Đại số và hình học giải tích 1 - 2

ÑAÏI SOÁ VAØ HÌNH HOÏC GIAÛI TÍCH 1-2

Giaùo trình Ñaïi hoïc Ñaïi cöông Ngaønh Toaùn-Tin hoïc

Taï Leâ Lôïi

- Ñaïi Hoïc Ñaølaït -

- 2005 -

Ñaïi soá vaø Hình hoïc giaûi tích 1-2

Taï Leâ Lôïi

Muïc luïc

Phaàn I:

Chöông 0. Kieán thöùc chuaàn bò

1. Caùc caáu truùc ñaïi soá cô baûn .............................................. 1

2. Tröôøng soá phöùc ......................................................... 3

3. Ña thöùc ................................................................. 6

Chöông I. Khoâng gian vector hình hoïc

1. Vector hình hoïc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2. Cô sôû Descartes - Toïa ñoä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3. Coâng thöùc ñaïi soá cuûa caùc pheùp toaùn treân vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4. Ñöôøng thaúng vaø maët phaúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Chöông II. Ma traän - Phöông phaùp khöû Gauss

1. Ma traän . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2. Caùc pheùp toaùn treân ma traän . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3. Phöông phaùp khöû Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Chöông III. Khoâng gian vector

1. Khoâng gian vector - Khoâng gian vector con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2. Cô sôû - Soá chieàu - Toïa ñoä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3. Toång - Tích - Thöông khoâng gian vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Chöông IV. AÙnh xaï tuyeán tính

1. AÙnh xaï tuyeán tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2. AÙnh xaï tuyeán tính vaø ma traän . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3. Khoâng gian ñoái ngaãu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Chöông V. Ñònh thöùc

1. Ñònh thöùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2. Tính chaát cuûa ñònh thöùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3. Tính ñònh thöùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4. Moät soá öùng duïng cuûa ñònh thöùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Phaàn II:

Chöông VI. Cheùo hoùa

1. Chuyeån cô sôû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2. Vector rieâng - Gía trò rieâng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3. Daïng ñöôøng cheùo - Cheùo hoùa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Chöông VII. Khoâng gian vector Euclid

1. Khoâng gian vector Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

2. Moät soá öùng duïng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3. Toaùn töû tröïc giao - Ma traän tröïc giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4. Toaùn töû ñoái xöùng - Cheùo hoùa tröïc giao ma traän ñoái xöùng . . . . . . . . . . . . . . . 109

Chöông VIII. Daïng song tuyeán tính - Daïng toaøn phöông

1. Daïng song tuyeán tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

2. Daïng toaøn phöông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

3. Daïng chính taéc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Chöông IX. AÙp duïng vaøo hình hoïc

1. Caáu truùc affin chính taéc cuûa moät khoâng gian vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

2. Moät soá aùnh xaï affin thoâng duïng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

3. Ñöôøng, maët baäc 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Baøi taäp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

0. Kieán thöùc chuaån bò

Chöông naøy neâu ñònh nghóa veà caùc caáu truùc ñaïi soá cô baûn laø nhoùm, vaønh vaø tröôøng.

Phaàn tieáp theo laø moät soá kieán thöùc toái thieåu veà soá phöùc vaø ña thöùc.

1. Caùc caáu truùc ñaïi soá cô baûn

1.1 Ñònh nghóa. Cho A laø moât taäp hôïp. Moät pheùp toaùn hai ngoâi treân A laø moät

aùnh xaï:

: A × A → A

Khi ñoù aûnh cuûa caëp (x, y) ∈ A × A bôûi aùnh xaï
seõ ñöôïc kyù hieäu laø x
y

• Pheùp toaùn
goïi laø coù tính keát hôïp neáuu1 (x
y)
z = x
(y
z), ∀x, y, z ∈ A

• Pheùp toaùn
goïi laø coù tính giao hoaùn neáuu x
y = y
x, ∀x, y ∈ A

• Phaàn töû e ∈ A, goïi laø phaàn töû ñôn vò , neáuu x
e = e
x = x, ∀x ∈ A

Khi
vieát theo loái coäng + thì phaàn töû ñôn vò goïi laø phaàn töû khoâng vaø kyù hieäu laø 0.

Khi
vieát theo loái nhaân · thì phaàn töû ø kyù hieäu laø 1.

• Giaû söû pheùp toaùn
coù phaàn töû ñôn vò e. Khi ñoù x ∈ A goïi laø khaû nghòch neáuu toàn

taïi x
∈ A sao cho: x
x
= x

x = e. Khi ñoù x
phaàn töû nghòch ñaûo cuûa x.

Khi
vieát theo loái coäng, thì phaàn töû nghòch ñaûo cuûa x goïi laø phaàn töû ñoái vaø kyù hieäu

laø −x. Khi
vieát theo loái nhaân, thì phaàn töû nghòch ñaûo cuûa x kyù hieäu laø x−1 hay 1

x

.

Nhaän xeùt. Phaàn töû ñôn vò neáu coù laø duy nhaát:

Neáu e1, e2 laø hai phaàn töû ñôn vò, thì e1 = e1
e2 = e2.

Nhaän xeùt. Neáu
coù tính keát hôïp, thì phaàn töû nghòch ñaûo cuûa x neáu coù laø duy nhaát:

Neáu x

, x

laø hai phaàn töû nghòch ñaûo cuûa x, thì x
= x

e = x

(x
x

)=(x

x)
x

=

e
x

= x

.

Baøi taäp: Haõy xeùt caùc pheùp toaùn coäng vaø nhaân treân A := N, Z, Q, R coù tính chaát

gì? Coù phaàn töû ñôn vò? Coù phaàn töû nghòch ñaûo?

1.2. Nhoùm. Moät nhoùm laø moät caëp (G,
), trong ñoù G laø moät taäp hôïp khoâng roãng, coøn

laø moät pheùp toaùn hai ngoâi treân G, thoaû caùc ñieàu kieän sau:

(G1)
coù tính keát hôïp.

(G2)
coù phaàn töû ñôn vò.

(G3) Moïi phaàn töû cuûa G ñeàu coù phaàn töû nghòch ñaûo.

Nhoùm G ñöôïc goïi laø nhoùm giao hoaùn hay nhoùm Abel neáu:

(G4)
coù tính giao hoaùn.

Ngöôøi ta thöôøng noùi nhoùm G thay vì (G,
) khi ñaõ ngaàm hieåu pheùp toaùn naøo. Qui öôùc

naøy cuõng duøng cho khaùi nieäm vaønh, tröôøng tieáp sau.

1

Trong giaùo trình naøy: neáuu = neáu vaø chæ neáu.

2

Ví duï.

a) Taäp N vôùi pheùp coäng khoâng laø nhoùm vì khoâng chöùa phaàn töû ñoái. Taäp Z, Q, R laø

nhoùm giao hoaùn vôùi pheùp coäng, nhöng khoâng laø nhoùm vôùi pheùp nhaân vì 0 khoâng coù

phaàn töû nghòch ñaûo.

b) Taäp caùc song aùnh töø moät taäp X leân chính X laø moät nhoùm vôùi pheùp hôïp aùnh xaï.

Noùi chung nhoùm naøy khoâng giao hoaùn.

1.3 Vaønh. Moät vaønh laø moät boä ba (R, +, ·), trong ñoù R laø moät taäp khoâng roãng, coøn

+ vaø · laø caùc pheùp toaùn treân R, thoaû caùc ñieàu kieän sau:

(R1) (R, +) laø moät nhoùm giao hoaùn.

(R2) Pheùp nhaân · coù tính keát hôïp.

(R3) Pheùp nhaân coù tính phaân phoái veà hai phía ñoái vôùi pheùp coäng:

x(y + z) = xy + xz vaø (y + z)x = yx + zx ∀x, y, z ∈ R

Neáu pheùp nhaân coù tính giao hoaùn thì R goïi laø vaønh giao hoaùn.

Ví duï.

a) Z, Q, R vôùi pheùp coäng vaø nhaân laø caùc vaønh giao hoaùn.

b) Zp caùc lôùp caùc soá nguyeân ñoàng dö theo moät soá p laø vaønh giao hoaùn vôùi pheùp coäng

vaø nhaân ñöôïc ñònh nghóa:

[m]+[n]=[m + n], [m][n]=[mn]

1.3 Tröôøng. Moät tröôøng laø moät vaønh giao hoaùn coù ñôn vò 1 = 0 vaø moïi phaàn töû

khaùc khoâng cuûa K ñeàu coù phaàn töû nghòch ñaûo. Moät caùch ñaày ñuû, moät tröôøng laø boä

ba (K, +, ·), trong ñoù K laø taäp khoâng roãng, + vaø · laø caùc pheùp toaùn treân K thoaû 9

ñieàu kieän sau vôùi moïi x, y, z ∈ K:

(F1) (x + y) + z = x + (y + z)

(F2) ∃0 ∈ K, x +0=0+ x = x

(F3) ∃ − x ∈ K, x + (−x) = −x + x = 0

(F4) x + y = y + x

(F5) (xy)z = x(yz)

(F6) ∃1 ∈ K, 1 = 0, x1=1x = x

(F7) Khi x = 0, ∃x−1 ∈ K, xx−1 = x−1x = 1

(F8) xy = yx

(F9) x(y + z) = xy + xz

Ví duï.

a) Vaønh (Z, +, ·) khoâng laø tröôøng. (Q, +, ·),(R, +·) laø caùc tröôøng.

b) Neáu p laø soá nguyeân toá, thì Zp laø moät tröôøng. Hôn nöõa, Zp laø taäp höõu haïn vaø vôùi

moïi [n] ∈ Zp, [n] + ··· + [n]


p laàn

= [0].

Ñaëc soá cuûa moät tröôøng K, kyù hieäu char(K), laø soá töï nhieân döông beù nhaát sao

Chöông 0. Kieán thöùc chuaån bò 3

cho 1 + ··· + 1


n laàn

= 0. Neáu khoâng coù soá töï nhieân nhö vaäy, thì K goïi laø coù ñaëc soá 0.

Ví duï. Q, R coù ñaëc soá 0, coøn Zp coù ñaëc soá p. Ta coù 1+1=0 trong Z2 !

2. Tröôøng soá phöùc

Treân tröôøng soá thöïc, khi xeùt phöông trình baäc hai ax2 + bx + c = 0 tröôøng hôïp

b2 − 4ac < 0 phöông trình voâ nghieäm vì ta khoâng theå laáy caên baäc hai soá aâm. Ñeå caùc

phöông trình nhö vaäy coù nghieäm, ta caàn theâm vaøo taäp caùc soá thöïc caùc caên baäc hai

cuûa soá aâm. Phaàn naøy ta seõ xaây döïng taäp caùc soá phöùc C laø môû roäng taäp soá thöïc R,

treân ñoù ñònh nghóa caùc pheùp toaùn coäng vaø nhaân ñeå C laø moät tröôøng. Hôn nöõa, moïi

phöông trình baäc hai, chaúng haïn x2 +1=0, ñeàu coù nghieäm trong C.

2.1 Ñònh nghóa. Ta duøng kyù hieäu i, goïi laø cô soá aûo , ñeå chæ nghieäm phöông trình

x2 +1=0, i.e. i

2 = −1. Taäp soá phöùc laø taäp daïng:

C = {z : z = a + ib, vôùi a, b ∈ R}

z = a + ib goïi laø soá phöùc, a = Rez goïi laø phaàn thöïc, b = Imz goïi laø phaàn aûo.

z1 = z2 neáuu Rez1 = Rez2, Imz1 = Imz2.

Ta xem R laø taäp con cuûa C khi ñoàng nhaát R = {z ∈ C : Imz = 0}

Töø “soá aûo” sinh ra töø vieäc ngöôøi ta khoâng hieåu chuùng khi môùi phaùt hieän ra soá phöùc.

Thöïc ra soá phöùc raát “thöïc” nhö soá thöïc vaäy.

Ví duï.

a) Soá phöùc z = −6 + i

√2 coù phaàn thöïc Rez = −6, phaàn aûo Imz = √2.

b) Ñeå giaûi phöông trình z2 + 2z +4=0, ta bieán ñoåi z2 + 2z +4=(z + 1)2 + 3.

Vaäy phöông trình töông ñöông (z + 1)2 = −3. Suy ra nghieäm z = −1 ± i

√3.

Sau ñaây laø ñònh nghóa caùc pheùp toaùn vöøa thöïc hieän.

2.2 Caùc pheùp toaùn. Treân C coù hai pheùp toaùn ñöôïc ñònh nghóa nhö sau:

Pheùp coäng. (a + ib)+(c + id)=(a + c) + i(b + d)

Pheùp nhaân. (a + ib)(c + id)=(ac − bd) + i(ad + bc)

Nhaän xeùt. Pheùp nhaân ñöôïc tính nhö nhaân caùc soá thoâng thöôøng vôùi chuù yù laø i2 = −1.

Meänh ñeà. Vôùi caùc pheùp toaùn treân C laø tröôøng soá.

Meänh ñeà treân deã suy töø ñònh nghóa vôùi chuù yù laø:

Pheùp coäng coù phaàn töû khoâng laø 0 = 0+i0, phaàn töû ñoái cuûa z = a+ib laø −z = −a−ib.

Pheùp nhaân coù phaàn töû ñôn vò laø 1 = 1+ i0, nghòch ñaûo cuûa z = a + ib = 0 laø

z−1 = 1

z = a

a2 + b2 − i

b

a2 + b2

Söï toàn taïi vaø vieäc tìm nghòch ñaûo ñöôïc thöïc hieän bôûi pheùp chia

a + ib

c + id (c + id = 0)

4

khi giaûi phöông trình a + ib = (c + id)(x + iy). Ñoàng nhaát phaàn thöïc, phaàn aûo ta coù



cx − dy = a

dx + cy = b

Vaäy a + ib

c + id = ac + bd

c2 + d2 + i

bc − ad

c2 + d2

Pheùp lieân hôïp. z = a − ib goïi laø soá phöùc lieân hôïp cuûa z = a + ib.

Tính chaát. z = z, z1 + z2 = ¯z1 + ¯z2, z1z2 = ¯z1z¯2.

Nhaän xeùt. Neáu z = a + ib, thì zz¯ = a2 + b2. Töø ñoù coù theå chia 2 soá phöùc baèng

caùch nhaân soá lieân hieäp cuûa maãu, chaúng haïn

2 − 5i

3+4i = (2 − 5i)(3 − 4i)

(3 + 4i)(3 − 4i) = 6 − 23i + 20i

2

32 − 42i2 = −14 − 23i

25

2.3 Bieåu dieãn soá phöùc. Sau ñaây laø moät soá bieåu dieãn khaùc nhau cuûa soá phöùc

✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✯

z

O ✲ x

✻

y

✻

i

a

b

r

ϕ

Daïng ñaïi soá. z = a + ib, a, b ∈ R, i2 = −1.

Daïng hình hoïc. z = (a, b), a, b ∈ R.

Trong maët phaúng ñöa vaøo heä toïa truïc Descartes vôùi 1 = (1, 0), i = (0, 1) laø 2 vector

cô sôû. Khi ñoù moãi soá phöùc z = a + ib ñöôïc bieåu dieãn bôûi vector (a, b), coøn C ñöôïc

ñoàng nhaát vôùi R2 . Trong pheùp bieåu dieãn naøy pheùp coäng soá phöùc ñöôïc bieåu thò bôûi

pheùp coäng vector hình hoïc.

Daïng löôïng giaùc. z = r(cosϕ + isinϕ)

Bieåu dieãn soá phöùc z = (a, b) trong toïa ñoä cöïc (r, ϕ), trong ñoù r laø ñoä daøi cuûa z, ϕ laø

goùc ñònh höôùng taïo bôûi 1 = (1, 0) vaø z trong maët phaúng phöùc. Ta coù:



a = r cos ϕ

b = r sin ϕ

vaø 

r = |z| = √

a2 + b2, goïi laø modul cuûa z

ϕ = Arg z, goïi laø argument cuûa z

Vaäy neáu z = 0, thì cos ϕ = a

√

a2 + b2 ,sinϕ = b

√

a2 + b2 .

