đa thức duy nhât và bi-urs kieu (1,n) cho hàm phân hình trên trường không acsimet

BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO

TRƯỜNG ðẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

---------- oOo ----------

ðặng Tuấn Hiệp

ðA THỨC DUY NHẤT VÀ BI-URS

KIỂU (1,N) CHO HÀM PHÂN HÌNH

TRÊN TRƯỜNG KHÔNG ACSIMET

Chuyên ngành: ðại số và lý thuyết số

Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. NGUYỄN TRỌNG HÒA

Thành phố Hồ Chí Minh – 2009

2

Môû ñaàu

Mo‰t trong ca˘c va·n Òe‡ quan troÔng cu˚a ly˘ thuye·t ha¯m gia˚i tÌch la¯ nghie‚n

cˆ˘u ca˘c kho‚ng ÒieÂm va¯ ÒieÂm ky¯ dÚ. Theo hˆÙ˘ng na¯y, va¯o nhˆıng naÍm 20 cu˚a

the· ky˚ XX, R. Nevanlinna Òaı co‚ng bo· ca˘c co‚ng trÏnh nghie‚n cˆ˘u ma¯ nga¯y

nay ÒˆÙÔc xem la¯ mo‰t trong nhˆıng tha¯nh tˆÔu ÒeÔp Òeı va¯ sa‚u saÈc nha·t cu˚a

toa˘n hoÔc: Ly˘ thuye·t Nevanlinna. No‰i dung chÌnh cu˚a ly˘ thuye·t Nevanlinna

la¯ hai ÒÚnh ly˘ cÙ ba˚n: ÒÚnh ly˘ cÙ ba˚n thˆ˘ nha·t la¯ mo‰t tˆÙng tˆÔ sie‚u vie‰t

cu˚a ÒÚnh ly˘ cÙ ba˚n cu˚a ÒaÔi so·, ÒÚnh ly˘ cÙ ba˚n thˆ˘ hai la¯ mÙ˚ ro‰ng cu˚a ÒÚnh

ly˘ Picard. Ga‡n 60 naÍm sau, P. Vojta Òaı pha˘t hie‰n ra ba˚n dÚch cu˚a ly˘ thuye·t

Nevanlinna trong so· hoÔc: ÒÚnh ly˘ Roth. Pha˘t hie‰n na¯y Òaı giu˘p P. Vojta Òe‡

ra gia˚ thuye·t toÂng qua˘t ve‡ ly˘ thuye·t Nevanlinna so· hoÔc ma¯ mo‰t trong ca˘c

he‰ qua˚ la¯ ÒÚnh ly˘ Fermat tie‰m ca‰n. SˆÔ tˆÙng tˆÔ giˆıa ly˘ thuye·t Nevanlinna

va¯ xa·p xy˚ Diophant Òaı cho mo‰t co‚ng cuÔ mÙ˘i Òe nghie‚n cˆ˘u ca˘c va·n Òe‡ cu˚a

so· hoÔc: chÊ ca‡n tÏm ra tˆ¯ ÒieÂn thÌch hÙÔp, co˘ the phie‚n dÚch ca˘c ke·t qua˚ cu˚a

ly˘ thuye·t Nevanlinna tha¯nh ca˘c ke·t qua˚ so· hoÔc. Ly˘ thuye·t Nevanlinna cuıng

cho mo‰t sˆÔ tˆÙng tˆÔ giˆıa so· ÒaÔi so· va¯ ha¯m pha‚n hÏnh. Ne·u xe˘t tre‚n trˆÙ¯ng

cÙ sÙ˚ la¯ trˆÙ¯ng kho‚ng Acsimet, ma¯ trˆÙ¯ng ca˘c so· phˆ˘c p-adic la¯ mo‰t vÌ duÔ,

chu˘ng ta co˘ ly˘ thuye·t Nevanlinna p-adic, ÒˆÙÔc xa‚y dˆÔng va¯ pha˘t trieÂn bÙ˚i

Ha¯ Huy Khoa˘i, MÓ Vinh Quang, Mai VaÍn Tˆ, W. Cherry, P. C. Hu, C. C.

Yang, A. Escassut, A. Boutabaa, .... Gia˚ thuye·t noÂi tie·ng cu˚a W. Cherry chÊ ra

co˘ sˆÔ tˆÙng tˆÔ giˆıa trˆÙ¯ng so· phˆ˘c va¯ trˆÙ¯ng p-adic: "Moïi keát quaû ñuùng cho

ña thöùc (hoaëc haøm höõu tyû) treân C thì cuõng ñuùng cho haøm nguyeân (haøm phaân

hình, töông öùng) treân Cp, tröø nhöõng keát quaû hieån nhieân sai", nghÛa la¯ to‡n taÔi

mo‰t ba˚n dÚch tˆ¯ trˆÙ¯ng so· phˆ˘c C sang trˆÙ¯ng kho‚ng Acsimet K. —a‚y la¯

va·n Òe‡ Òaı va¯ Òang nha‰n ÒˆÙÔc sˆÔ quan ta‚m cu˚a nhie‡u nha¯ toa˘n hoÔc tre‚n the·

giÙ˘i.

NaÍm 1926, R. Nevanlinna Òaı chˆ˘ng minh: ha¯m pha‚n hÏnh tre‚n C xa˘c

ÒÚnh mo‰t ca˘ch duy nha·t bÙ˚i a˚nh ngˆÙÔc, kho‚ng tÌnh bo‰i cu˚a naÍm gia˘ trÚ pha‚n

bie‰t. —Únh ly˘ naÍm ÒieÂm cu˚a Nevanlinna suy ra raËng hai ha¯m nguye‚n kha˘c

haËng chung nhau bo·n gia˘ trÚ hˆıu haÔn pha˚i tru¯ng nhau (ta no˘i raËng hai ha¯m

3

f va¯ g chung nhau gia˘ trÚ a ne·u f−1(a) = g−1(a)). Ke·t qua˚ na¯y kho‚ng theÂ

to·t hÙn, vÏ hai ha¯m ez va¯ e−z chung nhau taÔi 0, 1, −1. Sau Òo˘, Polya chÊ ra,

ne·u hai ha¯m pha‚n hÏnh f va¯ g chung nhau bo·n gia˘ trÚ pha‚n bie‰t, ke ca˚ bo‰i,

thÏ g la¯ bie·n ÒoÂi Mobius cu˚a f, nghÛa la¯ g = af + b

cf + d vÙ˘i ca˘c haËng so· a, b, c, d

tho˚a maın (c, d) 6= (0, 0).

Ly˘ thuye·t ve‡ ta‰p xa˘c ÒÚnh duy nha·t cu˚a ca˘c ha¯m pha‚n hÏnh ÒˆÙÔc F.

Gross ne‚u ra mo‰t ca˘ch tˆÔ nhie‚n: Lie‰u chÊ xe˘t nghÚch a˚nh cu˚a mo‰t ta‰p con

S ma¯ kho‚ng pha˚i la¯ nghÚch a˚nh cu˚a tˆ¯ng pha‡n tˆ˚, chu˘ng ta co˘ the nha‰n

ÒˆÙÔc ca˘c ke·t qua˚ tˆÙng tˆÔ ÒÚnh ly˘ naÍm ÒieÂm Nevanlinna hay kho‚ng? Tˆ˘c

la¯ co˘ to‡n taÔi hay kho‚ng ta‰p S Òe vÙ˘i ba·t ky¯ ca˘c ha¯m pha‚n hÏnh f,g tho˚a

maın f−1(S) = g−1(S) ke˘o theo f = g?

Ky˘ hie‰u W la¯ trˆÙ¯ng so· phˆ˘c C hoaÎc trˆÙ¯ng K Òo˘ng ÒaÔi so·, ÒaÎc so·

kho‚ng, Òa‡y Òu˚ vÙ˘i chuaÂn kho‚ng Acsimet, A(W) la¯ va¯nh ca˘c ha¯m chÊnh

hÏnh tre‚n W, M(W) la¯ trˆÙ¯ng ca˘c ha¯m pha‚n hÏnh tre‚n W. Gia˚ sˆ˚ S la¯ ta‰p

con kho‚ng ro„ng cu˚a cW = W ∪ {∞}, F la¯ mo‰t hoÔ na¯o Òo˘ ca˘c ha¯m xa˘c ÒÚnh

tre‚n W la·y gia˘ trÚ tre‚n cW, f ∈ F. —aÎt

Ef (S) = [

a∈S

{(z,m) ∈ W × N|z la¯ kho‚ng ÒieÂm bo‰i m cu˚a f − a},

Ef (S) = [

a∈S

{z ∈ W|z la¯ kho‚ng ÒieÂm cu˚a f − a}.

Hai ha¯m pha‚n hÏnh f,g ÒˆÙÔc goÔi la¯ chung nhau S, tính caû boäi (tˆÙng ˆ˘ng,

khoâng tính boäi) ne·u Ef (S) = Eg(S) (tˆÙng ˆ˘ng, Ef (S) = Eg(S)). Ta‰p S ÒˆÙÔc

goÔi la¯ taäp xaùc ñònh duy nhaát (tˆÙng ˆ˘ng, taäp xaùc ñònh duy nhaát khoâng tính boäi)

cho hoÔ ca˘c ha¯m F, kÌ hie‰u la¯ URS (tˆÙng ˆ˘ng, URSIM), ne·u vÙ˘i moÔi ha¯m

f,g ∈ F tho˚a maın Ef (S) = Eg(S) (tˆÙng ˆ˘ng, Ef (S) = Eg(S)) thÏ f = g.

Gia˚ sˆ˚ B = {a1, a2,...,an} la¯ ta‰p hˆıu haÔn, chu˘ng ta goÔi PB(z) =

(z − a1)(z − a2)...(z − an) la¯ ña thöùc lieân keát vÙ˘i ta‰p hÙÔp B. Trong [13], C.

C. Yang - P. Li Òaı ne‚u kha˘i nie‰m sau.

Ñònh nghóa. —a thˆ˘c P(z) ∈ W[z] ÒˆÙÔc goÔi la¯ ña thöùc duy nhaát maïnh

cho hoÔ ca˘c ha¯m F ne·u vÙ˘i moÔi ha¯m f,g ∈ F va¯ haËng so· c 6= 0 na¯o Òo˘ tho˚a

maın P(f) = cP(g) thÏ c = 1 va¯ f = g. TˆÙng tˆÔ, Òa thˆ˘c P(z) ∈ W[z] ÒˆÙÔc

goÔi la¯ ña thöùc duy nhaát cho hoÔ ca˘c ha¯m F ne·u vÙ˘i moÔi ha¯m f,g ∈ F tho˚a

4

maın P(f) = P(g) thÏ f = g.

Tˆ¯ ca˘c ÒÚnh nghÛa cu˚a URS va¯ Òa thˆ˘c duy nha·t ta tha·y raËng co˘ mo‰t

mo·i quan he‰ chaÎt cheı giˆıa chu˘ng. Cho ta‰p S la¯ URS cho ca˘c ha¯m pha‚n hÏnh,

chu˘ng ta xa‚y dˆÔng mo‰t Òa thˆ˘c P(z) kho‚ng co˘ nghie‰m bo‰i va¯ nha‰n S la¯m

ta‰p nghie‰m. Khi Òo˘ Òie‡u kie‰n Ef (S) = Eg(S) co˘ nghÛa la¯ P(f) va¯ P(g) co˘

cu¯ng kho‚ng ÒieÂm vÙ˘i cu¯ng bo‰i, Òie‡u na¯y ye·u hÙn Òie‡u kie‰n P(f) = cP(g).

NghÛa la¯, ne·u S la¯ URS cho ca˘c ha¯m pha‚n hÏnh thÏ Òa thˆ˘c P lie‚n ke·t

vÙ˘i S cuıng la¯ Òa thˆ˘c duy nha·t maÔnh cho ca˘c ha¯m pha‚n hÏnh. VÏ va‰y ÒeÂ

nghie‚n cˆ˘u URS cho ca˘c ha¯m pha‚n hÏnh ta nghie‚n cˆ˘u ca˘c Òa thˆ˘c duy nha·t.

Khi xem xe˘t sˆÔ xa˘c ÒÚnh cu˚a ha¯m pha‚n hÏnh tho‚ng qua a˚nh ngˆÙÔc

cu˚a mo‰t ta‰p hÙÔp ta gaÎp ra·t nhie‡u kho˘ khaÍn Òe gia˚m so· ÒieÂm cu˚a ta‰p hÙÔp

Òo˘. Cho Òe·n nay, chˆa co˘ phˆÙng pha˘p na¯o Òe tÏm URS cho ca˘c ha¯m pha‚n

hÏnh phˆ˘c (tˆÙng ˆ˘ng, p-adic) co˘ so· pha‡n tˆ˚ be˘ hÙn 11 (tˆÙng ˆ˘ng, 10). VÏ

va‰y co˘ mo‰t va·n Òe‡ ÒˆÙÔc ÒaÎt ra la¯ xem xe˘t sˆÔ xa˘c ÒÚnh cu˚a ca˘c ha¯m pha‚n

hÏnh tho‚ng qua a˚nh ngˆÙÔc cu˚a nhie‡u hÙn mo‰t ta‰p hÙÔp.

Ñònh nghóa. ([3]) Gia˚ sˆ˚ S, T la¯ ca˘c ta‰p con trong cW = W ∪ {∞} sao

cho S∩T = ∅. Khi Òo˘ caÎp (S, T) ÒˆÙÔc goÔi la¯ bi-URS cho F ne·u vÙ˘i hai ha¯m

kha˘c haËng so· f,g ∈ F tho˚a maın Ef (S) = Eg(S) va¯ Ef (T) = Eg(T) thÏ f = g.

NaÍm 1996, P. Li va¯ C. C. Yang ([12]) Òaı chˆ˘ng minh raËng tre‚n C to‡n

taÔi bi-URS kieÂu (1, n) cho ha¯m pha‚n hÏnh co˘ daÔng ({∞}, S) vÙ˘i #S ≥ 15.

Tre‚n trˆÙ¯ng K kho‚ng Acsimet, naÍm 1971, W. W. Adams va¯ E. G. Straus Òaı

chÊ ra: vÙ˘i moÔi a 6= b ∈ K, caÎp ({a}, {b}) la¯ bi-URS cho ha¯m nguye‚n. NaÍm

1998, A. Boutabaa va¯ A. Escassut ([4]), baËng ca˘c ˆÙ˘c lˆÙÔng phu¯ hÙÔp cho Òa

thˆ˘c P(z) = zn − azm + 1, Òaı chÊ ra: vÙ˘i moÔi n ≥ 5 va¯ ω ∈ K ∪ {∞},

to‡n taÔi bi-URS cho M(K) co˘ daÔng ({ω}, {z1, z2,...,zn}). Tie·p theo, trong

[6], ca˘c ta˘c gia˚ Òaı chˆ˘ng minh kho‚ng to‡n taÔi bi-URS cho M(K) co˘ daÔng

({ω}, {z1, z2, z3}). Sau Òo˘, Òe·n naÍm 2001, baËng ca˘ch sˆ˚ duÔng ca˘c ˆÙ˘c lˆÙÔng

ha¯m Nevanlinna, Ha¯ Huy Khoa˘i va¯ TaÔ ThÚ Hoa¯i An ([9]) Òaı chÊ ra sˆÔ to‡n

taÔi cu˚a bi-URS cho M(K) co˘ daÔng ({ω}, {z1, z2, z3, z4}). Nhˆ va‰y, va·n Òe‡

to‡n taÔi bi-URS cho M(K) kieÂu (1, n) Òaı ÒˆÙÔc gia˚i quye·t troÔn veÔn va¯ n = 4

la¯ so· to·t nha·t co˘ theÂ.

Ga‡n Òa‚y, baËng ca˘ch sˆ˚ duÔng co‚ng cuÔ cu˚a HÏnh hoÔc ÒaÔi so·, xa‚y dˆÔng

ca˘c Òa thˆ˘c lie‚n ke·t va¯ xe˘t tÌnh hyperbolic cu˚a ca˘c ÒˆÙ¯ng cong tˆÙng ˆ˘ng,