Dạy giải toán chủ đề phương trình và bất phương trình theo quan điểm hàm

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

––––––––––––––––––––

NGUYỄN THỊ NGA

DẠY GIẢI TOÁN CHỦ ĐỀ PHƢƠNG TRÌNH VÀ

BẤT PHƢƠNG TRÌNH THEO QUAN ĐIỂM HÀM

Chuyên ngành: Lý luận và phƣơng pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: GS. TS. NGUYỄN HỮU CHÂU

THÁI NGUYÊN – 2015

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN i http://www.lrc.tnu.edu.vn/

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Luận văn thạc sỹ là công trình nghiên cứu khoa học

của riêng tôi. Các kết quả nghiên cứu của Luận văn là trung thực và có nguồn

gốc rõ ràng.

Tác giả Luận văn

Nguyễn Thị Nga

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN ii http://www.lrc.tnu.edu.vn/

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này là kết quả của quá trình học tập và nghiên cứu của tôi. Với

tình cảm chân thành, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo

trong Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên – Đại học Thái Nguyên đã quan

tâm, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện đề tài này.

Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS. TS. Nguyễn Hữu

Châu, thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong quá trình hoàn thành Luận

văn này. Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, thầy cô

trong nhóm Toán thuộc tổ Tự nhiên trường THPT Nguyễn Tất Thành – Uông

Bí – Quảng Ninh, cảm ơn các bạn học viên lớp Cao học Lý luận và phương

pháp dạy học bộ môn Toán khóa 21, các em học sinh, người thân trong gia đình

đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên tôi thực hiện đề tài này.

Cuối cùng, dù rất tâm huyết và hết sức cố gắng song bản Luận văn chắc

chắn còn nhiều thiếu sót. Kính mong được sự chỉ dẫn của các nhà khoa học và

các bạn đồng nghiệp.

Xin chân thành cảm ơn !

Uông Bí, ngày tháng năm 2015

Học viên

Nguyễn Thị Nga

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN iii http://www.lrc.tnu.edu.vn/

MỤC LỤC

Lời cam đoan ........................................................................................................ i

Lời cảm ơn...........................................................................................................ii

Mục lục ...............................................................................................................iii

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt .............................................................. iv

MỞ ĐẦU.............................................................................................................1

1. Lý do chọn đề tài .............................................................................................1

2. Mục đích nghiên cứu .......................................................................................3

3. Khách thể và đối tượng nghiên cứu.................................................................3

4. Giả thuyết khoa học.........................................................................................3

5. Nhiệm vụ nghiên cứu ......................................................................................3

6. Phương pháp nghiên cứu .................................................................................4

7. Những đóng góp của luận văn.........................................................................4

8. Cấu trúc của luận văn ......................................................................................4

Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN............................................5

1.1. Hàm và quan điểm hàm trong dạy học toán ở trường phổ thông.................5

1.1.1. Khái niệm hàm...........................................................................................5

1.1.2. Quan điểm hàm trong dạy học toán ở trường phổ thông ..........................7

1.1.3. Đặc trưng của quan điểm hàm trong dạy học toán ở trường phổ thông....7

1.1.4. Chủ đề hàm trong chương trình Toán phổ thông ......................................8

1.2. Thực trạng việc dạy giải toán chủ đề phương trình và bất phương trình

theo quan điểm hàm ở trường phổ thông...........................................................24

1.3. Kết luận chương 1.......................................................................................29

Chƣơng 2: DẠY GIẢI TOÁN CHỦ ĐỀ PHƢƠNG TRÌNH VÀ BẤT

PHƢƠNG TRÌNH THEO QUAN ĐIỂM HÀM...........................................31

2.1. Một số dạng toán có thể giải theo hướng vận dụng quan điểm hàm..........31

2.1.1. Phân loại, phân bậc các bài toán..............................................................31

2.1.2. Hướng dẫn học sinh phương pháp chung để giải một bài toán theo

hướng vận dụng quan điểm hàm .......................................................................32

2.2. Một số tri thức cơ bản về hàm số ...............................................................33

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN iv http://www.lrc.tnu.edu.vn/

2.2.1. Dấu hiệu của đạo hàm về tính đơn điệu của hàm số ...............................33

2.2.2. Dấu hiệu của đạo hàm về sự tồn tại nghiệm của phương trình ...............33

2.2.3. Các kết quả toán ......................................................................................33

2.3. Hệ thống bài tập và những gợi ý với giáo viên nhằm rèn luyện kỹ năng

giải phương trình và bất phương trình dựa vào quan điểm hàm .......................34

2.3.1. Vận dụng tri thức về hàm số vào việc giải phương trình đại số hữu tỉ

và phương trình đại số vô tỉ...............................................................................34

2.3.2. Vận dụng tri thức về hàm số vào việc giải phương trình lượng giác ......54

2.3.3. Vận dụng tri thức về hàm số vào việc giải phương trình mũ và

phương trình lôgarit...........................................................................................66

2.3.4. Vận dụng tri thức về hàm số vào việc giải bất phương trình đại số

hữu tỉ, bất phương trình đại số vô tỉ ..................................................................90

2.3.5. Vận dụng tri thức về hàm số vào việc giải bất phương trình mũ và lôgarit..... 94

2.4. Kết luận chương 2.......................................................................................98

Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ....................................................100

3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm ...............................................................100

3.1.1. Mục đích của thực nghiệm sư phạm......................................................100

3.1.2. Nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm.....................................................100

3.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm ...............................................................100

3.3. Đối tượng thực nghiệm sư phạm..............................................................101

3.4. Tổ chức thực nghiệm sư phạm .................................................................101

3.5. Kết quả thực nghiệm sư phạm..................................................................101

3.5.1. Cơ sở để đánh giá kết quả thực nghiệm ................................................101

3.5.2. Kết quả thực nghiệm sư phạm...............................................................114

3.6. Kết luận chương 3.....................................................................................117

KẾT LUẬN.....................................................................................................118

TÀI LIỆU THAM KHẢO.............................................................................119

PHỤ LỤC

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN iv http://www.lrc.tnu.edu.vn/

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

CĐ Cao đẳng

ĐH Đại học

ĐK Điều kiện

HS Học sinh

NXB Nhà xuất bản

QĐH Quan điểm hàm

SGK Sách giáo khoa

THPT Trung học phổ thông

TXĐ Tập xác định

VD Ví dụ

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN 1 http://www.lrc.tnu.edu.vn/

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Trong các môn học ở nhà trường phổ thông, môn Toán có một vị trí rất

quan trọng vì Toán học là công cụ ở nhiều môn học khác. Môn Toán có khả

năng to lớn giúp học sinh phát triển năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện

cho học sinh óc tư duy trừu tượng, tư duy chính xác, và tư duy lôgic. Qua đó có

tác dụng lớn trong việc rèn luyện cho học sinh tính tư duy lôgic. Trong những

năm gần đây, nâng cao chất lượng dạy học nói chung, chất lượng dạy học môn

Toán nói riêng đang là một yêu cầu cấp bách đối với ngành giáo dục. Đảng và

nhà nước ta đã đề ra nhiều chủ trương, chính sách nhằm phát triển giáo dục với

mục tiêu là đào tạo con người Việt Nam phát triển toàn diện, có tri thức, phẩm

chất tốt, có trình độ thẩm mỹ và lòng yêu nghề nghiệp, đáp ứng yêu cầu của sự

nghiệp xây dựng và bảo vệ Tổ quốc trong thời kỳ mới. Một trong những nhiệm

vụ và giải pháp lớn về giáo dục được đề ra trong Đại hội đại biểu toàn quốc lần

thứ XI của Đảng là: "Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện. Đổi mới cơ cấu,

tổ chức, nội dung, phương pháp dạy và học theo hướng chuẩn hoá, hiện đại

hoá, xã hội hoá. Phát huy trí sáng tạo, khả năng vận dụng, thực hành của

người học".

Điều 28 khoản 2 của Luật Giáo dục nêu rõ: "Phương pháp giáo dục phổ

thông phải phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp

với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, khả

năng làm việc theo nhóm; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn;

tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh" [19].

Với mục tiêu đó thì đổi mới nội dung và phương pháp dạy học nói

chung, nội dung và phương pháp dạy học môn Toán nói riêng diễn ra sâu rộng

ở tất cả các bậc học và cấp học. Trong môn Toán ở trường Phổ thông chủ đề

phương trình và bất phương trình giữ vị trí quan trọng. Kiến thức và kỹ năng về

chủ đề này có mặt xuyên suốt từ đầu cấp đến cuối cấp. Những kiến thức về

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN 2 http://www.lrc.tnu.edu.vn/

phương trình và bất phương trình còn là chìa khóa để giải quyết nhiều vấn đề

thuộc hầu hết các chủ đề kiến thức về Đại số, Giải tích và Hình học, đặc biệt là

Hình học giải tích. Bên cạnh đó kiến thức hàm số cũng có vai trò quan trọng

trong toàn bộ chương trình môn Toán phổ thông. Hàm số giữ vị trí trung tâm,

việc đảm bảo vị trí trung tâm của hàm số sẽ tăng cường tính thống nhất của

giáo trình Toán phổ thông, góp phần xóa bỏ ranh giới giả tạo giữa các phần

khác nhau của chương trình.

Theo [17, trang 93], quan điểm này thể hiện rõ nét trong chương trình

Toán ở trường THPT :

- Nghiên cứu hàm số được coi là nhiệm vụ chủ yếu suốt chương trình bậc

Phổ thông;

- Phần lớn chương trình Đại số và Giải tích giành cho việc trực tiếp

nghiên cứu hàm số;

- Cấp số cộng và cấp số nhân được nghiên cứu như những hàm số của

đối số tự nhiên;

- Lượng giác chủ yếu nghiên cứu những hàm số lượng giác, còn phần

công thức biến đổi được giảm nhẹ;

- Phương trình và bất phương trình được trình bày liên hệ chặt chẽ với

hàm số.

Trong dự thảo chương trình môn Toán ở trường THPT (Dự thảo 1989 –

trang 17) có quy định: " Nghiên cứu hàm số được coi là nhiệm vụ chủ yếu suốt

chương trình bậc Phổ thông trung học…" theo [4].

Có thể nói rằng hàm nói chung và hàm số nói riêng như sợi chỉ đỏ xuyên

suốt nội dung môn Toán ở trường Phổ thông. Các kiến thức về hàm được thể

hiện trong nhiều lĩnh vực, đặc biệt là trong phương trình và bất phương trình.

Nhưng trong thực tế dạy học về phương trình và bất phương trình ở THPT có

thể nhận thấy rằng HS thường mắc một số sai lầm và đa số các em chưa có kỹ

năng thành thạo để giải phương trình và bất phương trình theo QĐH. Hơn nữa

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN 3 http://www.lrc.tnu.edu.vn/

những năm gần đây các đề thi CĐ - ĐH, thi học sinh giỏi các cấp luôn luôn có

dạng bài tập về phương trình và bất phương trình, trong đó có rất nhiều bài tập

được giải theo QĐH. Đã có một số công trình nghiên cứu các biện pháp nâng

cao chất lượng dạy học nội dung phương trình, bất phương trình. Nhưng chưa

có công trình nào nghiên cứu về việc dạy giải toán phương trình và bất phương

trình theo QĐH.

Xuất phát từ những lý do trên nên tôi chọn đề tài "Dạy giải toán chủ đề

phương trình và bất phương trình theo quan điểm hàm".

2. Mục đích nghiên cứu

Tổng kết được một số yếu tố lý luận và thực tiễn về dạy giải toán theo

QĐH và đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm phát triển khả năng giải toán

phương trình, bất phương trình theo QĐH cho học sinh THPT.

3. Khách thể và đối tƣợng nghiên cứu

3.1. Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học phương trình và bất

phương trình ở trường THPT.

3.2. Đối tượng nghiên cứu: Các mô hình dạy giải toán chủ đề phương

trình và bất phương trình cho học sinh THPT theo QĐH.

4. Giả thuyết khoa học

Trên cơ sở lý luận của phương pháp dạy học môn Toán và thực tiễn dạy

học về phương trình và bất phương trình, nếu khai thác và vận dụng thành thạo

QĐH để giải phương trình và bất phương trình thì sẽ phát huy được khả năng

phát hiện tìm lời giải, phân tích bài tập, hệ thống dạng toán của HS trong việc

học tập, qua đó nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường THPT.

5. Nhiệm vụ nghiên cứu

5.1. Tổng kết một số vấn đề lý luận về QĐH và giải toán theo QĐH.

5.2. Đề xuất một số biện pháp sư phạm giúp HS phát triển khả năng giải

phương trình và bất phương trình theo QĐH thông qua việc phân loại các bài

tập về phương trình, bất phương trình có thể giải theo QĐH.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN 4 http://www.lrc.tnu.edu.vn/

5.3. Tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh họa tính khả thi và hiệu quả

của các nội dung đã đề xuất.

6. Phƣơng pháp nghiên cứu

6.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu

về dạy học theo QĐH, phương pháp dạy học môn Toán và các tài liệu khác liên

quan đến đề tài.

6.2. Phương pháp điều tra, quan sát: Khảo sát thực trạng dạy học giải

toán phương trình, bất phương trình theo QĐH ở trường THPT hiện nay.

6.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm

để xem xét tính khả thi và hiệu quả của việc dạy giải toán chủ đề phương trình

và bất phương trình theo QĐH ở trường Phổ thông.

7. Những đóng góp của luận văn

7.1. Góp phần hệ thống lại một số yếu tố lý luận và thực tiễn về dạy giải

toán theo QĐH ở trường Phổ thông.

7.2. Hệ thống và phân loại các dạng bài tập về phương trình và bất

phương trình thường gặp ở THPT có thể giải theo QĐH.

7.3. Đưa ra một số chỉ dẫn cho giáo viên giúp HS giải hệ thống bài tập về

phương trình, bất phương trình theo QĐH.

8. Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, phụ lục, nội

dung chính của luận văn gồm ba chương.

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.

Chương 2: Dạy giải toán chủ đề phương trình và bất phương trình theo

quan điểm hàm.

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN 5 http://www.lrc.tnu.edu.vn/

Chƣơng 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Hàm và quan điểm hàm trong dạy học toán ở trƣờng phổ thông

1.1.1. Khái niệm hàm

1.1.1.1. Định nghĩa hàm dựa vào đại lượng biến thiên

Theo [4, trang 15] có hai dạng định nghĩa sau:

a) Dạng thứ nhất: "Đại lượng y được coi là hàm số của đại lượng x, nếu

với mỗi giá trị của x (trong khoảng biến thiên của nó) thì tương ứng một giá trị

xác định của y; x gọi là đối số ".

b) Dạng thứ hai: "Luật (quy tắc) theo đó các giá trị của đại lượng biến

thiên phụ thuộc tương ứng với những đại lượng biến thiên độc lập gọi là hàm"

(bài giảng về đại số cao cấp của Mytskit).

1.1.1.2. Định nghĩa hàm dựa vào tập hợp

Theo [4, trang 15, 16] có bốn dạng định nghĩa sau:

a) Định nghĩa tình huống hàm (dạng thứ nhất): theo Klomogorov và

Fomin: "Giả sử M và F là hai tập hợp bất kì. Người ta nói rằng trên M xác định

một hàm f nhận các giá trị trong F nếu với mỗi phần tử x



M đặt tương ứng

một và chỉ một phần tử trong F". Trong trường hợp các tập hợp có bản chất bất

kì thì thay từ "hàm" người ta dùng từ ánh xạ và nói về "ánh xạ" của tập M đến

tập F.

b) Hàm như một quy tắc tương ứng giữa hai tập hợp ( dạng thứ hai):

Chẳng hạn, theo Lê Đình Phi: "X và Y là hai tập hợp đã cho. Một ánh xạ f từ X

đến Y là một quy tắc cho tương ứng với mỗi phần tử x



X duy nhất phần

tử y



Y". Những định nghĩa thuộc dạng trên, người ta dùng những khái

niệm "quy tắc" hay "luật". Ý nghĩa của những từ này có thể được chính xác

hóa nhờ khái niệm thuật toán, nhưng một sự chính xác như thế lại dẫn đến

thu hẹp khái niệm hàm.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN 6 http://www.lrc.tnu.edu.vn/

c) Hàm như một tương ứng (dạng thứ ba): theo Klini trong cuốn nhập

môn vào toán học, có viết: "Theo định nghĩa tổng quát nhất thì hàm là một sự

tương ứng mà theo đó với mỗi phần tử x của tập hợp X tương ứng với một

phần tử y của tập Y nào đó".

d) Định nghĩa hàm dựa vào tập hợp (dạng thứ tư): các định nghĩa hàm

thuộc ba dạng trên đã dựa vào tập hợp nhưng chưa triệt để. Vì vậy chúng chưa

chỉ đích danh định nghĩa hàm là gì (dạng thứ nhất), hoặc còn những thuật ngữ

chưa rõ ràng, chẳng hạn như quy tắc (dạng thứ hai), "sự tương ứng" (dạng thứ

ba). Để khắc phục được những đặc điểm trên, dạng thứ tư đem vào tập hợp

những cặp để chính xác hóa khái niệm hàm. Dạng này có hai cách định nghĩa:

định nghĩa đầy đủ và định nghĩa rút gọn.

