Chuyên đề vector và tọa độ trong không gian

TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÝ TỰ TRỌNG

CHUYÊN ðỀ:

NĂM HỌC: 2007-2008

LƯU HÀNH NỘI BỘ

LỜI NÓI ðẦU

Chẳng khó khăn ñể nhận ra tầm quan trọng của hình học không gian trong quá trình học

toán của học sinh chúng ta. Xét về mặt tư duy, hình học không gian ñòi hỏi sự tư duy khá cao,

một khả năng hình tượng nhạy bén và nhiều khả năng khác. Vì vậy, không phải khó hiểu khi

những bạn giỏi hình học không gian thường làm khá tốt trong các lĩnh vực khác. Xét về mặt thi

cử, trong mỗi kì thi từ bậc THPT trở ñi, bài toán hình học không gian luôn có trong ñề thi toán

và chiếm một số ñiểm khá lớn. Vì vậy, tìm ñược một phương pháp học hình học không gian

ñúng ñắn luôn là mối quan tâm hàng ñầu của các bạn học sinh.

Cũng như mọi phân môn toán học khác, hình học không gian ñược chia thành nhiều bộ

phận. ðối với học sinh chúng ta thì có lẽ cách phân chia tốt nhất là theo phương pháp giải bài

toán; vì khi ñó ta có thể tìm hiểu nhiều dạng toán khác nhau và thông qua ñó còn có thể so sánh

và rút ra cho riêng mình những kinh nghiệm quý báu về ưu nhược ñiểm của các phương pháp

ñể từ ñó có ñược cách giải tối ưu nhất.

Từ những nhận xét trên, chúng tôi ñã lựa chọn chuyên ñề của mình là Phương pháp toạ ñộ

và vector trong hình học không gian.

ðây không phải là phương pháp quá mới ñến mức khó hiểu. Chắc chắn mỗi bạn ñều từng ít

nhất một lần thực hiện phương pháp giải trên vì nó vốn ñược ñề cập khá nhiều trong chuơng

trình học phổ thông. Tuy nhiên, nó cũng không quá cũ, chẳng có gì ñể nói như nhiều người

thường nghĩ. Bởi vì tuy là tiếp xúc nhiều nhưng ta ñã cho rằng phương pháp này không ñược

hiệu quả lắm bên cạnh những ñịnh lí, tiên ñề to lớn trong hình học không gian, cho những bài

giải ngắn gọn, mà lãng quên nó. Do ñó, tìm hiểu về phương pháp này sẽ giúp ta có một hệ

thống vững chắc giữa hình học không gian giải thuần tuý bằng ñịnh lí, tiên ñề, tính chất,… và

hình học không gian giải bằng biến ñổi vector và toạ ñộ.

Cố gắng thực hiện mục ñích ñó, nhóm chúng tôi ñã trình bày chuyên ñề của mình như sau:

Chuyên ñề gồm hai phần lớn: Vector và Toạ ñộ. Trong mỗi phần lại ñược chia thành nhiều

ñề mục nhỏ theo thứ tự nhất ñịnh, từ cơ bản ñến nâng cao, giúp xây dựng một hệ thống kiến

thức vững chắc, ña dạng nhưg vẫn dễ tiếp thu. Từ lí thuyết nền tảng ñến lí thuyết cao hơn, ví

dụ nhỏ ñến những bài toán ứng dụng lớn, ñó là sự cố gắng rất lơn của chúng tôi.

Bên cạnh những kiến thức cần thiết cho việc học hành chính quy của các bạn, ñiều chúng

tôi tâm ñắc nhất là có thể giúp các bạn nâng cao óc sáng tạo thông qua mảng kiến thức Sáng

tạo nằm cuối quyển sách, về hệ toạ ñộ Afin. ðó tuy không phải là những gì các bạn sẽ gặp

trong chương trình học cũng như trong thi cử, nhưng nó sẽ mang lại một cách suy nghĩ khá

mới mẻ, mở rộng ñược tầm hiểu biết, mang ñến cho chúng ta cách nhìn nhận vấn ñề tốt hơn, và

cho riêng các bạn chuyên toán, sẽ yêu môn toán hơn vì sự biến ñổi bất ngờ ñến thú vị của nó.

Trên lí thuyết, hệ toạ ñộ ðề-các vuông góc là tiêu chuẩn, không chỉ trong toán học mà còn

nhiếu bộ môn khác. Tuy nhiên trong một số trường hợp, ta vẫn cần biết ñến một hệ trục khác

không vuông góc. ðiều ñó làm thay ñổi hoàn toàn cách ta ghi nhận một sự việc, hiện tượng nào

ñó: hình tròn không còn tròn nữa, các ñường thẳng song song sẽ cắt nhau…! Nghe tuy thật

mâu thuẫn nhưng thật ra giữa hai hệ trục có mối quan hệ rất chặt chẽ và dĩ nhiên, không hề

mâu thuẫn với nhau. Mối liên hệ ñó như thế nào? Câu hỏi sẽ ñược giải ñáp trong phần Sáng

tạo của cúng tôi. Hơn thế nữa, các bạn sẽ còn nhận ra rằng nhiều khi ta ñã nhìn vấn ñề theo

một hệ trục “không trực chuẩn” như thế, cả trong học tập lẫn ñời sống, mà không nhận ra ñấy

thôi.

Chúng tôi ñã nêu lên một số vấn ñề như thế trong phần Chuyên ñề của mình. Tuy nhiên vẫn

còn một số câu hỏi mà chúng tôi ñang giải quyết và rất mong ñợi sự hỗ trợ từ các bạn và quý

thấy cô như:

1. Một cách nhìn tổng quát nhất về những trường hợp bài toán có thể giải bằng hai

cách.

2. Còn những dạng toán nào có thể áp dụng phương pháp này ñể giải

…

Cuối cùng, tuy ñã cốgắng rất nhiều, chúng tôi khó tránh khỏi những sai sót, rất mong quý

thầy cô và các bạn thông cảm và liên hệ giúp chúng tôi có thể làm tốt hơn trong những chuyên

ñề sau.

Nhóm chuyên ñề 4

LỜI CẢM TẠ

Chuyên ñề này ra ñời, bên cạnh sự cố gắng của nhóm còn có phần giúp ñỡ vô cùng to lớn của

quý thầy cô ñã và ñang trực tiếp giảng dạy về cả vật chất và tinh thần. ðó là nguồn lực to lớn

giúp cho chúng tôi có thể hoàn thành tốt công việc. Nay chúng tôi xin gửi lời tri ân sâu sắc,

chân thành nhất ñến quý thầy cô:

