CHUYÊN ĐỀ : GÓC TRONG KHÔNG GIAN VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN pptx

CHUY ÊN ĐỀ :

GÓC TRONG KHÔNG GIAN

VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN

A.Tóm tắt lí thuyết:

I.Góc giữa hai đường thẳng:

1.Góc giữa hai đường thẳng a và b được định nghĩa bằng góc giữa hai đường thẳng

a’ và b’ cùng đi qua một điểm O và lần lượt song song với a và b.

2.

// '

// '

a a

b b







thì góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a’và b’

3.Góc giữa hai đường thẳng luôn không tù.

II.Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

1. Cho đường thẳngV và mặt phẳng ( ) α . Nếu V không vuông góc với ( ) α , khi

đó góc giữa chúng được định nghĩa bằng góc giữa V và hình chiếu vuông góc

V’ của Vlên mặt phẳng ( ) α .

2. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng luôn tù.

3. Cho m là một đường thẳng bất kì trong mặt phẳng ( ) α .khi đó

góc giữa đường thẳng ∆ và ( ) α không lớn hơn góc giữa hai đường thẳng ∆ và

m.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hoặc ∆ ⊥ (α) hoặc m // ∆’ ( ở đó ∆’ là

hình chiếu vuông góc của ∆ lên (α)).

4. Nếu ∆ // a và (α) // (P) thì góc giữa đường thẳng ∆ và (α) bằng góc giữa đường

thẳng a và (P).

5. Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (α). Khi đó với mọi đường thẳng ∆

ta có tổng góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (α) và góc giữa hai đường thẳng

∆ và a bằng 90o

.

1

·

( )

·

( ,( )) , 90o V V α + = a

6 .Cho hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau. Khi đó với mọi đường thẳng ∆

ta có: · ·

( ,( )) ( ,( )) 90o V V α β + = .

7. Gọi A’,B’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B xuống mặt phẳng (α). Khi đó

A B AB AB ' ' cos( ,( )) = ¼ α . Do đó A B AB ' ' ≤ , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi AB song

song với (α) hoặc nằm trên (α).

III.Góc giữa hai mặt phẳng:

1.Cho hai mặt phẳng (α) và (β).

a) Nếu (α) và (β) trùng nhau hoặc song song với nhau,

ta nói góc giữa chúng bằng 0.

b) Nếu (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến m.

Lấy hai đường thẳng a và b lần lượt thuộc (α) và (β)

và vùng vuông góc với đường thẳng m tại O.

Khi đó góc giữa (α) và (β) được định nghĩa bằng góc giữa hai đường

thẳng a và b.

2.Góc giữa hai đường thẳng luông không tù.

3. Nếu ( ) //( ')

( ) //( ')

α α

β β







Thì · ·

(( ),( )) (( '),( ')) α β α β = .

4.Nếu ( )

a ( )

α

β

 ⊥



 ⊥

V

thì ¶ ·

( , ) (( ),( )) V a = α β .

5.Nếu ( ) ( ) α β ⊥ thì · 0

(( ),( )) 90 α β = .

6.Trong mặt phẳng (β) cho hình H có diện tích S(H). Gọi H’ là hình chiếu vuông

góc của H xuống mặt phẳng (α). Khi đó diện tích S(H’) của H’ được tính bằng

công thức

S(H) = S(H’). · Cos(( ),( )) α β .

Do đó S(H) ≤ S(H’).

2

B.Một số dạng toán liên quan:

I.GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG:

Bài 1:

Cho hình chóp đều S.ABCD, đáy có cạnh bằng a và có tâm O.Gọi M,N lần lượt là

trung điểm của SA,BC.Biết góc giữa MN và (ABCD) bằng 60o

.

Tính MN,SO và ·

( ,( )) MN SAO .

Hướng dẫn giải:

Gọi P là trung điểm AO.

Khi đó MP // SO và SO ⊥ (ABCD) do đó:

· ·

( ,( D)) 60 . MN ABC MNP = =

o

Trong VNCP theo định lí hàm số cosin ta có

2

2 2 2 5

2 . .cos 45 .

8

a

NP CN CP CN CP = + − =o

Trong tam giác vuông MNP ta có 5

os60 2

PN MN a

c

= =o

và PM=PN.tan 60o 15 15 2

8 2

= ⇒ = = a SO MP a .

Gọi H là trung điểm của OC.Suy ra NH // BD mà BD ⊥ (SAC).

Do đó · ·

( ,( )) . MN SAC NMH =

Ta có 1 2 5

, .

2 4 2

a

NH OB MN a = = = Do đó trong tam giác vuông MHN ta có

·

1

sin .

2 5

NH NMH

MN

= =

Vậy góc giữa MN và mặt phẳng (SAC) bằng α thỏa mãn

1

sin ,0 .

2 5 2

π

α α = ≤ ≤

3

Bài 2 :

Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’, đáy có cạnh bằng a,cạnh bên có độ dài bằng

b.Gọi M là trung điểm của AB và α là góc tạo bởi đường thẳng MC’ và mặt phẳng

(BCC’B’).Tính tanα .

Hướng dẫn giải:

Gọi M’,N lần lượt là trung điểm của A’B’ và BC.

Gọi P là trung điểm của BM.

Ta có AN ⊥ BC và AN ⊥ BB’ nên AN ⊥ (BCC’B’).

Do đó α = ·MC P'

.

Ta có

1 3

.

2 4

a

MP AN = =

2

2 2 2

2

2

3a ' ' ' '

4

9a ' .

16

MC MM M C b

PC b

= + = +

⇒ = +

Trong tam giác vuông C’PM ta có tanα =

2 2

3

.

' 16 9a

MP a

PC b

=

+

4