Về định nghĩa đầy đủ, Bourbaki cho rằng: "Một tập G mà mỗi phần tử

của nó là những cặp được gọi là một đồ thị. Tập hợp các phần tử thứ nhất của

các cặp trong G được gọi là miền xác định của đồ thị G, ký hiệu là pr

1

G. Tập

hợp tất cả các phần tử thứ hai của các cặp trong G được gọi là miền giá trị của

G, ký hiệu là pr

2

G".

Một bộ ba (G, A, B) trong đó G là một đồ thị sao cho pr

1

G



A và

pr

2

G



B, được gọi là một sự tương ứng giữa các tập hợp A và B, A được gọi

là nguồn, B gọi là đích của sự tương ứng đó. Một đồ thị được gọi là đồ thị hàm

nếu trong đó không có hai cặp phân biệt nào cùng chung phần tử thứ nhất. Một sự

tương ứng (F, A, B) được gọi là một hàm nếu F là một đồ thị hàm và A = pr

1

G.

Về định nghĩa rút gọn, theo kolmogorov: "Một hàm là một tập hợp

những cặp (x, y) sao cho đối với mỗi x bất kì trong tập hợp đó không có quá

một cặp (x, y) với phần tử thứ nhất x cho trước". Như thế định nghĩa hàm theo

định nghĩa rút gọn chính là đồ thị hàm theo định nghĩa đầy đủ, còn nguồn và

đích không có mặt trong định nghĩa rút gọn. Trong các định nghĩa hàm theo

khuynh hướng hiện đại, thực chất chỉ có dạng thứ tư là triệt để dựa vào lý

thuyết tập hợp.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN 7 http://www.lrc.tnu.edu.vn/

1.1.2. Quan điểm hàm trong dạy học toán ở trường phổ thông

- Theo [4], QĐH trong dạy học Toán ở phổ thông là: xem xét các sự vật

và hiện tượng dựa trên tương quan hàm, trong đó chú trọng vào các biểu hiện

cơ bản của hàm gồm "tương ứng, biến thiên, phụ thuộc", trong sự hình thành và

phát triển một bộ phận (một ngành) của Toán học.

1.1.3. Đặc trưng của quan điểm hàm trong dạy học toán ở trường phổ thông

Khi vận dụng QĐH trong dạy học Toán ở trường phổ thông chúng có

những biểu hiện sau đây:

- Trình bày các đối tượng toán học trong sự chuyển động và sự biến đổi

của chúng;

- Thể hiện quan điểm tác động - ảnh hưởng đến các sự kiện toán học

trong mối quan hệ nhân quả;

- Khuynh hướng diễn đạt các sự kiện toán học một cách thực chất và

tăng cường ứng dụng của toán học;

- Làm rõ kiến thức về hàm xuyên suốt qua hầu hết các chủ đề toán học

trong nhà trường.

Với khái niệm hàm số được học ở trường Phổ thông thì sự thể hiện 4

biểu hiện trên là:

- Khi cho hàm số cần phải đảm bảo tính đa dạng (bảng, sơ đồ Ven; biểu

thức giải tích; đường cong hình học), tránh tình trạng „„độc quyền‟‟ bằng biểu

thức giải tích, dẫn đến HS gặp nhiều khó khăn khi đối diện với các tình huống

trong đó hàm số xuất hiện dưới dạng bảng hay đồ thị (biểu hiện 1).

- Sự thể hiện quan điểm tác động - ảnh hưởng đến các sự kiện toán học

trong mối quan hệ nhân quả; hàm (hàm số nói riêng) có tác động - ảnh hưởng

trong 7 lĩnh vực: xây dựng và mở rộng các hệ thống số; các phép biến đổi đồng

nhất; phương trình và bất phương trình; hàm số (giới hạn, đạo hàm, nguyên

hàm, tích phân) và các phép biến hình với các tập điểm và phương pháp tọa độ

(tương ứng giữa tập hợp điểm và tập số), lượng giác, tính liên môn trong dạy