Cô Tạ Thanh Thuỷ Tiên

Thầy Phan ðại Nhơn

Thầy Huỳnh Bửu Tính

Thấy Nguyễn Hồng ðức

MỤC LỤC

• Chương I VECTOR

Lí thuyết…………………………………………………………………………...5

1. ðịnh nghĩa vector, Quan hệ giữa các vector, Các phép toán ………………………….. 5

2. ðiều kiện ñồng phẳng………………………………………………………………….. 6

3. Góc giữa hai vector, Hình chiếu, Tích vô hướng………………………………………. 7

4. Hệ vector ñộc lập và phụ thuộc tuyến tính…………………………………………...…

8

Bài tập…………………………………………………………………………...... 9

• Chương II TOẠ ðỘ

Lí thuyết………………………………………………………………….......……18

1. Toạ ñộ vector, Toạ ñộ ñiểm, ðiều kiện ñồng phẳng, ñồng phương và các phép

toán………………………………………………………………………………….….. 18

2. Ví dụ áp dụng………………………………………………………………………...… 19

3. Tích vô hướng, Tích hữu hướng và công thức tính thể tích……………………..…….. 25

4. Ví dụ áp dụng ………………………………………………………………………….. 26

5. Hệ toạ ñộ ðề-các vuông góc…………………………………………………...………. 29

6. Ví dụ áp dụng…………………………………………………………..………………. 30

7. Tâm tỉ cự………………………………………………………………………..……… 34

Bài tập…………………………………………………………………………..… 36

1. Hệ trục cho tam diện, hình chóp…………………………………………………..…… 36

2. Hệ trục cho lăng trụ……………………………………………………………………..56

3. Hình không mẫu mực………………………………………………………………...… 60

• Chương III GIẢI BÀI TOÁN BẰNG HAI CÁCH…………...….. 66

• Chương IV MỘT SỐ ðỊNH LÍ NỔI TIẾNG…………………...….. 76

• Chương V ỨNG DỤNG KHÁC……………………………………..…… 80

• Chương VI SÁNG TẠO - HỆ TRỤC AFIN…………………….…. 82

Chuyên ñề lớp 11A1 – Năm học 2007-2008

____________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

5

CHƯƠNG I

VECTOR TRONG KHÔNG GIAN

1. ðịnh nghĩa vector:

- Vector là 1 ñoạn thẳng có quy ñịnh 1 chiều. Chiều của vector là thứ tự 2 ñầu mút là ñiểm ñầu (gốc)

và ñiểm cuối (ngọn) của ñoạn thẳng. ðường thẳng ñi qua 2 ñầu mút là phương của vector

- Kí hiệu vector: AB

, ñộ dài của vector ñó là AB hay . Cách khác: u

, ñộ dài của vector ñó là u hoặc

u

- Vector có ñiểm ñầu và ñiểm cuối trùng nhau ñược gọi là vector- không (kí hiệu là AA

hoặc 0

).

2. Quan hệ của các vector trong không gian:

a) 2 vector ñồng phương hoặc không ñồng phương:

- 2 vector u v

, (khác 0

) ñược gọi là ñồng phương (kí hiệu u

// v

) nếu chúng nằm trên cùng 1 ñường

thẳng hoặc nằm trên 2 ñường thẳng song song

- 2 vector u v

, (khác 0

) ñược gọi là không ñồng phương (kí hiệu u

/ / v

) nếu chúng nằm trên cùng 2

ñường thẳng cắt nhau hoặc chéo nhau

- Ta quy ước 1 vector 0

luôn cùng phương với 1 vector khác 0

b) 2 vector cùng chiều hoặc ngược chiều:

Cho 2 vector u v

, khác 0

và ñồng phương, khi ñó tồn tại mp(P) chứa u v

, .

- Nếu trong (P) 2 vector ñó cùng chiều, thì ta nói u

và v

cùng chiều trong không gian (kí hiệu

u

↑↑ v

)

- Nếu trong (P) 2 vector ñó ngược chiều, thì ta nói u

và v

ngược chiều trong không gian (kí hiệu

u

↑↓ v

)

- Ta quy ước 1 vector 0

luôn cùng chiều với 1 vector khác 0

c) 2 vector bằng nhau hoặc 2 vector ñối nhau:

- 2 vector u v

, bằng nhau ( u

=v

) nếu chúng cùng chiều và cùng ñộ dài

- 2 vector u v

, ñối nhau (u

= - v

) nếu chúng ngược chiều và cùng ñộ dài

d) 3 vector ñồng phẳng hoặc không ñồng phẳng:

- 3 vector u v w

, , (khác 0

) ñồng phẳng khi chúng cùng nằm trong 1 mp hoặc nằm trong các mặt phẳng

song song.

- Nếu 3 vector không có tính chất trên thì chúng không ñồng phẳng

3. Các phép toán vector:

a) Phép cộng vector:

B

A v

a

C

- ðịnh nghĩa: Cho 2 vector u v

, , tổng của u

và v

là vector a

ñược xác ñịnh theo quy tắc tam giác

Chuyên ñề lớp 11A1 – Năm học 2007-2008

____________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

6

Trường hợp tổng của nhiều vector: Cho n vector u u un

, ,..., 1 2

. Tổng của n vector ñó ñược xác ñịnh theo

quy tắc ñường gấp khúc: Từ 1 ñiểm A 0

bất kì ta dựng liên tiếp các vector A0A1 A2A An 1An

, 3 ,...,

−

.

