Đa thức thuận nghịch bất khả quy

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

---------------------------

ĐÀO ĐÌNH ĐÌNH

ĐA THỨC THUẬN NGHỊCH BẤT KHẢ QUY

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. NGÔ VĂN ĐỊNH

THÁI NGUYÊN - 2021

Mục lục

Mở đầu 1

1 Kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Vành đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Đa thức bất khả quy trên Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Tiêu chuẩn Eisenstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Đa thức chia đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5 Đa thức Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Đa thức thuận nghịch bất khả quy 10

2.1 Định nghĩa đa thức thuận nghịch . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Tính chất của đa thức thuận nghịch . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 Phương pháp thế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 Tính chất số học của ánh xạ thuận nghịch . . . . . . . . . . . 22

3 Tiêu chuẩn bất khả quy cho đa thức thuận nghịch 25

3.1 Tiêu chuẩn bất khả quy trên Q . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2 Tiêu chuẩn của đa thức thuận nghịch bất khả quy . . . . . . . 29

Kết luận 33

Tài liệu tham khảo 34

1

LỜI MỞ ĐẦU

Trong lý thuyết đa thức, đa thức bất khả quy đóng vai trò quan trọng

giống như vai trò của số nguyên tố trong tập số nguyên. Đa thức thuận

nghịch bất khả quy là một chủ đề rất hay nói về đa thức. Việc nghiên cứu

tính bất khả quy của đa thức trong Q là một lĩnh vực nghiên cứu được thành

lập đòi hỏi các khái niệm và công cụ khác nhau từ nhiều lĩnh vực. Đa thức

f(x) ∈ F(x) được gọi là bất khả quy nếu deg[f(x)] > 0 và f(x) không phân

tích được thành tích của hai đa thức có bậc bé hơn.

Cho f ∈ Q[t] là một đa thức bậc n. Đa thức f được gọi là thuận nghịch nếu

f(t) = t

n

f



1

t



Mục đích của đề tài là nghiên cứu và trình bày lại một cách chi tiết các kết

quả về tiêu chuẩn bất khả quy cho các đa thức thuận nghịch và mối liên hệ

giữa đa thức thuận nghịch và đa thức bất khả quy trên Q. Nội dung luận văn

được viết dựa theo bài báo của hai tác giả Antonio Cafure và Eda Cesaratto

đã công bố trên tạp chí The Mathematical Association of America vào tháng

1 năm 2017.

Luận văn gồm 3 chương. Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ sở về

vành đa thức, đa thức bất khả quy trên Q, tiêu chuẩn Eisenstein, đa thức chia

đường tròn, đa thức Chebyshev. Chương 2 trình bày về đa thức thuận nghịch

bất khả quy, trong đó có định nghĩa, tính chất của đa thức thuận nghịch bất

khả quy, phương pháp thế được sử dụng trong đa thức thuận nghịch bất

khả quy, tính chất số học của ánh xạ thuận nghịch. Trong Chương 3 trình

bày một số tiêu chuẩn bất khả quy trên Q, và tiêu chuẩn của đa thức thuận

nghịch bất khả quy.

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học- Đại học Thái