Thư viện tri thức trực tuyến
Kho tài liệu với 50,000+ tài liệu học thuật
© 2023 Siêu thị PDF - Kho tài liệu học thuật hàng đầu Việt Nam
Đạo hàm và ứng dụng trong giải toán trung học phổ thông.
Nội dung xem thử
Mô tả chi tiết
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
NGUYỄN THỊ LIÊN
ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG TRONG
GIẢI TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60. 46. 01.13
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Đà Nẵng - Năm 2015
Công trình được hoàn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
Người hướng dẫn khoa học: TS. LÊ HẢI TRUNG
Phản biện 1: TS. Lê Hoàng Trí
Phản biện 2: GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu
Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn
tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày
27 tháng 6 năm 2015
Có thể tìm hiểu luận văn tại:
Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng
Trung tâm Học liệu, Đại học Đà Nẵng
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Đạo hàm là một trong những khái niệm quan trọng của giải
tích,việc nắm vững các công thức, quy tắc tính đạo hàm và ứng dụng
của đạo hàm sẽ giúp chúng ta tìm ra những hướng giải quyết một số
vấn đề của toán học một cách mới lạ và độc đáo.
Ở bậc Trung học phổ thông, việc giải phương trình, bất phương
trình, hệ phương trình và chứng minh các bất đẳng thức thường hay
dùng một số phương pháp giải như: biến đổi tương đương, dùng ẩn
phụ, phương pháp hình học,... Trong việc giải quyết các vấn đề nêu
trên thì việc sử dụng phương pháp đạo hàm tỏ ra hiệu quả và đơn giản
hơn.
Nội dung các bài toán được giải bằng phương pháp đạo hàm rất
gần với thực tế và việc lý luận để giải các bài toán này luôn đem lại sự
hấp dẫn, lý thú và đầy bất ngờ. Điều này thu hút sự quan tâm ngày
càng nhiều của các học sinh giỏi toán và là các chủ đề trong chương
trình bồi dưỡng học sinh tham gia các kỳ thi Olympic và quốc gia. Vì
vậy, ứng dụng đạo hàm trong giải toán THPT chứa đựng nhiều tiềm
năng lớn có thể khai thác để bồi dưỡng cho học sinh khá và giỏi. Các
bài toán được vận dụng đạo hàm để giải quyết ngày càng xuất hiện
nhiều trong các đề thi Đại học, Cao đẳng.
Với thực trạng đã nêu trên, và được sự gợi ý của thầy giáo Lê
Hải Trung, tôi lựa chọn đề tài “Đạo hàm và ứng dụng trong giải toán
THPT” cho luận văn thạc sĩ của mình.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Nghiên cứu đạo hàm và ứng dụng đạo hàm trong giải toán
THPT, xem xét một lớp bài tập giải bằng phương pháp đạo hàm và bồi
dưỡng cho học sinh giỏi toán ở phổ thông.
2
3. Phƣơng pháp nghiên cứu
Trong luận văn có sử dụng các kiến thức thuộc các chuyên
ngành: Giải tích, Đại số...
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu về đạo hàm của hàm số một biến và ứng dụng.
- Nghiên cứu về các ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số
bài toán trong chương trình THPT.
5. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung của luận văn được
chia thành 2 chương.
Chương 1. Kiến thức cơ sở
Chương này trình bày sơ lược những kiến thức cơ sở về đạo
hàm cùng các quy tắc tính đạo hàm, các định lý trung bình, … để làm
tiền đề cho chương sau. Các chi tiết liên quan có thể xem trong [6], [8],
[9],…
Chương 2. Ứng dụng đạo hàm trong giải toán trung học phổ
thông
Chương này trình bày ứng dụng của đạo hàm để giải các bài
toán trong chương trình THPT. Các chi tiết liên quan có thể xem trong
[1], [5], [10], [11],…
CHƢƠNG 1
KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1. KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM
Định nghĩa 1.1. Cho hàm số
y f x ( )
xác định trên tập
D
và
điểm
0
x D . Gọi
( , ) a b D
sao cho
0
x a b ( , )
. Nếu tồn tại giới hạn
hữu hạn:
0
0
0
( ) ( ) lim
x x
f x f x A
x x
(1.1)
3
thì
A
được gọi là đạo hàm của hàm số
f x( )
tại điểm
0
x
và kí hiệu
0
f x'( )
hoặc
0
y x'( )
, khi đó:
0
0
0
0
( ) ( ) '( ) lim
x x
f x f x f x
x x
. (1.2)
Định nghĩa 1.2. Hàm số
y f x ( )
gọi là có đạo hàm trên đoạn
( , ) ab
nếu hàm số có đạo hàm tại mọi điểm trên đoạn
( , ). ab
Nhận xét 1.1. Đạo hàm của hàm số tại điểm
0
x
(nếu có) là một
hằng số.