Vector A0An

là tổng của n vector ñã cho và ñược kí hiệu: u = u + u + + un

' ... 1 2

- Tính chất:

i) u

+0

=u

ii) u

+(- u

) = 0

iii) u

+v

=v

+u

iv) (u

+ v

)+ w

=u

+ ( v

+w

)

b) Phép trừ 2 vector:

B

u

v

A

w

C

Hiệu của u

và v

là 1 vector w

và ñược kí hiệu u v w − =

, nên w v u + =

c) Nhân 1 vector với 1 số thực:

- ðịnh nghĩa: Cho 0

u ≠ và số thực k ≠ 0. Tích của u

với k là 1 vector v

có ñộ dài bằng k u

. và cùng

chiều với u

khi k>0; ngược chiều với u

khi k<0. Kí` hiệu: v

= k. u

- Tính chất:

i) 1.u

= u

ii) m.(n.u

) = (m.n). u

, (m,n∈R)

ii) m.(u

+v

) = m. u

+m. v

, (m,n∈R)

iv) (m+n). u

= m.u

+m.u

- Hệ quả:

i) u u u n u

n

 

+ + ... + = .

ii) Nếu u

// v

thì tồn tại 1 số thực k sao cho v

=k. u

và k là duy nhất thoả mãn ñiều kiện ñó.

4. ðiều kiện ñồng phẳng của 3 vector:

- Cho 3 vector u v w

, , (khác 0

) và . ðể 3 vector ñó ñồng phẳng cần và ñủ là tồn tại 2 số thực m.n sao

cho w m u n v

= . + . . Cặp số m,n là duy nhất thoả mãn ñiều kiện ñó.

- Hệ quả:

i) Nếu u v w

, , không ñồng phẳng và m u n v k w . . . 0 + + =

, thì m = n = k = 0

ii) Với mọi vector a

tồn tại duy nhất 1 bộ 3 số thực x,y,z sao cho a x u y v z w

= . + . + .

Các vector u v w

, , ñược gọi là cơ sở của a

. Bộ số (x,y,z) ñược gọi là toạ ñộ của a

. Vector a

có biểu

diễn như vậy ñược gọi là phân tích của a

theo 1 cơ sở.

Chuyên ñề lớp 11A1 – Năm học 2007-2008

____________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

7

5. Góc tạo bởi 2 vector trong không gian:

a) ðịnh nghĩa: Cho 2 vector u v

, khác 0

. Gọi P là 1 ñiểm bất kì trong không gian và từ ñó dựng

OA u OB v = = ,

, khi ñó gócAOB là góc tạo bởi u

và v

. Ta kí hiệu ( , ) u v

là góc tạo bởi 2 vector u v

, .

Góc tạo bởi 2 vector không phụ thuộc vào cách chọn ñiểm O

Góc tạo bởi 1 vector 0

và 1 vector khác 0

không xác ñịnh.

b) Tính chất:

i) Nếu u u ' ↑↑

và v v ' ↑↑

thì ( ', ') u v

=( , ) u v

ii) Nếu ( , ) u v

=α , thì  0

( ', ') ( ', ') 180 − = − = − u v u v α

iii) Nếu u v ↑↑ thì ( , ) u v

=0. Nếu AB

, thì ( , ) u v

=1800

6. ðộ dài hình chiếu của 1 vector lên 1 trục tọa ñộ:

B

A

O A’ B’ x

Cho AB

là trục tọa ñộ Ox. Gọi A’, B’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A,B lên Ox. A’B’ là hình

chiếu của AB lên Ox. Ta có hệ thức sau:

A B AB ' ' cos = α

(α là góc tạo bởi AB

và vector ñơn vị trên Ox)

7. Tích vô hướng của 2 vector trong không gian:

a) ðịnh nghĩa:

- Cho 2 vector u v

, khác 0

tạo với nhau góc α .Ta kí hiệu tích vô hướng của 2 vector ñó là

u v u v . . .cos = α

- Nếu 1 trong 2 vector bằng 0

, thì tích vô hướng của chúng bằng 0

b) Tính chất:

i) u v v u . . =

ii) u v w u v u w .( ) . . + = +

iii) ( . ). .( . ), k u v k u v k R = ∈

iv) 2 2

u u u u . ( ) = =

v) u v u v . . ≤

. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi u

// v

c) Hệ quả:

*  0

u v u v . 0 ( , ) 90 < ⇔ >

*  0

u v u v . 0 ( , ) 90 > ⇔ <

*  0

u v u v . 0 ( , ) 90 < ⇔ >

Chuyên ñề lớp 11A1 – Năm học 2007-2008

____________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

8

8. Hệ vector ñộc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính:

a) Hệ vector ñộc lập tuyến tính:

Trong không gian vector V, hệ n vector 1 2 , ,...,

n

x x x

ñược gọi là ñộc lập tuyến tính khi và chỉ khi từ

biểu thức:

1 1 2 2 ... 0 n n

k x k x k x + + + =

Ta suy ra: 1 2 ...

n

k k k = = =

VD: Trong mặt phẳng hệ 2 vector (khác 0

) không cùng phương gọi là hệ vector ñộc lập tuyến tính

hoặc trong không gian hệ 3 vector không ñồng phẳng (khác 0

) gọi là hệ vector ñộc lập tuyến tính

b) Hệ vector phụ thuộc tuyến tính:

Nếu hệ n vector không ñộc lập tuyến tính thì gọi là hệ phụ thuộc tuyến tính. Như vậy, hệ n vector

1 2 , ,...,

n

x x x

phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có thể tìm ñược các số 1 2 , ,...,

n

k k k không ñồng thời

bằng 0 sao cho:

1 1 2 2 ... 0 n n

k x k x k x + + + =

c) Tính chất:

- Nếu 1 hệ vector 1 2 , ,...,

n

x x x

là ñộc lập tuyến tính thì mọi vector của hệ ñều khác 0

- Nếu hệ vector 1 2 , ,...,

n

x x x

ñộc lập tuyến tính thì mọi vector con của nó cũng ñộc lập tuyến tính

- Nếu hệ n vector 1 2 , ,...,

n

x x x

phụ thuộc tuyến tính thì mọi hệ vector chứa hệ ñó ñều phụ thuộc tuyến

tính

- Hệ n vector 1 2 , ,...,

n

x x x

( n ≥ 2 ) phụ thuộc tuyến tính khi là chỉ khi 1 vector nào ñó của hệ biểu thị

tuyến tính qua các vector còn lại

VD:

1

1 1 2 2 1 1

1

... 0

n

n i i n n n

i

x k x k x k x k x x

−

− −

=

= ⇔ + + + − = ∑

Ngược lại nếu hệ phụ thuộc tuyến tính thì có các số không ñồng thời bằng 0 sao cho

1

0

n

i i

i

k x

=

∑ =

- Nếu 1 hệ vector 1 2 , ,...,

n

x x x

là ñộc lập tuyến tính thì hệ 1 2 , ,...,

n

x x x

, y

phụ thuộc tuyến tính khi và

chỉ khi y

biểu thị tuyến tính qua 1 2 , ,...,

n

x x x

và cách biểu thị ñó là duy nhất

> Việc chứng minh 1 hệ vector ñộc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính có liên quan mật thiết ñến

các bài toán chứng minh 3 ñiểm thẳng hàng, 4 ñiểm ñồng phẳng, 2 ñường thẳng chéo nhau trong hình

học.