Ta thaáy ϕ coù voâ soá giaù trò sai khaùc nhau k2π, k ∈ Z, trong ñoù coù moät giaù trò ϕ ∈ (−π, π]

Chöông 0. Kieán thöùc chuaån bò 5

goïi laø giaù trò chính vaø kyù hieäu laø argz. Vaäy coù theå vieát

Argz = argz + k2π, k ∈ Z.

Ví duï. z = √3 − i coù modul |z| =



(

√3)2 + (−1)2 = 2, vaø argument argz = −π

3

(suy töø tan ϕ = √−1

3 vaø Rez > 0). Vaäy √3 − i = 2(cos(−π

3 ) + isin(−π

3 )).

Moãi caùch bieåu dieãn soá phöùc coù thuaän tieän rieâng. Sau ñaây laø moät soá öùng duïng.

2.4 Meänh ñeà. |z1z2| = |z1||z2| vaø Arg(z1z2) = Argz1 + Argz2

Suy ra coâng thöùc de Moivre

(r(cosϕ + isin ϕ))n = rn(cos nϕ + isin nϕ), n ∈ N

Chöùng minh: Neáu z1 = r1(cos ϕ1 + isinϕ1), z2 = r2(cosϕ2 + isin ϕ2), thì

z1z2 = r1r2(cosϕ1 cos ϕ2 − sinϕ1 sinϕ2) + i(sinϕ1 cos ϕ2 + cosϕ1 sin ϕ2)

= r1r2(cos(ϕ1 + ϕ2) + isin(ϕ1 + ϕ2))

Suy ra |z1z2| = r1r2 = |z1||z2|, vaø Arg(z1z2) = ϕ1 + ϕ2 + 2kπ = Argz1 + Argz2.

Nhaän xeùt. Veà maët hình hoïc pheùp nhaân soá phöùc r(cos ϕ + isin ϕ) vôùi soá phöùc z

laø pheùp co daõn vector z tæ soá r vaø quay goùc ϕ. (xem hình veõ)

2.5 Caên baäc n cuûa soá phöùc. Cho z ∈ C vaø n ∈ N. Moät caên baäc n cuûa z laø

moät soá phöùc w thoaû phöông trình wn = z.

Ñeå giaûi phöông trình treân, bieåu dieãn z = r(cos ϕ + isinϕ) vaø w = ρ(cos θ + isin θ).

Töø coâng thöùc de Moivre ρn(cos(nθ) + isin(nθ)) = r(cos ϕ + isinϕ).

Suy ra



ρ = √n r (caên baäc n theo nghóa thöïc)

nθ = ϕ + 2kπ, k ∈ Z

Vaäy khi z = 0, phöông trình coù ñuùng n nghieäm phaân bieät:

wk = √n r(cos(ϕ

n

+ k

2π

n ) + isin(ϕ

n

+ k

2π

n )), k = 0, ··· , n − 1.

Khi z = 0, kyù hieäu √n z laø taäp n caên baäc n cuûa z. √0=0.

Veà maët hình hoïc chuùng laø caùc ñænh cuûa moät ña giaùc ñeàu n caïnh, noäi tieáp ñöôøng troøn

taâm 0 baùn kính √n r.

6

✟✟✟✟✟✟✯
z

O ✲

✻

✂

✂

✂

✂

✂

✂

✂

✂

✂

r(cos ϕ + i sin ϕ)z

ϕ

Nhaân r(cos ϕ + isinϕ) vôùi z wn = 1, vôùi n = 8

w0

w1

w2

w3

Ví duï.

a) Caên baäc n cuûa 1 laø n soá phöùc: 1, ωn, ··· , ωn−1 n , vôùi ωn = cos 2π

n + isin 2π

n

b) Ñeå tìm caùc gía trò cuûa √3 1 + i, ta bieåu dieãn 1 + i = √2(cos π

4 + isin π

4 ).

Suy ra √3 1 + i = 2 1

6 (cos( π

12 + 2kπ

3 ) + isin( π

12 + 2kπ

3 )), k ∈ Z.

Vaäy coù 3 giaù trò phaân bieät laø:

k = 0, w0 = 2 1

6 (cos( π

12 ) + isin( π

12 ))

k = 1, w1 = 2 1

6 (cos( 3π

4 ) + isin( 3π

4 )) = ω3w0

k = 2, w2 = 2 1

6 (cos( 17π

12 ) + isin( 17π

12 )) = ω3w0

3. Ña thöùc

3.1 Ñònh nghóa. Cho K laø moät tröôøng. Moät ña thöùc treân K laø bieåu thöùc daïng

P(X) = a0 + a1X + ··· + anXn,

trong ñoù n ∈ N, vaø ak ∈ K, k = 0, ··· , n, goïi laø heä soá baäc k cuûa P(X).

Hai ña thöùc goïi laø baèng nhau neáuu moïi heä soá cuøng baäc cuûa chuùng baèng nhau.

Neáu an = 0, thì n goïi laø baäc cuûa P(X) vaø kyù hieäu n = deg P(X), an = lcP(X).

Neáu ak = 0 vôùi moïi k, thì P(X) goïi laø ña thöùc khoâng vaø qui öôùc deg(0) = −∞.

Ta thöôøng vieát döôùi daïng toång: P(X) = n

k=0

akXk hay P = 

k

akXk laø toång voâ haïn

nhöng chæ coù höõu haïn ak = 0.

Kyù hieäu K[X] laø taäp moïi ña thöùc treân K.

3.2 Caùc pheùp toaùn treân ña thöùc. Treân K[X] coù hai pheùp toaùn coäng vaø nhaân ñònh

nghóa nhö sau:

Pheùp coäng: 

k

akXk +

k

bkXk = 

k

(ak + bk)Xk

Pheùp nhaân: (



i

aiXi

)(

j

bjXj

) = 

k

ckXk vôùi ck = a0bk + ··· + akb0 = 

i+j=k

aibj .

Meänh ñeà. K[X] laø vôùi hai pheùp toaùn treân laø moät vaønh giao hoaùn.

Baøi taäp: Chöùng minh meänh ñeà treân.

Chöông 0. Kieán thöùc chuaån bò 7

Nhaän xeùt. deg P(X)Q(X) = deg P(X) + deg Q(X), vôùi moïi P(X), Q(X) ∈ K[X].

3.3 Pheùp chia Euclid. Cho hai ña thöùc P0(X), P1(X) ∈ K[X], P1(X) = 0.

Khi ñoù toàn taïi duy nhaát caùc ña thöùc Q(X), R(X) ∈ K[X], sao cho

P0(X) = Q(X)P1(X) + R(X), deg R(X) < deg P1(X)

Ta goïi Q(X) laø thöông , R(X) laø phaàn dö cuûa pheùp chia P0(X) cho P1(X), vaø ñöôïc

xaây döïng cuï theå theo thuaät toaùn sau:

Thuaät toaùn chia Euclid.

Input: P0, P1 ∈ K[X], P1 = 0

Output: Q, R ∈ K[X], thoaû P0 = QP1 + R, deg R < deg P1.

Tröôùc heát cho R0 = P0, Q0 = 0.

Giaû söû ôû voøng laëp thöù k ta coù Qk, Rk ∈ K[X], thoaû P0 = QkP1 + Rk

Neáu nk = deg Rk − deg P1 < 0, thì ñaõ chia xong Q = Qk, R = Rk

Neáu nk = deg Rk − deg P1 > 0, thì khöû heä soá baäc cao nhaát cuûa Rk baèng caùch:

Rk+1 = Rk − lc(Rk)

lc(P1)

Xnk P1

Qk+1 = Qk +

lc(Rk)

lc(P1)

Xnk

Ta coù P0 = Qk+1P1 + Rk+1

Do deg Rk+1 < deg Rk, neân ñeán voøng laëp thöù m ≤ deg P0, ta coù deg Rm < deg P1.

Khi ñoù Q = Qm, R = Rm.

Ví duï. Thuaät toaùn chia Euclid X4 − 2X3 − 6X2 + 12X + 15 cho X3 + X2 − 4X − 4

coù theå thöïc hieän theo sô ñoà

R0 = X4 − 2X3 − 6X2 + 12X + 15 | X3 + X2 − 4X − 4

R1 = − 3X3 − 2X2 + 16X + 15 X − 3

R2 = X2 + 4X + 3

Vaäy X4 − 2X3 − 6X2 + 12X + 15 = (X3 + X2 − 4X − 4)(X − 3) + X2 + 4X + 3

Baøi taäp: Thöïc hieän pheùp chia P(X) = a0 + a1X + ··· + anXn cho X − c.

3.4 Öôùc chung lôùn nhaát. Ña thöùc P(X) ∈ K[X] goïi laø chia heát cho ña thöùc

D(X) ∈ K[X] neáuu toàn taïi ña thöùc A(X) ∈ K[X], sao cho P(X) = A(X)D(X).

Khi ñoù D(X) goïi laø moät öôùc cuûa P(X) vaø kyù hieäu D(X)|P(X).

Öôùc chung lôùn nhaát cuûa caùc ña thöùc P0(X), P1(X) ∈ K[X], laø moät ña thöùc D(X) ∈

K[X], thoaû ñieàu kieän:

D(X)|P0(X), D(X)|P1(X) vaø neáu C(X)|P0(X), C(X)|P1(X) thì C(X)|D(X)

Khi ñoù kyù hieäu D(X) = GCD(P0(X), P1(X))

Nhaän xeùt. Öôùc chung lôùn nhaát ñöôïc xaùc ñònh sai khaùc moät haèng soá tæ leä.

Nhaän xeùt. Neáu P0 = QP1 + R, thì GCD(P0, P1) = GCD(P1, R), vì öôùc chung cuûa

8

P0, P1 laø öôùc chung cuûa P1, R.

Ngoaøi ra GCD(R, 0) = R, neân öôùc chung lôùn nhaát ñöôïc xaây döïng töø daõy phaàn dö cuûa

thuaät chia Euclid, nhö sau:

Thuaät toaùn tìm GCD.

Input : P0, P1 ∈ K[X], P0, P1 = 0

Output : GCD(P0, P1) vaø U, V ∈ K[X], thoaû UP0 + V P1 = GCD(P0, P1)

Xaây döïng daõy ña thöùc khaùc khoâng (P0, P1, P2, ··· , Pm), vôùi Pk laø phaàn dö cuûa pheùp

chia Pk−2 cho Pk−1:

Pk−2 = Qk−1Pk−1 + Pk (k = 2, ··· , m − 1)

Pm−2 = Qm−1Pm−1 + Pm

Pm−1 = QmPm

Theo nhaän xeùt treân ta coù GCD(P0, P1) = GCD(Pm, 0) = Pm

Thuaät toaùn coøn cho caùc daõy ña thöùc (U0, ··· , Um) vaø (V0, ··· , Vm), thoaû

Pk = UkP0 + VkP1, (k = 0, ··· , m) (∗)

Tröôùc heát, khi k = 0, 1, ta phaûi coù U0 = 1, V0 = 0 vaø U1 = 0, V1 = 1. Sau ñoù ñeä qui

Uk = Uk−2 − Qk−1Uk−1 vaø Vk = Vk−2 − Qk−1Vk−1 (k = 2, ··· m)

Ta kieåm tra daõy thoaû (∗) baèng qui naïp. Giaû söû (∗) ñuùng ñeán k − 1. Khi ñoù

Pk = Pk−2 − Qk−1Pk−1

= (Uk−2P0 + Vk−2P1) − Qk−1(Uk−1P0 + Vk−1P1)

= (Uk−2 − Qk−1)P0 + (Vk−2 − Qk−1Vk−1)P1

= UkP0 + VkP1

Khi U = Um, V = Vm ta coù UP0 + V P1 = Pm = GCD(P0, P1). Vaäy ta coù:

Ñaúng thöùc Beùzout. Cho P0(X), P1(X) ∈ K[X]. Khi ñoù toàn taïi U(X), V (X) ∈ K[X]

sao cho

GCD(P0(X), P1(X)) = U(X)P0(X) + V (X)P2(X)

Ví duï. Vôùi P0(X) = X4 − 2X3 − 6X2 + 12X + 15 vaø P1(X) = X3 + X2 − 4X − 4,

caùc böôùc cuûa thuaät toaùn treân ñöôïc theå hieän qua baûng sau

k Pk−2 Pk−1 Qk−1 Pk

2 X4 − 2X3 − 6X2 + 12X + 15 X3 + X2 − 4X − 4 X − 3 X2 + 4X + 3

3 X3 + X2 − 4X − 4 X2 + 4X + 3 X − 3 5X + 5

4 X2 + 4X + 3 5X + 5 1

5X + 3

5 0

5 5X + 5 0

U0 = 1, U1 = 0, U2 = 1, U3 = −X + 3, U4 = 1

5X2 − 4

5 , U5 = −X + 3

V0 = 0, V1 = 1, V2 = −X+3, V3 = X2−6X+10, V4 = −1

5

X3+

3

5

X2+

3

5

X−3, V5 = X2−6X+10

Chöông 0. Kieán thöùc chuaån bò 9

Vaäy GCD(P0, P1)=5X + 5 vaø (−X + 3)P +0+(X2 − 6X + 10)P1 = 5X + 5.

3.5 Nghieäm - Boäi. Cho ña thöùc P(X) = a0 + a1X + ··· + anXn ∈ K[X].

Giaù trò cuûa P(X) taïi c ∈ K ñònh nghóa laø P(c) = a0 + a1c + ··· + ancn.

Nhaän xeùt. Ñeå duøng ít pheùp toaùn khi tính P(c), ta coù qui taéc Horner sau

P(c)=(···((anc + an−1)c + an−1)c + ··· + a1)c + a0

Neáu P(c)=0, thì c goïi laø moät nghieäm cuûa P(X).

Ñònh lyù Beùzout. c ∈ K laø nghieäm cuûa ña thöùc P(X) khi vaø chæ khi toàn taïi ña

thöùc Q(X) ∈ K[X], sao cho P(X)=(X − c)Q(X)

Chöùng minh: Theo pheùp chia Euclid P(X)=(X − c)Q(X) + r, vôùi r ∈ K.

Suy ra P(c) = r. Vaäy P(c)=0 khi vaø chæ khi r = 0 hay P(X)=(X − c)Q(X).

Nhaän xeùt. Theo ñònh lyù treân, soá nghieäm cuûa moät ña thöùc baäc n laø khoâng quaù n.

Phaàn töû c ∈ K goïi laø nghieäm boäi m cuûa P(X) neáuu P(X)=(X − c)mP1(X),

vôùi P1(X) ∈ K[X] vaø P1(c) = 0, i.e. P(X) chia heát cho (X − c)m, nhöng khoâng

chia heát cho (X − c)m+1

3.6 Ña thöùc treân tröôøng phöùc. Ta coâng nhaän ñònh lyù sau

Ñònh lyù cô baûn cuûa ñaïi soá. Moïi ña thöùc baäc > 0 treân tröôøng phöùc ñeàu coù nghieäm phöùc.

Meänh ñeà. Moïi ña thöùc phöùc P(X) ∈ C[X], baäc n ñeàu coù n nghieäm phöùc keå caû

boäi, i.e. toàn taïi caùc soá phöùc c1, ··· , cs ∈ C, khaùc nhau, sao cho

P(X) = an(X − c1)

m1 ···(X − cs)

ms

trong ñoù an laø heä soá baäc n cuûa P(X), m1 + ··· + ms = n

Chöùng minh: Theo ñònh lyù treân, neáu n > 0, P(X) coù nghieäm c1 ∈ C. Theo ñònh lyù

Beùzout P(X)=(X − c1)P1(X). Neáu deg P1 = n − 1 > 0, thì laëp lyù luaän treân cho

P := P1. Khi ñeán baäc 0, ta coù P(X)=(X − c1)···(X − cn)A, vôùi A laø soá. Ñoàng

nhaát heä soá baäc cao nhaát cuûa ña thöùc 2 veá, ta coù an = A.

