Hiển nhiên, trong một thể chế I, quan hệ R(X, O) hình thành hay thay đổi dưới các ràng

buộc của R(I, O).

Với những định nghĩa trên thì trả lời câu hỏi Q1, Q2 chính là làm rõ quan hệ của các thể chế

mà chúng tôi quan tâm và mối quan hệ cá nhân của học sinh với đối tượng O.

Thể chế dạy học mà chúng tôi quan tâm là thể chế dạy học theo chương trình được tiến hành

đại trà từ năm học 2006 – 2007.

Vậy làm thế nào để làm rõ mối quan hệ R(I, O), R(X,O)?

Theo Bosch và Chevallard.Y(1999), nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với O sẽ làm

sáng tỏ mối quan hệ R(I, O).Ngoài ra, việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với O còn cho

phép ta hình dung được một số yếu tố của quan hệ cá nhân của chủ thể X tồn tại trong O.

Trong luận văn này việc xác định các tổ chức toán học gắn liền với đối tượng O, liên quan

đến hàm số và bài toán diện tích, sẽ cho phép chúng tôi:

- Vạch rõ các mối quan hệ của thể chế R(I,O).

- Xác định mối quan hệ cá nhân học sinh duy trì với O trong thể chế I.

Vậy, “ một tổ chức toán học” là gì?

2.3. Tổ chức toán học:

Hoạt động toán học là một bộ phận của họat động xã hội. Do đó cũng cần thiết xây dựng

một mô hình cho phép mô tả và nghiên cứu thực tế. Xuất phát từ quan điểm này mà Chevallard

(1998) đã đưa vào khái niệm Praxeologie.

Theo Chevallard, mỗi Praxeologie là một bộ gồm 4 thành phần:[T, , , ], trong đó:T là một

kiểu nhiệm vụ,  là kỹ thuật cho phép giải quyết T,  là công nghệ giải thích cho kỹ thuật ,  là lí

thuyết giải thích cho , nghĩa là công nghệ của công nghệ .

Một praxéologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một tổ chức

toán học (organisation mathématique).

. Sự mô hình hoá:

Trong didactic toán, người ta có nói đến dạy học mô hình hoá và dạy học bằng mô hình hoá.

Điều này là một trong những mối quan tâm của chúng tôi khi nghiên cứu chương trình, sách giáo

khoa và thực hành giảng dạy của giáo viên.

Chính vì vậy, trước tiên chúng tôi sẽ trình bày ở đây một cách ngắn gọn về quá trình mô hình

hoá để sử dụng công cụ toán học vào giải quyết một vấn đề của thực tiễn hay của các khoa học khác

và sau đó là vấn đề dạy học mô hình hoá và bằng mô hình hoá.

Mô hình là một đối tượng cụ thể nào đó dùng thay thế cho một nguyên bản tương xứng để

có thể giải quyết một nhiệm vụ nhất định trên cơ sở sự đồng dạng về cấu trúc và chức năng.

Mô hình toán học là một mô hình biểu diễn toán học của những mặt chủ yếu của một

nguyên bản theo một nhiệm vụ nào đó, trong phạm vi giới hạn, với một độ chính xác vừa đủ và

trong dạng thích hợp cho sử dụng. Cụ thể hơn, mô hình toán học là các công thức để tính toán các

quá trình hoá học, vật lý, sinh học,… được mô phỏng từ hệ thống thực.

(Theo http://www.hcmier.edu.vn/vie/IER-DeptGeoinfo/Geoinfo-Modeling.htm)

Quá trình mô hình hoá toán học được minh hoạ bằng sơ đồ sau:

Phạm vi ngoài toán học

Hệ thống, tình huống cần

giải quyết (bài toán có nội

dung thực tiễn)

Câu trả lời cho bài toán có

nội dung thực tiễn

Bài toán phỏng thực

tế (BTPTT)

Câu trả lời

choBTPTT

Bài toán toán học

(BTTH)

Câu trả lời

choBTTH

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Giải

Sự

chuyển

đổi

phạm

vi và

hệ

thống

biểu

đạt

Sự

chuyển

đổi

phạm

vi và

hệ

thống

biểu

đạt

Phạm vi toán học

Tham khảo sơ đồ - quy trình mô hình hoá một hệ ngoài toán học, Coulange (1997)

Bước (1): tiến hành mô tả các vấn đề bản chất của một hệ thống, tình huống cần giải quyết (bài toán

có nội dung thực tiễn) để đưa vào một bài toán phỏng thực tiễn (BTPTT) bằng cách:

Loại bỏ những chi tiết không quan trọng làm cho bài toán có nội dung thực tiễn trở nên dễ

hiểu và dễ nắm bắt hơn. Từ đó, xác định các yếu tố, khía cạnh cốt lõi của hệ thống. Rút ra những

mối liên hệ, điều kiện, ràng buộc liên quan đến các yếu tố cốt lõi của hệ thống.

Bước (2): Chuyển từ một BTPTT thành bài toán toán học (BTTH) bằng cách sử dụng hệ thống biểu

đạt, công cụ toán học. Như vậy, mô hình hóa toán học là trừu tượng hóa dưới dạng ngôn ngữ toán

học của hiện tượng thực tế, cần phải được xây dựng sao cho việc phân tích nó cho phép ta hiểu được

bản chất của hiện tượng. Mô hình toán học thiết lập các mối liên hệ giữa các biến số và các tham số

điều khiển hiện tượng.

Như vậy, sau hai bước đầu ta đã phát biểu được bài toán cần giải.

Bước (3): Tìm và áp dụng các công cụ toán học để giải BTTH.

Bước (4): Nhìn lại các thao tác đã làm ở bước (2) để chuyển ngược lại từ câu trả lời của bài toán

toán học sang câu trả lời cho BTPTT.

Trong bước này cần phải xác lập mức độ phù hợp với mô hình lí thuyết với vấn đề thực tế mà

nó mô tả. Để thực hiện bước này, có thể làm thực nghiệm hoặc áp dụng phương pháp phân tích

chuyên gia.

Ở đây có 2 khả năng :

Khả năng 1. Các kết quả tính phù hợp với thực tế. Khi đó có thể áp dụng nó vào việc giải quyết vấn

đề thực tế đặt ra.

Khả năng 2. Các kết quả tính toán không phù hợp với thực tế. Trong trường hợp này cần phải xem

xét các nguyên nhân của nó. Nguyên nhân đầu tiên có thể do các

kết quả tính toán trong bước 3 là chưa có đủ độ chính xác cần thiết. khi đó cần phải xem lại các thực

tế cũng như các chương trình tính toán trong bước này. Một nguyên nhân khác rất có thể là do mô

hình xây dựng chưa phản ánh được đầy đủ hiện tượng thực tế. Nếu vậy, cần phải rà soát lại bước 1,

trong việc xây dựng mô hình định tính có yếu tố hoặc quy luật nào bỏ xót không ? Cuối cùng, cần

phải xem xét hoặc xây dựng lại mô hính toán học ở bước 2.

Bước (5): Phân tích kết quả thu được từ BTPTT, nhìn lại những gì đã làm ở bước (1) để chuyển từ

câu trả của BTPTT sang câu trả lời cho bài toán có nội dung thực tiễn.