Nhận xét 1.2. Hàm số có đạo hàm tại
0
x
thì liên tục tại
0
x .
Tính chất 1.1.
a)
( )' 0 C
(
C
là hằng số);
( )' 1 x .
b)
2
1 1 ( )'
x x
(x ≠ 0),
1
( )'
2
x
x
(x > 0 ).
c)
1
1
1
1
( )' . ;( )' ( )'
.
n n n n
n n
x n x x x
n x
.
d)
( )' x x
e e ,
1
(ln )' x
x
(x > 0 ).
e)
1
( )' .ln ;(log | |)'
.ln
x x
a
a a a x
x a
( x > 0, 0 < a ≠ 1).
f)
(sinx)' cos ;(cosx)' sinx x .
g)
2 2
2 2
1 1 (tanx)' 1 tan ;(cotx)' (1 cot ) .
cos sin
x x
x x
h)
2 2
1 1 (arcsinx)' ;(arccosx)'
1 1 x x
.
i)
2 2
1 1 (arctanx)' ;(arccotx)'
1 1 x x
.
1.2. Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM
Ý nghĩa 1.1. Đạo hàm của hàm số
y f x ( )
tại điểm
0
x
là hệ số
4
góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm
0 0 0 M x( , (x )) f .
Nếu hàm số
y f x ( )
có đạo hàm tại điểm
0
x
thì tiếp tuyến của
đồ thị hàm số tại điểm
0 0 0 M x( , (x )) f
có phương trình là:
0 0 0 y f x x x f x '( )( ) ( )
1.3. CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
Định lý 1.1. Nếu hai hàm số
u u x ( )
và
v v x ( )
có đạo hàm
trên
J(J D)
thì hàm số
y u x ( ) v(x)
và
y u x ( ) v(x)
cũng có
đạo hàm trên J, và:
( ) ( ) ' '( ) '( )
( ) ( ) ' '( ) '( )
u x v x u x v x
u x v x u x v x
(1.6)
Hệ quả 1.1. Có thể mở rộng công thức trên cho tổng hay hiệu của
nhiều hàm số như sau: Nếu các hàm số
u v, ,...,w
có đạo hàm trên J
thì ta có:
( ... )' ' ' ... '. u v w u v w (1.8)
Định lý 1.2. Nếu hai hàm số
u u x ( )
và
v v x ( )
có đạo hàm trên
J thì hàm số
y u v x (x). ( )
cũng có đạo hàm trên J, và
u x v x u x v x u x v x ( ). ( ) ' '( ). ( ) ( ). '( ). (1.9)
Đặc biệt, nếu k là hằng số thì:
k u x k u x . ( ) ' . '( ).
(1.10)
Định lý 1.3. Nếu hai hàm số
u u x ( )
và
v v x ( )
có đạo hàm trên
J và
v x( ) 0
với mọi
x J
thì hàm số
( )
( )
u x
y
v x
cũng có đạo hàm trên
J, và:
2
( ) '( ). ( ) ( ). '( )
.
( ) ( )
u x u x v x u x v x
v x v x
(1.12)
Hệ quả 1.2. Nếu hàm
u x( )
là hằng số thì ta có:
2
. '( ) ' .
( ) ( )
C C v x
v x v x
(1.14)
5
Định lý 1.4. Xét hàm số hợp
y f u x [ ( )] . Nếu hàm số
u u x ( )
có
đạo hàm tại điểm
0
x
và hàm số
y f u ( )
có đạo hàm tại điểm
0 0 u u x ( )
thì hàm số hợp
y f u x [ ( )]
có đạo hàm tại điểm
0
x
, và:
y x f u u x '( ) ' . ' 0 0 0
. (1.16)
Định lý 1.5. Nếu hàm số
x f y ( )
có đạo hàm tại
0
y a b ( , )
và
0
f y '( ) 0
và nếu có hàm ngược
y g x ( )
liên tục tại
0 0 x f y ( )
, thì
hàm ngược có đạo hàm tại
0
x , và:
0
0
1
'( )
'( )
g x
f y
. (1.18)
Định nghĩa 1.3. Giả sử
f x( )
có đạo hàm tại mọi x thuộc một
khoảng nào đấy. Khi đó
f x'( )
là một hàm số xác định trên khoảng đó.
Nếu hàm số
f x'( )
có đạo hàm thì đạo hàm này gọi là đạo hàm
cấp hai của
f x( ) , kí hiệu là
f x "( )
. Tức là:
f x f x ''( ) [ '( )]' .
Nếu hàm số
f x "( )
có đạo hàm thì đạo hàm này gọi là đạo hàm
cấp ba của
f x( ) , kí hiệu là
f x "'( ). Tức là:
f x f x '''( ) [ ''( )]' .
Tổng quát, đạo hàm của đạo hàm cấp n – 1 được gọi là đạo hàm
cấp n. Đạo hàm cấp n của
f x( )
kí hiệu là:
( ) ( ) n
f x .
Vậy:
( ) ( 1) ( ) [ ( )]' n n f x f x
. (1.19)
1.4. CÁC ĐỊNH LÝ TRUNG BÌNH
Cho
f x y ( , )
xác định trên D là tập mở chứa
0 0 0 M x y ( , ).
Định nghĩa 1.4.
0 0 0 M x y ( , )
là điểm cực đại địa phương của f nếu
0 0 0 M x y ( , )
là điểm cao nhất của f trong một lân cận nào đó của
0 0 0 M x y ( , )
, nghĩa là:
0 0 0 0 : ( , ) ( , ), ( , ) V f x y f x y M x y V M M
Khái niệm cực tiểu địa phương cũng được định nghĩa tương tự.
Tính chất 1.2. Cực đại địa phương và cực tiểu địa phương được
gọi chung là cực trị địa phương.
6
Định nghĩa 1.5.
0 0 0 M x y ( , )
là điểm cực đại toàn cục của f trên D
nếu
0 0 0 M x y ( , )
điểm cao nhất của f trên D, nghĩa là:
0 0 f x y f x y M x y D ( , ) ( , ), ( , )
Khái niệm cực tiểu toàn cục cũng được định nghĩa tương tự.
Định lý 1.7. (định lý Fermat) Cho hàm số f xác định trên khoảng
(a, b). Nếu hàm số
f x( )
đạt cực trị địa phương tại c và
f '(c)
tồn tại thì
f '(c) 0.
Định lý 1.8. (định lý Rolle) Nếu
f x( )
liên tục trên đoạn [a, b],
có đạo hàm trong khoảng (a, b) và
f a f b ( ) ( )
thì tồn tại
c a b ( , )
sao
cho
f c'( ) 0 .
Hệ quả 1.3. Nếu hàm số
f x( )
có đạo hàm trên (a, b) và
f x( )
có
n nghiệm (n là số nguyên dương lớn hơn 1) trên (a, b) thì
f x'( )
có ít
nhất (n – 1) nghiệm trên (a, b).
Hệ quả 1.4. Nếu hàm số
f x( )
có đạo hàm trên (a, b) và
f x'( )
vô nghiệm trên
(a, b) thì
f x( )
có nhiều nhất một nghiệm trên (a, b).
Hệ quả 1.5. Nếu hàm số
f x( )
có đạo hàm trên (a, b) và
f x'( )
có
nhiều nhất n nghiệm (n là số nguyên dương) trên (a, b) thì
f x( )
có
nhiều nhất (n + 1) nghiệm trên (a, b).
Định lý 1.9. (định lý Lagrange). Nếu hàm số
f x( )
liên tục trên
đoạn [a, b] và có đạo hàm trên (a, b) thì tồn tại
c a b ( , )
sao cho
f(b) – f(a) =
f c b a '( ).( ) hay
( ) ( ) '( ) f b f a f c
b a
.
Ý nghĩa 1.2. Giả sử cung AB là đồ thị của hàm số
f (x)
thỏa điều
kiện của định lý Lagrange trên [a, b]. Trong đó điểm A (a, f(a)), B (b,
f(b)), khi đó trên cung AB phải có ít nhất một điểm C(c, f(c)) có hoành
độ
c a b ( , )
sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại C song song với đường
7
thẳng AB.
Định lý 1.10. Cho hàm số
f x( )
có đạo hàm trên khoảng (a,b).
Nếu
f x x a b '( ) 0, ( , )
thì
f x( )
đồng biến trên (a, b).
Nếu
f x x a b '( ) 0, ( , )
thì
f x( )
nghịch biến trên (a, b).
Nếu
f x x a b '( ) 0, ( , )
thì
f x( )
là hàm hằng trên (a, b).
Định lý 1.11. (định lý Cauchy). Nếu
f x( )
và
g x( )
là hai hàm số
liên tục trên [a, b], và có đạo hàm trên (a, b) và
g x( ) 0
tại mọi
x a b ( , )
thì tồn tại
c a b ( , )
sao cho:
( ) ( ) '( )
( ) ( ) '( )
f b f a f c
g b g a g c
(1.21)
Định lý Lagrange là hệ quả của định lý Cauchy (trong trường hợp
g(x) = x).
Định lý 1.12. (định lý về dấu của tam thức bậc hai) Cho hàm số:
2
f x ax bx c a ( ) ( 0)
+ Nếu < 0 thì
f x( )
luôn cùng dấu với a.
+ Nếu = 0 thì
f x( )
luôn cùng dấu với a (trừ
2
b
x
a
)
+ Nếu > 0 thì
f x( )
có hai nghiệm
1 2 x x ,
và trong khoảng hai
nghiệm thì
f x( )
khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì
f x( )
cùng
dấu với a.
Định lý 1.13. (Định lý Viet). Cho phương trình:
2
ax bx c a b c a 0; , , ;( 0),
có 2 nghiệm là
1 2 x x, .Ta có hệ thức:
8
1 2
1 2
1 2 2 1
,
. ,
.
b
x x
a
c
x x
a
x x x x
a
(1.22)
CHƢƠNG 2
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG GIẢI TOÁN THPT
2.1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÍNH TỔNG VÀ TÌM HỆ SỐ CỦA
ĐA THỨC
Nhờ đạo hàm ta có thể tính được một số tổng (hoặc chứng minh
đẳng thức) mà các số hạng thường có dạng
(k 1)xk k a .
Đối với đa thức
0 1 ( ) ... n
n
f x a a x a x , ta dễ thấy:
( ) (0)
,
!
k
k
f
a
k
(2.1)
trong đó quy ước đạo hàm cấp 0 của hàm số f(x) là chính hàm số
f(x), và
0 1 0 1 2
... ... ( 1) (1), ( 1) n
n n a a a a a a a f f (2.2)
Nhận xét 2.1. Khi trong tổng có một phần hệ số đứng trước tổ
hợp tăng dần hoặc giảm dần từ 1,2,3,…,n hay n,…,3,2,1 tức là số
hạng đó có dạng
k
n
kC
hoặc
k n k k 1
n
kC a b
thì ta có thể dùng đạo hàm cấp
1 để tính. Cụ thể:
0 1 1 2 ... n n n n n
n n n
a x C a C a x nC ax
Lấy đạo hàm hai vế phương trình trên theo x ta được:
1 1 1 2 2 1 2 ... n n n n n
n n n
n a x C a C a nC ax
Đến đây thay x, a bằng hằng số thích hợp ta được tổng cần tìm.
Khi trong tổng có một thành phần hệ số đứng trước tổ hợp có dạng
là tích của hai số nguyên dương liên tiếp, tức là 1.2, 2.3, …, (n – 1)n hay
n n( 1),...,3.2,2.1 hay 12
, 22
, …, n
2
(không kể dấu) tức có dạng