3.7 Ña thöùc treân tröôøng thöïc.

Meänh ñeà. Cho ña thöùc thöïc P(X) ∈ R[X]. Khi ñoù

(i) Neáu c ∈ C laø nghieäm cuûa P(X), thì soá phöùc lieân hôïp c¯ cuõng laø nghieäm cuûa P(X).

(ii) Neáu n = deg P(X), thì P(X) coù phaân tích thaønh thöøa soá baäc 1 hay baäc 2 nhö sau

P(X) = an(X − c1)

m1 ···(X − cr)

mr (X2 + p1X + q1)

n1 ···(X2 + psX + qs)

ns

trong ñoù an laø heä soá baäc n cuûa P(X), cj (j = 1, ··· r) laø caùc nghieäm thöïc cuûa P(X),

X2 + pkX + qk (k = 1, ··· , s) laø caùc tam thöùc baäc hai khoâng coù nghieäm thöïc.

10

(iii) Neáu n = deg P(X) laø leû, thì P(X) coù nghieäm thöïc.

Chöùng minh:

(i) Giaû söû P(X) = a0 + a1X + ··· + anXn ∈ R[X]. Khi ñoù vôùi moïi c ∈ C, ta coù

P(c) = a0 + a1c + ··· + ancn = a0 + a1c¯+ ··· + anc¯n = P(¯c)

(ñeå yù laø ak ∈ R neân ak = ak, vaø lieân hôïp cuûa toång (tích) laø toång (tích) lieân hôïp)

Vaäy P(c)=0 khi vaø chæ khi P(¯c)=0. Suy ra (i).

(ii) Cho c = a + ib ∈ C. Khi ñoù

(X − c)(X − c¯) = X2 − (c + ¯c)X + cc¯ = X2 − 2aX + (a2 + b2)

laø ña thöùc coù heä soá thöïc daïng (X −a)2 +b2, neân voâ nghieäm khi b = 0, i.e. khi c ∈ R.

Vôùi nhaän xeùt treân vaø ñònh lyù phaân tích ña thöùc treân tröôøng phöùc ta coù (ii).

(iii) Theo (ii) neáu deg P(X) = n leû, thì P(X) phaûi coù moät thöøa soá (X −c), vôùi c ∈ R,

i.e. coù nghieäm thöïc c.

3.8 Tìm nghieäm ña thöùc baèng pheùp khai caên. Phaàn naøy ñeà caäp ñeán vieäc giaûi

tìm nghieäm ña thöùc phöùc.

Phöông trình baäc 2: ax2 + bx + c =0 (a
= 0)

Chia cho a: x2 +

b

a

x +

c

a

= 0

Tònh tieán ñeå khöû soá haïng baäc 1: X = x+

b

2a

, phöông trình coù daïng X2− b2 − 4ac

(2a)2 = 0

Tìm r laø moät caên baäc 2 cuûa b2 − 4ac. Suy ra X = ±

r

2a

. Vaäy x = −b ± r

2a

Phöông trình baäc 3: ax3 + bx2 + cx + d =0 (a
= 0)

Chia cho a: x3 +

b

a

x2 +

c

a

x +

d

a

= 0

Tònh tieán ñeå khöû soá haïng baäc 2: X = x+

b

3a

, phöông trình coù daïng X2 +pX +q = 0

Vieäc giaûi phöông trình X2 + pX + q = 0, nhö sau:

Ñaët X = u + v, phöông trình coù daïng u3 + v3 + (3uv + p)(u + v) + q = 0.

Ta caàn tìm u, v thoûa heä phöông trình:

 u3 + v3 = −q

uv = −p

3

Ñaët U = u3, V = v3. Ta coù U + V = −q,UV = p3

27.

Vaäy U, V laø nghieäm phöông trình X2 + qX − p3

27 = 0. Giaûi tìm nghieäm U0, V0.

Giaûi u3 = U0, ta coù 3 nghieäm u0, ju0, j2u0, vôùi j = cos(2π

3 ) + isin(2π

3 ).

Giaûi v3 = V0, tìm nghieäm v0 thoaû phöông trình thöù hai cuûa heä u0v0 = −p

3

.

Vaäy coù 3 nghieäm cuûa heä laø (u0, v0), (ju0, j2v0), (j2u0, jv0)

Chöông 0. Kieán thöùc chuaån bò 11

Vaäy 3 nghieäm caàn tìm: X1 = u0 + v0, X2 = ju0 + j2v0, X3 = j2u0 + jv0

Caùc tính toaùn treân ñöôïc toång keát baèng coâng thöùc Cardano:

x = − b

3a

+ 3



−q

2 +

q2

4 + p3

27 + 3



−q

2 −

q2

4 + p3

27

Nhaän xeùt. Trong thöïc haønh coâng thöùc treân laø voâ duïng. Chaúng haïn, coâng thöùc treân

ñoái vôùi x3 − 21x + 20 = 0 (coù caùc nghieäm laø 1, 4, −5):

x = 3



−10 + i

√

243 + 3



−10 − i

√

243 =???

Baøi taäp: Giaûi caùc phöông trình; x3 − 15x − 4=0, −2x3 + 18x2 − 42x + 10 = 0.

Phöông trình baäc 4: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e =0 (a
= 0)

Chia cho a, roài tònh tieán ñeå khöû soá haïng baäc 3, ñaët X = x +

b

4a

, ñöa veà giaûi phöông

trình:

X4 + pX2 + qX + r = 0

Phaân tích: X4 + pX2 + qX + r = (X2 + αX + β)(X2 − αX + γ)

Ñoàng nhaát heä soá, ta coù α, β, γ laø nghieäm cuûa heä:







β + γ = p + α2

βγ = r

γ − β = q

α

Töø ñoù α2 laø nghieäm phöông trình baäc 3: α2(p + α2)2 − 4rα2 − q = 0

Giaûi ta coù α, β, γ. Thay vaøo phöông trình tích, roài giaûi phöông trình baäc 2 ta coù caùc

nghieäm X1, X2, X3, X4

Baøi taäp: Giaûi phöông trình: x4 + 2x3 + 5x2 + 6x +9=0

Phöông trình baäc ≥ 5. Abel (1802-1829) ñaõ chöùng minh khoâng theå giaûi moät phöông

trình ña thöùc baäc ≥ 5 toång quaùt, theo nghóa khoâng theå bieåu dieãn nghieäm nhö laø bieåu

thöùc goàm caùc pheùp toaùn ñaïi soá (coäng, tröø, nhaân, chia) vaø caên soá (baäc 2, 3, ···) cuûa

caùc heä soá cuûa ña thöùc. Sau ñoù Galois (1811-1832) duøng lyù thuyeát nhoùm ñaõ tìm ñöôïc

tieâu chuaån ñeå moät phöông trình baäc ≥ 5 cuï theå coù giaûi ñöôïc baèng caên thöùc khoâng. Ví

duï phöông trình x5 − x − 1=0 khoâng giaûi ñöôïc baèng caên thöùc

Tìm nghieäm höõu tæ cuûa phöông trình heä soá nguyeân. Cho moät ña thöùc coù heä soá

nguyeân

P(X) = a0 + a1X + ··· + anXn ak ∈ Z, k = 0, ··· , n, an = 0

Khi ñoù neáu moät soá höõu tæ p

q

, vôùi gcd(p, q)=1, laø nghieäm cuûa P(X), thì p laø öôùc soá

cuûa a0 vaø q laø öôùc soá cuûa an.

12

Chöùng minh: Neáu p

q

laø nghieäm cuûa P(X), thì töø P(

p

q

)=0, ta coù

a0qn + a1qn−1p + ··· + an−1qpn−1 + anpn = 0

Do gcd(p, q)=1, töø ñaúng thöùc treân deã suy ta p laø öôùc soá cuûa a0, q laø öôùc cuûa an.

Baøi taäp: Tìm caùc nghieäm höõu tæ cuûa phöông trình: 3x4 + 5x3 + x2 + 5x − 2=0

3.9 Phaân thöùc. Moät phaân thöùc treân K laø moät bieåu thöùc daïng

P(X)

Q(X)

, trong ñoù P(X), Q(X) ∈ K[X], Q(X) = 0

Hai phaân thöùc baèng nhau: P(X)

Q(X) = P1(X)

Q1(X) ⇔ P(X)Q1(X) = P1(X)Q(X).

Ñònh lyù. Cho P(X), Q(X) ∈ K[X]. Giaû söû Q(X) = Q1(X)k1 ··· Qs(X)ks ,

vôùi Q1(X), ··· , Qs(X) ∈ K[X] thoaû ñieàu kieän GCD(Qi(X), Qj (X)) = 1, neáu i = j.

Khi ñoù toàn taïi duy nhaát caùc ña thöùc A(X), Pij (X) ∈ K[X], i = 1, ··· , s, j = 1, ··· , ki,

sao cho deg Pij (X) < deg Qi(X) vaø

P(X)

Q(X) = A(X) + s

i=1





ki

j=1

Pij (X)

Qi(X)j





Chöùng minh: Söï toàn taïi: Neáu deg P < deg Q vaø Q = D1D2, vôùi GCD(D1, D2)=1,

thì theo ñaúng thöùc Beùzout ta coù

1 = U1D1 + U2D2, U1, U2 ∈ K[X]

Suy ra P = P U1D1 +P U2D2. Chia Euclid, ta coù P U1 = AD2 +V2, deg V2 < deg D2.

Vaäy P = V2D1 + V1D2, vôùi V1 = AD1 + P U2. Do deg P < deg Q, deg V2 < deg D2,

ta coù deg V1 < deg D1. Suy ra ta coù bieåu dieãn

P

Q = V1

D1

+

V2

D2

, vôùi deg V1 < deg D1, deg V2 < deg D2

Tröôøng hôïp toång quaùt, tröôùc heát chia Euclid P cho Q ta coù thöông laø A. Sau ñoù aùp

duïng bieåu dieãn treân cho D1 = Qk1

1 , D2 = Qk2

2 ··· Qks

s . Tieáp tuïc aùp duïng bieåu dieãn

treân cho Q = Qk2

2 ··· Qks

s . Sau höõu haïn böôùc ta coù phaân tích

P

Q = A + s

i=1





ki

j=1

Pij

Qj

i



 , vôùi deg Pij < deg Qi

Tính duy nhaát: Giaû söû coù caùc ña thöùc khaùc A

, P

ij ∈ K[X], sao cho

P

Q = A
+s

i=1





ki

j=1

P

ij

Qj

i



 , vôùi deg P

ij < deg Qi