Đạo hàm Lie của dòng và liên thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

BÙI CAO VÂN

ĐẠO HÀM LIE

CỦA DÒNG VÀ LIÊN THÔNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

VINH - 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

BÙI CAO VÂN

ĐẠO HÀM LIE

CỦA DÒNG VÀ LIÊN THÔNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Hình học và Tôpô

Mã số: 62. 46. 01. 05

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS. TS. NGUYỄN HỮU QUANG

PGS. TS. KIỀU PHƯƠNG CHI

VINH - 2016

i

LỜI CAM ĐOAN

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.

TS. Nguyễn Hữu Quang và PGS. TS. Kiều Phương Chi. Tôi

xin cam đoan rằng các kết quả trình bày trong luận án là

hoàn toàn trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử

dụng và luận án không trùng lặp với bất kỳ tài liệu nào

khác.

Tác giả

Bùi Cao Vân

ii

LỜI CẢM ƠN

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. TS.

Nguyễn Hữu Quang và PGS. TS. Kiều Phương Chi. Trước hết, tác giả xin

được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với những người Thầy của mình: PGS.

TS. Nguyễn Hữu Quang và PGS. TS. Kiều Phương Chi, những người đã

đặt bài toán và hướng nghiên cứu cho tác giả. Các Thầy đã dạy bảo, chỉ

dẫn tác giả nghiên cứu một cách kiên trì và nghiêm khắc. Tác giả đã học

được rất nhiều kiến thức khoa học, nhận được sự chia sẻ, yêu thương của

các Thầy trong quá trình học tập và nghiên cứu.

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến quý thầy, cô giáo trong

Khoa Sư phạm Toán học, đặc biệt là tổ Hình học, Trường Đại học Vinh

đã trang bị cho tác giả những kiến thức cần thiết để hoàn thành chương

trình nghiên cứu sinh cũng như hoàn thiện luận án.

Trong quá trình học tập và thực hiện luận án, tác giả đã nhận được sự

hỗ trợ và tạo điều kiện tốt nhất để hoàn thành chương trình. Tác giả xin

gửi lời cảm ơn trân trọng nhất đến Khoa Sư phạm Toán học, Phòng Đào

tạo Sau đại học và các Phòng chức năng khác của Trường Đại học Vinh

vì những giúp đỡ quý báu đó.

Tác giả xin được bày tỏ sự cảm ơn đến Lãnh đạo Sở Giáo dục và Đào

tạo tỉnh Quảng Nam, Trường THPT Thái Phiên - Quảng Nam đã quan

tâm động viên cũng như tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả tập trung

học tập và nghiên cứu.

Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình và những người

bạn thân thiết đã luôn giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình

học tập và nghiên cứu./.

Bùi Cao Vân

1

MỤC LỤC

Mục Lục 1

Một số ký hiệu thường dùng trong luận án 2

Mở đầu 3

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 9

1.1 Dạng vi phân trên đa tạp Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Liên thông trên đa tạp Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Đạo hàm Lie của dạng vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4 Phân bố và dòng trên đa tạp Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Chương 2. Đạo hàm Lie của dòng trên đa tạp 28

2.1 Đạo hàm Lie của dòng và dạng suy rộng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2 Đạo hàm Lie của dòng trên nhóm Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.3 Một số ứng dụng của đạo hàm Lie của dòng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.4 Đạo hàm Lie của dạng và dòng song bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Chương 3. Đạo hàm Lie của liên thông pháp dạng 72

3.1 Đạo hàm Lie của liên thông và vi phân ngoài liên kết . . . . . . . . . 72

3.2 Đạo hàm Lie của liên thông pháp dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Kết luận chung và kiến nghị 97

Danh mục công trình 99

Tài liệu tham khảo 100

2

MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG

LUẬN ÁN

Kí hiệu Tên gọi

M Đa tạp Riemann n−chiều

(U, x) Bản đồ của M hoặc Mc

Mc Đa tạp phức n−chiều

TpM Không gian tiếp xúc với M tại p ∈ M

Vk

(TpM) Không gian k−dạng tuyến tính, phản xứng

B(M) Không gian các trường véctơ trơn trên M

F(M) Không gian các hàm trơn trên M

Fc(U) Không gian các hàm trơn và suppf là tập con com￾pact trong U

D(U) Không gian các phân bố trên U có giá compact

Ω

k

(M) Không gian các k−dạng vi phân trơn trên M

Ω

k

c

(M) Không gian k−dạng vi phân trơn có giá compact

Dk

(M) Không gian các k−dòng có giá compact trên M

Ωek

(M) Không gian các k−dạng suy rộng trên M

Ω

(p,q)

(Mc

, C) Không gian các dạng vi phân song bậc trên Mc

Ω

k

(M, F) Không gian các k−dạng vi phân với giá trị trong

không gian định chuẩn F trên M

O(Mc

) Không gian các hàm chỉnh hình trên Mc

B

(1,0)

hol (Mc

) Không gian các trường véctơ chỉnh hình trên Mc

Ω

p

hol(Mc

) Không gian các p−dạng chỉnh hình trên Mc

D(p,q)

(M, C) Không gian các dòng song bậc (p, q) trên Mc

N(M) Không gian các trường véctơ pháp dạng khả vi trên

đa tạp con Riemann M

∇ Liên thông Levi-Civita của M

∇e Liên thông Levi-Civita củaMf

∇⊥ Liên thông pháp dạng của M

R Tenxơ cong (độ cong) của đa tạp con Riemann M

Re Tenxơ cong (độ cong) của đa tạp RiemannMf

R⊥ Độ cong pháp dạng của đa tạp con Riemann M

£X Đạo hàm Lie của dòng

LX Đạo hàm Lie của dạng vi phân hoặc dạng suy rộng

3

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

1.1. Lý thuyết đạo hàm Lie là một trong những lĩnh vực nghiên cứu của

toán học hiện đại, xuất hiện từ những năm 30 của thế kỷ trước trong

các công trình nghiên cứu của Slebodzinski, Dantzig, Schouten và Van

Kampen ([47]). Đây là lĩnh vực đã và đang được sự quan tâm của rất

nhiều nhà toán học trong và ngoài nước. Phép đạo hàm Lie trên đa tạp là

một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu về các bài toán đa tạp con có thể tích

cực tiểu địa phương, xác định các độ cong chính, độ cong Ricci của đa tạp

Riemann. Đạo hàm Lie có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau

của toán học như tìm nghiệm của các phương trình vi phân, hệ phương

trình tuyến tính, hệ động lực, hệ Hamilton... ([4], [25]). Ngoài ra, đạo hàm

Lie cũng có nhiều ứng dụng trong các ngành khoa học khác như: Cơ học

lượng tử, khoa học máy tính, sinh học, kinh tế...

1.2. Lý thuyết dòng là một lý thuyết của ngành Hình học - Tôpô. Từ cuối

những năm 60 của thế kỷ XX, cùng với sự hình thành và phát triển của

lý thuyết các không gian phức hyperbolic, lý thuyết dòng đã có những

bước tiến mạnh mẽ và được ứng dụng sâu sắc trong giải tích phức nhiều

biến, hình học giải tích, hình học đại số, hệ động lực... Việc sử dụng lý

thuyết dòng trong các nghiên cứu về thể tích cực tiểu của k−mặt trên đa

tạp Riemann có thể tìm thấy trong các công trình nghiên cứu của A. T.

Fomenko, Havey, Đào Trọng Thi, Lê Hồng Vân...([38]).

1.3. Các phép đạo hàm trên đa tạp Riemann có nhiều ứng dụng trong việc

mô tả các đặc trưng hình học của đa tạp đó. Chính vì vậy, mà việc nghiên

cứu nó đã và đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan

tâm. Mặc dù cho đến nay đã có nhiều kết quả quan trọng nhưng đây vẫn

là vấn đề cơ bản và mang tính thời sự, thu hút ngày càng nhiều nhà toán

học nghiên cứu vì tính thực tiễn và ứng dụng trong khoa học kỹ thuật.

Năm 2010, Sultanov đã trình bày các tính chất cơ bản của các đạo hàm

Lie và ứng dụng chúng vào việc khảo sát các độ cong và độ xoắn trên các

đại số kết hợp, giao hoán và có đơn vị ([37]). Trong trường hợp riêng, đạo

4

hàm Lie được sử dụng trong các nghiên cứu về các tính chất hình học trên

đa tạp. Trong những năm gần đây, đạo hàm Lie đã được nhiều nhà toán

học quan tâm, chẳng hạn: K. Habermann, A. Klein ([19]); L. Fatibene, M.

Francaviglia ([16]); R. P. Singh, S. D. Singh ([33]); A. Ya. Sultanov ([37]);

J. D. Pérez ([28], [29])...

Nhằm thiết lập khái niệm đạo hàm Lie cho dòng và liên thông trên các

đa tạp, đồng thời nghiên cứu các tính chất và ứng dụng của chúng, chúng

tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của mình là: "Đạo hàm Lie của

dòng và liên thông".

2. Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận án là nghiên cứu về đạo hàm Lie trên các đa tạp

như: Đạo hàm Lie của dòng và dạng suy rộng, đạo hàm Lie của dạng và

dòng song bậc, vi phân ngoài liên kết với liên thông, đạo hàm Lie của các

liên thông... nhằm bổ sung một số tính chất hình học trên đa tạp Riemann,

đồng thời chúng tôi cũng chỉ ra một số ứng dụng của chúng.

3. Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận án là đạo hàm Lie của dòng và dạng

suy rộng, đạo hàm Lie của các liên thông trên đa tạp Riemann.

4. Phạm vi nghiên cứu

Luận án nghiên cứu các tính chất về đạo hàm Lie của dòng, đạo hàm

Lie của phân bố, đạo hàm Lie của dạng suy rộng, đạo hàm Lie của dạng

và dòng song bậc, vi phân ngoài liên kết với liên thông, đạo hàm Lie của

các liên thông và ứng dụng của chúng.

5. Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết của hình học

Riemann, lý thuyết dòng, giải tích hàm, lý thuyết liên thông và lý thuyết

nhóm Lie trong quá trình thực hiện đề tài.

6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Luận án đã đạt được một số kết quả về đạo hàm Lie trên đa tạp

Riemann như: Đạo hàm Lie của dòng, đạo hàm Lie của phân bố, đạo hàm

Lie của dạng suy rộng, đạo hàm Lie của dạng và dòng song bậc, vi phân

5

ngoài liên kết với liên thông, đạo hàm Lie của liên thông pháp dạng...

nhằm bổ sung một số tính chất hình học trên đa tạp. Đồng thời, áp dụng

các kết quả thu được vào việc chứng minh định lý vận chuyển, công thức

đồng luân đối với dòng và tìm điều kiện để đa tạp con cực tiểu.

Luận án có thể làm tài liệu tham khảo cho các sinh viên, học viên cao

học và nghiên cứu sinh chuyên ngành Hình học - Tôpô.

7. Tổng quan và cấu trúc của luận án

7.1. Tổng quan một số vấn đề liên quan đến luận án

Đa tạp Riemann là khái niệm cơ sở của toán học hiện đại. Khái niệm

này xuất hiện vào nửa cuối thế kỷ 19. Hình học trên các đa tạp đó có nhiều

ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học như: Giải tích, lý

thuyết hệ động lực... và các ngành: Vật lý, các ngành khoa học kỹ thuật...

Lý thuyết liên thông là một trong những công cụ cơ bản của hình học

Riemann và được trình bày trong các tài liệu ([22], [24]). Đến những năm

cuối của thế kỷ 20, cùng với sự phát triển của tôpô với những công trình

nổi tiếng của Hausdorff, Poincaré... thì hình học trên các đa tạp đã phát

triển mạnh mẽ và chính tôpô đã trở thành một công cụ hữu hiệu trong

việc xây dựng các cấu trúc hình học, chẳng hạn như: Độ cong, độ xoắn,

đạo hàm các dạng vi phân trên các đa tạp và đặc biệt là mô tả các tính

chất hình học quan trọng trên nhóm Lie compact.

S. Lie là người đầu tiên đưa ra khái niệm đạo hàm X[f] của hàm số f

theo trường véctơ X trên đa tạp khả vi và bây giờ gọi là đạo hàm Lie của

hàm số theo trường véctơ. Năm 1920, Élie Cartan ([5]) định nghĩa một

cách tự nhiên toán tử vi phân LX của các dạng vi phân và chứng minh

được toán tử vi phân LX giao hoán với vi phân ngoài d. Đặc biệt, Élie

Cartan đã chứng minh được công thức sau và gọi là công thức Cartan

LX = d ◦ iX + iX ◦ d,

ở đây iX là tích trong của trường véctơ X đối vớ dạng vi phân.

Năm 1931, trong các công trình nghiên cứu của W. Slebodzi´nski ([35]) ´

cũng đã xuất hiện toán tử vi phân LX của trường tenxơ theo trường véctơ

X. W. Slebodzi´nski đã chứng minh được công thức toán tử vi phân ´ LX

của tích hai trường tenxơ và ứng dụng vào việc tìm nghiệm của phương

6

trình Hamilton chính tắc. Với mỗi hàm số H(p, q), p = (pµ), q = (q

µ

), µ =

1, 2, ..., n, W. Slebodzi´nski định nghĩa trường véctơ ´

XH =

∂H

∂pµ

∂

∂qµ

−

∂H

∂qµ

∂

∂pµ

và đã chứng minh được LXH A = 0; LXH B = 0; với A = dqµ ∧ dpµ,

B =

∂

∂qµ ∧

∂

∂pµ

.

Năm 1932, D. V. Dantzig đã đặt tên cho toán tử vi phân LX là đạo hàm

Lie mang tên nhà toán học S. Lie ([10]). Sử dụng đạo hàm Lie, Dantzig

thu được nhiều kết quả thú vị, đó là không gian xạ ảnh n−chiều được

mô tả bởi n + 1 tọa độ cong thuần nhất mà có thể xem như không gian

(n + 1)−chiều với liên thông tuyến tính và ông đã đưa ra những ứng dụng

của đạo hàm Lie vào Vật lý. Kể từ đó, các phép biến dạng của đường

cong, không gian con và không gian các phép biến dạng cũng như nhóm

chuyển động, chuyển động affine, chuyển động xạ ảnh, chuyển động bảo

giác đã được quan tâm nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học nổi tiếng như:

L. Berwald, E. Cartan, N. Coburn, E. T. Davies, P. Dienes, A. Duschek, L.

P. Eisenhart, F. A. Ficken, H. A. Hayden, V. Hlavatý, E. R. van Kampen,

M. S. Knebelman, T. Levi Civita, J. Levine, W. Mayer, A. J. McConnel,

A. D. Michal, H. P. Robertson, S. Sasaki, J. A. Schouten, J. L. Synge, A.

H. Taub, H. C. Wang và nhiều tác giả khác.

Năm 1948, J. A. Schouten và D. J. Struik ([34]) đã phát triển thêm

một số tính chất về đạo hàm Lie của dạng vi phân và đưa ra một số kỹ

thuật tính đạo hàm Lie đối với dạng vi phân trên đa tạp. Sau đó, năm

1957 K. Yano là người giới thiệu về lý thuyết đạo hàm Lie và các ứng

dụng của đạo hàm Lie ([47]). Việc nghiên cứu phép đạo hàm Lie có nhiều

ứng dụng trong việc mô tả các đặc trưng hình học của đa tạp và đặc biệt

là ứng dụng trong lý thuyết hệ động lực, lý thuyết truyền thông, cơ học

lượng tử, động lực học... Năm 1997, J.-H. Kwon và Y. J. Suh đã nghiên

cứu một số tính chất về đạo hàm Lie của tenxơ trên siêu mặt thực kiểu

A trong không gian dạng phức ([21]). Năm 2002, B. N. Shapukov đã trình

bày một số kết quả về đạo hàm Lie của trường tenxơ trên đa tạp Fiber

([36]). Năm 2008, K. R¨obenack đã đưa ra thuật toán cho phép tính đạo

hàm Lie bậc cao bằng máy tính ([31]).

Năm 2010, các tác giả L. S. Velimirovi´c, S. M. Min˘ci´c, M. S. Stankovi´c