Công thức nghiệm của hệ động lực suy biến không dừng có điều khiển

T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 2(46) Tập 2/N¨m 2008

105

CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA HỆ ĐỘNG LỰC SUY BIẾN

KHÔNG DỪNG CÓ ĐIỀU KHIỂN

Vi Diệu Minh-Trần Thiện Toản (Trường ĐH Sư phạm- ĐH Thái Nguyên)

Mục đích của bài báo này là đưa ra công thức nghiệm dạng tường minh cho hệ động lực

có điều khiển mô tả bởi phương trình vi phân hoặc sai phân suy biến tuyến tính không dừng

nhằm áp dụng vào nghiên cứu các tính chất định tính (tập đạt được, tính điều khiển được và

quan sát được) của các hệ này.

1. Hệ phương trình vi phân suy biến tuyến tính với ma trận lũy linh

Xét phương trình vi phân tuyến tính suy biến dạng

Nx t x t B t u t ɺ( ) ( ) ( ) ( ) = + , t ≥ 0 , (1)

trong đó N là ma trận vuông cấp n2

, không phụ thuộc vào t và là ma trận lũy linh bậc

h , tức là

2

0

h N = n

với

2

0n

là ma trận vuông cấp n2

có tất cả các thành phần bằng 0; x t( ) là

một hàm khả vi hầu khắp nơi nhận giá trị trong không gian ℝ

n2

và thỏa mãn phương trình (1)

hầu khắp nơi (là nghiệm của phương trình vi phân suy biến (1)); B t( ) là ma trận cấp n m 2 ×

và u t( ) là vectơ hàm m chiều.

Trước tiên ta chứng minh Bổ đề sau.

Bổ đề 1. Giả sử B t( ) và u t( ) tương ứng là ma trận hàm và vectơ hàm có các thành

phần là các hàm khả vi liên tục đến cấp h , trong đó h là bậc của ma trận lũy linh N . Khi ấy

với mọi 1 ≤ ≤k h ta có 1

( ) 1 ( 1) 1 ( 1 ) ( )

1

0

( ) ( ) ( ) ( )

k

k k k k k i k i i

k

i

N x t N x t N C B t u t

−

− − − − −

−

=

= + ∑ , (2)

trong đó ( ) ( ) k

x t là đạo hàm cấp k của vectơ hàm x t( ), tương tự,

( )( ) i u t là đạo hàm

cấp i của vectơ hàm u t( ), còn ( )( ) s B t là đạo hàm cấp s của ma trận B t( ),

!

!( )!

i

k

k

C

i k i =

−

với 0 ≤ ≤i k .

Chứng minh. Nhân phương trình (1) với ma trận N rồi lấy đạo hàm hai vế ta được:

( )

2 N x t Nx t N B t u t B t u t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + ɺ ɺɺ ɺ ɺ .

Lại tiếp tục nhân phương trình này với N rồi lấy đạo hàm hai vế ta được:

( )

3 2 2

2

2 2 (2 ) ( )

2

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ). i i i

i

N x t N x t N B t u t B t u t B t u t B t u t

N x t N C B t u t −

=

= + + + +

= + ∑

ɺɺ ɺ ɺ ɺɺɺ ɺɺ ɺ ɺ ɺɺ

ɺɺ

Như vậy, công thức (2) đúng với s = 1,2, 3.

Giả sử công thức (2) đúng với mọi s k h ≤ < . Ta sẽ chứng minh nó đúng với

s k = + 1. Thật vậy, theo qui nạp ta có 1

( ) 1 ( 1) 1 ( 1 ) ( )

1

0

( ) ( ) ( ) ( )

k

k k k k k i k i i

k

i

N x t N x t N C B t u t

−

− − − − −

−

=

= + ∑ .

Nhân phương trình này với N rồi lấy đạo hàm hai vế ta được: