Đa tạp quán tính đối với các phương trình vi phân có phần tuyến tính là toán tử quạt

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

BÙI XUÂN QUANG

ĐA TẠP QUÁN TÍNH

ĐỐI VỚI CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

CÓ PHẦN TUYẾN TÍNH LÀ TOÁN TỬ QUẠT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

BÙI XUÂN QUANG

ĐA TẠP QUÁN TÍNH

ĐỐI VỚI CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

CÓ PHẦN TUYẾN TÍNH LÀ TOÁN TỬ QUẠT

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. NGUYỄN THIỆU HUY

Thái Nguyên - 2015

i

Mục lục

Lời cam đoan iii

Tóm tắt nội dung iv

Lời cảm ơn v

Danh sách kí hiệu vi

Mở đầu 1

1 Toán tử quạt, Không gian hàm chấp nhận được và Đa tạp quán tính 7

1.1 Toán tử quạt - Nửa nhóm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1 Toán tử quạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.2 Lũy thừa bậc phân số của toán tử quạt . . . . . . . . . . . . 14

1.1.3 Đánh giá nhị phân của nửa nhóm giải tích . . . . . . . . . . 15

1.2 Hàm Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3 Không gian hàm chấp nhận được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4 Đa tạp quán tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.5 Kết luận Chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2 Đa tạp quán tính đối với các phương trình tương ứng với

toán tử tự liên hợp có giải thức compact 25

2.1 Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2 Đa tạp quán tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3 Áp dụng vào mô hình Fisher-Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4 Kết luận Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

ii

3 Đa tạp quán tính đối với các phương trình tương ứng với

toán tử quạt có kẽ hở phổ 37

3.1 Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2 Đa tạp quán tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3 Kết luận Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Kết luận và Đề nghị 50

Danh mục các công trình khoa học liên quan đến luận văn 51

Tài liệu tham khảo 52

Chỉ mục 55

iii

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan những kết quả nghiên cứu viết trong luận văn là của tôi. Các

kết quả trong luận văn là mới và chưa từng được ai công bố trong bất cứ một công

trình nào khác mà tôi biết.

Thái Nguyên, ngày 01 tháng 4 năm 2015

Học viên

Bùi Xuân Quang

iv

Tóm tắt nội dung

Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của các

phương trình tiến hóa thông qua sự tồn tại của một đa tạp quán tính. Cụ thể, sử dụng

phương pháp Lyapunov-Perron và các đánh giá nhị phân kết hợp với tính chấp nhận

được của không gian hàm, chúng tôi chứng minh sự tồn tại của đa tạp quán tính đối

với các phương trình tiến hóa nửa tuyến tính có dạng

du(t)

dt + Au(t) = f(t, u(t)), t > s, u(s) = us, s ∈ R,

trong đó toán tử đạo hàm riêng tuyến tính −A là toán tử quạt trong một không gian

Banach có kẽ hở phổ đủ lớn sinh ra nửa nhóm giải tích và số hạng phi tuyến f thỏa

mãn điều kiện ϕ-Lipschitz, tức là kf(t, u) − f(t, v)k 6 ϕ(t)kAθ

(u − v)k, với ϕ

thuộc vào một không gian hàm chấp nhận được.

Từ khóa. Phương pháp Lyapunov-Perron, đa tạp quán tính, phương trình parabolic

nửa tuyến tính, không gian hàm chấp nhận được, toán tử quạt, nửa nhóm giải tích.