Chuyên đề số phức (luyện thi đại học)

- 1 -

1. SỐ PHỨC. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC

1.1. Dạng đại số của số phức

 Số phức là biểu thức có dạng

a bi,

trong đó

ab,

là những số thực và

2

i 1.

 Kí hiệu: số phức

z a bi,

với

a

là phần thực,

b

là phần ảo,

i

là đơn vị ảo.

 Tập hợp các số phức kí hiệu là

2

{ | , , 1}. a bi a b i

1.2. Số phức bằng nhau

Cho hai số phức

1 1 1 z a b i

và

2 2 2 z a b i.

Khi đó,

1 2

1 2

1 2

a a

z z b b

1.3. Biểu diễn hình học của số phức

Trên mặt phẳng Oxy, mỗi số phức

z a bi

được biểu diễn bởi điểm

M a b ( ; ).

1.4. Mođul của số phức

Mođul của số phức

z a bi

là

2 2 z a b .

1.5. Số phức liên hợp

Số phức liên hợp của số phức

z a bi

là số phức

z a bi.

1.6. Cộng, trừ số phức

Cho hai số phức

1 1 1 z a b i

và

2 2 2 z a b i.

Khi đó,

1 2 1 2 1 2 z z a a b b i ( ) ( ) .

1.7. Phép nhân số phức

Cho

1 1 1 z a b i

và

2 2 2 z a b i.

Khi đó,

1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 z z a a bb a b a b i . ( ) ( ) .

1.8. Phép chia số phức

Cho hai số phức

1 1 1 z a b i

và

2 2 2 2 z a b i z, 0.

Khi đó,

1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2

2 2

2 2 2

. ( ) ( )

.

.

z z z a a b b a b a b i

z z z a b

2. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

2.1. Căn bậc hai của số thực âm

Cho

a

là số thực âm. Khi đó,

a

có hai căn bậc hai đối nhau là

i a| |.

2.2. Căn bậc hai của số phức

Cho số phức

w a bi,

mỗi số phức

z x yi

thoả

2

z w

được gọi là một

căn bậc hai của

w.

Khi đó,

2 2 x y a

và

2 . xy b

2.3. Phương trình bậc hai hệ số thực :

2 Ax Bx C A A B C 0, 0, , , 2 B AC 4

( là một số thực)



0:

Phương trình có hai nghiệm thực phân biệt

2

B

x

A



0:

Phương trình có nghiệm thực

2

B

x

A

(nghiệm kép).



0:

Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt

| |

2

B i

x

A

2.4. Phương trình bậc hai hệ số phức:

2 Ax Bx C A A B C 0, 0, , , 2 B AC 4

( là một số phức)