Cơ sở Wavelet trong không gian L2 (R)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LƯƠNG DUY TIẾU

CƠ SỞ WAVELET

TRONG KHÔNG GIAN L

2

(R)

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG

MÃ SỐ: 60.46.36

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn

Thái Nguyên, tháng 8 năm 2011

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Công trình được hoàn thành tại

Trường Đại học Khoa Học-Đại học Thái Nguyên

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn

Phản biện 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Phản biện 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn tại:

Trường Đại học Khoa Học-Đại học Thái Nguyên

Tháng 8 năm 2011

Có thể tìm hiểu tại Thư viện Trường Đại học Khoa Học

hoặc Trung tâm Học Liệu Đại học Thái Nguyên

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

1

Mục lục

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Chương 1. CƠ SỞ TRỰC CHUẨN TRONG KHÔNG

GIAN L

2

(R) 5

1.1 Không gian L

2

(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1. Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2. Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Khái niệm cơ sở wavelet trong không gian L

2

(R) . . . . . 8

1.2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.2. Định lí Balian-Low . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.3. Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Chương 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG CƠ

SỞ SÓNG NHỎ TRONG KHÔNG GIAN L

2

(R) 17

2.1 Xây dựng phép chiếu trơn . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.1. Phép chiếu trong I = [0, +∞) . . . . . . . . . . . 18

2.1.2. Phép chiếu trên đoạn I = [α, β] . . . . . . . . . . 20

2.2 Dùng các hàm sin và cosin . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.1. Trường hợp I = [0, 1] . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.2. Trường hợp I = [α, β] . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2.3. Cơ sở trực chuẩn trong L

2

(R) . . . . . . . . . . . 31

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

2

Mở đầu

Trong những năm gần đây nhiều vấn đề về khoa học, công nghệ thông

tin, truyền thông và các ngành kỹ thuật khác phát triển mạnh mẽ. Lợi

ích của xử lý số trong việc truyền các tín hiệu ngày càng được khẳng

định rõ ràng. Nó cũng được ứng dụng ở nhiều dạng khác nhau với những

hiệu quả đặc biệt là trong các ngành khoa học chứ không phải chỉ là một

môn học. Với mức độ phát triển ngày càng cao về cơ bản, về phương

pháp và khả năng ứng dụng nó đã lôi cuốn được nhiều kỹ sư, các nhà

toán học cũng như các nhà vật lý quan tâm nghiên cứu.

Khái niệm wavelet đã được đưa vào từ những năm 70 của thế kỷ

trước và ngày càng có nhiều ứng dụng trong khoa học, truyền thông,

công nghệ thông tin và các ngành kỹ thuật khác. Việc nghiên cứu khái

niệm cơ sở wavelet trên đường thẳng có ý nghĩa quan trọng trong lý

thuyết và ứng dụng thực tế.

Những hệ cổ điển của các cơ sở trực chuẩn trong không gian L

2

([0, 1))

bao gồm các hàm mũ 

e

2πimx : m ∈ Z

và tập hợp các hàm lượng giác

thích hợp (xem Định lý 2.2.1 bên dưới). Mô hình của những cơ sở này

trong không gian L

2

([α, β)), −∞ < α < β < +∞, sẽ có được bằng phép

tịnh tiến và phép co giãn thích hợp của các hàm số trên. Để tìm ra được

cơ sở trực chuẩn trong không gian L

2

(R) chúng ta có thể xét R là hợp

của các nửa khoảng liên tiếp sau:

[αj

, αj+1), j ∈ Z, −∞ < ... < αj < αj+1 < ... < +∞,

và xem xét từng cơ sở trên cho mỗi một không gian L

2

([αj

, αj+1)), mở

rộng những phần tử của cơ sở bởi các hàm đặc trưng của [αj

, αj+1) và

sau đó lấy tổng của các hàm có được. Cơ sở trực chuẩn này, tuy nhiên

tạo ra "hiệu ứng cạnh không mong muốn" tại điểm cuối αj khi chúng

ta cố gắng biểu diễn một hàm theo cơ sở đó.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn