CHƯƠNG I : ĐA THỨC VÀ TÍNH CHẤT docx

CHƯƠNG I: ĐA THỨC VÀ TÍNH CHẤT

A. ĐA THỨC MỘT BIẾN.

Một hàm số dạng gọi là một đơn thức với là một số bất kì ( trường hợp chung nhất là một

số phức). x là một biến độc lập và k là một số nguyên không âm .Số k gọi là bậc của đơn

thức và kí hiệu là k=deg. Hai đơn thức gọi là đồng bậc nếu bậc của chúng bằng nhau ,

nghĩa là và là đồng bậc nếu dễ thấy tổng của hai đơn thức đồng bậc. tích của hai đơn thức

bất kì là một đơn thức. tổng của hai đơn thức đồng bậc không phải là một

I. Định nghĩa 1.1

Những đơn thức trong cách viết trên không đồng bậc vì nếu đồng bậc thì ta tách

chúng thành nhóm các đơn thức.

Đa thức P(x) bậc n là một đa thức nếu nó có thể biểu diễn như tổng hữu hạn những đơn

thức, nghĩa là :

( )

1

1 1 0 ...

n n P x a x a x a x a n n

−

= + + + + −

Với 0 1 , ,...,

n

a a a là hằng số (trong trừong hợp tổng quát là số phức )cho

trước và 0 n

a ≠

Khi đó 0 1 , ,...,

n

a a a được gọi là những hệ số của đa thức ( 1

a là hệ số ứng

với 1

x ). Người ta dùng deg P(x) để kí hiệu bậc của đa thức P(x). Với đa thức bậc

n thì degP(x)=n.

+ nếu i

a là các số nguyên với mọi i= 0,1,..,n thì P(x) gọi là đa thức với hệ số

nguyên.

+ Nếu i

a là các số hữu tỉ với mọi i= 0,1,..,n thì P(x) gọi là đa thức với hệ số hữu

tỉ

+ Số 0

x được gọi là nghiệm của đa thức P (x) , nếu P( 0

x )=0

Nói cách khác bậc của đa thức là bậc lớn nhất của đơn thức trong tổng.

trong một số trường hợp bằng không vì ta không đòi hỏi bắt buộc những đơn thức vó bậc

nhỏ hơn n tham gia vào đa thức.:

nếu hai đa thức có cùng một dạng chuẩn tắc thì bằng nhau. Ta không thể nói dạng chuẩn

tắc của đa thức là duy nhất.

Chú ý: những số khác không cũng là các đa thức ( tổng của những đa thức bậc 0). Gọi là

đa thức bậc 0. ta có deg0= −∞

N là số nguyên bất kì.

Ta luôn có công thức:

deg . deg deg ( P x Q x P x Q x ( ) ( ) ) = + ( ) ( )

deg max deg .deg ( )) ( P x Q x P x Q x ( ) − = ( ) ) ( ( ) )

Những đa thức cũng có thể cộng trừ nhân chia cho nhau..P(x),Q(x) là những đa

thức thì hàm P(x)-Q(x), P(x)+Q(x), P(x).Q(x) cũng là những đa thức.

Đặc biệt: ( )

P x( )

Q x không là đa thức

Ví dụ: x và 2

x +1 là những đa thức, nhưng thương của chúng không là những đa thức.

II.Các tính chất cơ bản:

2.1. Tính chất 1:

Gọi f(x) và g(x) là hai đa thức của vành A , thì bao giờ cũng tồn tại hai đa thức duy nhất

q(x) và r(x) sao cho

f(x)=g(x)q(x)+r(x) với deg r (x)< deg g (x).

Nếu r(x)=0 ta nói f(x) chia hết cho g(x).

Giả sử a là phần tử tùy ý là đa thức của vành A,

là đa thức tùy ý của vành, phần tử ( )

1

1 1 0 ...

n n

n n

f x a a a a a a a −

= + + + + − có đựoc bằng

cách thay x bởi a gọi là giá trị của tai a.

Nếu thì f(x)=0 ta gọi là nghiệm của f(x). bài toán tìm cua trong gọi là giải phưong trình

đại số bậc n

1

1 1 0 ...

n n

n n

a a a a a a a

−

+ + + + −

, 0

a ≠ 0

2.2 Tính chất 2:

Giả sự A là một trừong , a A f x A x ∈ ∈ , ( ) [ ] . Dư số của phép chia f(x) cho (x-a) chính là

f(a)

2.3 Tính chất 3:

Số a là nghiệm của f(x) khi và chỉ khi f(x) chia hết cho (x-a).

Giả sử A là một trường và m là một số tự nhiên lớn hơn và bằng 1. Khi đó a là nghiệm

bội cấp m của f(x) khi và chỉ khi f(x) chia hết cho ( )

m

x a − và f(x) không chia hết cho

( )

m 1

x a

+

− .

Trong trường hợp m=1 thì ta gọi a là nghiệm đơn còn khi m=2 thì a được gọi là

nghiệm kép.

Số nghiệm của đa thức là tổng số nghiệm lẫn bội của các nghiệm nếu có.

 đa thức có một nghiệm bội cấp m như một đa thức có m nghiệm trùng nhau.

+ Lược đồ horner:

Giả sử:

( ) [ ]

1

1 1 0 ...

n n

n n

f x a a a a a a a A x −

= + + + + ∈ −

Với A là một trường.Khi đó thương gần đúng của f(x) cho (x-a) là một đa

thức có bậc n-1, có dạng

( )

1

1 0 ...

n

n

q x b x b x b −

= + + +

,

1

1 1 , , 0,1,.., 1 n

n k k k b a b ab a k n −

= = + = − + +

Và dư số 0 0 r ab a = +

2.4. Tính chất 4 (Định lý Viete).

a) Giả sử phương trình: 1

1 1 0 ... 0 n n

n n

a x a x a x a

−

+ + + + = −

có n nghiệm ( thực hay phức) thì 1 2 , ,...,

n

x x x thì:

1

1 1 2 ( ) : ... n

n

n

a

E x x x x

a

− − = + + + =

2

2 1 2 1 3 1 ( ) : ... n

n n

n

a

E x x x x x x x

a

− = + + + = −

0

1 2 ( ) : .. ( 1)n

n n

n

a

E x x x x

a

= = −

b) Ngược lại nếu các số thoả mãn hệ trên thì chúng là nghiệm của (1).

Hệ 2 có n thành phần và ở vế trái của thành phần thứ k có số hạng.

c) các hàm được gọi là hàm đối xứng sơ cấp Viete bậc 1 2 n tưong ứng.

2.5.Tính chất 5

Mỗi đa thức bậc n đều không quá n nghiệm

Hệ quả 1:

Đa thức có vô số nghiệm là đa thức không.

Hệ quả 2:

Nếu đa thức có bậc mà nhận cùng 1 giá trị tại n+1 điểm như nhau của đối só thì đa thức

đó là đa thức hằng.

Hệ quả 3:

Hai đa thức bậc mà nhận giá trị thỏa mãn bằng nhau giá tri khác nhau của đối số thì đồng

nhất bằng nhau.

2.6 . Tính chất 6

Mọi đa thức bậc n có đúng n nghệim( tính cả bậc của nghiệm)

2.7. Tính chất 7

Mọi đa thức bậc n và có hệ số chính ( hệ số bậc nhất) 0 n

a ≠ đều có thế phân tích ( duy

nhất) thành nhân tử

( ) ( ) ( )

2

1 1

2

, , ,2 , 4 0, , *

m s

n i k k

i k

i k k k k

f x a x d x b x c

d b c R s m n b c m n N

= =

= − + +

∈ + = − < ∈

∏ ∏

Biên của nghiệm

1) mọi nghiệm của đa thức

2) thỏa mãn bất đẳng thức

2)nếu là hệ số âm đầu tuên của đa thức thì số cận trên của cácnghiệm dương của đa

thức đã cho, trongđó b là giá trị lớn nhất của môđun các hệ số âm.

B.ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT

1.1. Định nghĩa:

Khi đa thức ( ) P x n

dạng (3) viết được dứơi dạng:

( ) ( ) ( ) P x g x q x n = với degg>0, degq>0

Thì ta nói g là ước của ( ) P x n

và ta viết hay

Nếu P(x) chia hết g(x) và Q(x) chia hết g(x)

thì ta nói g(x) là ước chung của P(x) và Q(x)

Nếu hai đa thức và chỉ có ước chung là các đa thức bậc 0 thì ta nói rằng chúng

nguyên tố cùng nhau và viết (P(x),Q(x))=1.

1.2. Tính chất

Điều kiện cần và đủ để hai đa thức P(x) và Q(x) nguyên tố cùng nhau là tồn tại

cặp đa thức và sao cho

P(x)U(x)+Q(x)∨ (x) ≡ 1

Nếu hai đa thức P(x) và Q(x) có ước chung d(x) là đa thức chia hết cho tất cả ứơc chung

khác thì d(x) được gọi là ước chung lớn nhất của P(x) và Q(x). Cũng như vậy ta có ước

chung lớn nhất của bộ nhiều đa thức/

1.3 Một số tính chất cơ bản

a. Nếu các đa thức f(x) và g(x) nguyên tố cùng nhau và các đa thức f(x) và g(x) nguyên tố

cừng nhau thì các đa thức f(x) và g(x)h(x) cũng nguyên tố cùng nhau.

b. Nếu các đa thức f(x),g(x),h(x) thỏa mãn điều kiện f(x)h(x) chia hết cho g(x),h(x)và

nguyên tố cùng nhau thì f(x) chia hết cho g(x)

c. Nếu đa thức f(x) chia hết cho các đa thức g(x) và h(x) với nguyên tố cùng nhau thì chia

hết cho

d. Nếu các đa thức f(x) và g(x) nguyên tố cùng nhau thì ( )

m

  f x   và ( )

n

  g x   sẽ nguyên

tố cùng nhau với mọi m,n nguyên dương.

C. PHÉP CHIA ĐA THỨC

I. Phép chia hết

a. Định nghĩa:

Ta nói rằng đa thức P(x) chia hết cho đa thức Q(x). nếu tồn tại một đa thức

S(x) sao cho P(x) =Q(x).S(x). Ta kí hiệu P(x) chia hết cho Q(x) bằng P(x) Q(x)

Nếu P(x) chia hết cho Q(x) thì deg ( ) deg ( ) P x Q x ≥ , có những tính chất

sau:

+ Với mọi đa thức P(x) và với mọi .(Trong trường hợp này theo định nghĩa

ta lấy)

+Nếu P(x) chia hết cho Q(x) và ngược lại thì P(x)=a.Q(x), với là một số.

Thật vậy, ta có giả thiết và . Ta có và, nghĩa là .Khi đó tha có đẳng

thức ta nhận được, suy ra , nghĩa là S(x) là một hằng số khác không).

+Nếu P(x) chia hết cho Q(x) và Q(x) chia hết cho S(x) thì P(x) chia hết cho

S(x).

+Nếu và là những đa thức bất kì thì

b. Ví dụ:

Chứng minh rằng với mọi giá trị , đa thức chia hết cho đa thức

Giải

Ta chứng minh theo qui nạp

- Với n=1 thì

- Giả sử khẳng định đúng với n=k tức

- Ta cần chứng minh khẳng định đúng với n=k+1

II . Phép chia có dư

a. Định lí 1.2

Chứng minh rằng với hai đa thức bất kì P(x) và Q(x) tồn tại duy nhất những

đa thức S(x) và R(x) thỏa mãn những điều kiện sau:

b. Ví dụ:

1/Hãy tìm thương và số dư của phép chia đa thức cho đa thức

2/ Cho n và m là những số tự nhiên, .Chứng minh rằng đa thức số dư trong

phép chia đa thức cho, là, ở đây t là số dư trong phép chia số n cho m

III. Sơ đồ Horner

Đặc biệt thực hiện phép chia Q(x) là đa thức tuyến tính có dạng Q(x)=x-a. trường

hợp này ta có:

P(x)=(x-a).S(x)+R(x)

ở đây degR(x) nghĩa là R(x) là hằng số. Nếu trong đằng thức cuối cùng thay x=a,

ta nhận được R(x)=P(x) nghĩa là số dư r(x) bang92 giá trị của P(x) tại x=a. ta tìm

hệ số của thương S(n) theo sơ đồ Horner.

Định lí 1.3. nếu và . Chứng minh rằng những hệ số của thương và số dư tính

được từ các công thức sau trong phép chia P(x) cho Q(x)

Chứng minh

Bằng cách áp dụng phương pháp định lí 1.2 ta nhận được

Nghĩa là và

ở đây và tiếp tục quá trình nà

y đến công thức ta cần

ta có thể viết lại các công thức theo sơ đồ Horner

0

a 1

a ......

n 1

a −

n

a

a 0 0 b a = 1 1 0 b a b = +α ...... 1 1 2

1

7 6 4 2 ( ) 2 3 4 3 2 112

( )

n n n

n n

b a b

r a b

P x x x x x x

x

α

α

ω

− − −

−

= +

= +

= + − + − −

n n 1

r a b = +α −

Ví dụ :

Tìm kết quả chia đa thức 7 6 4 2 P x x x x x x ( ) 2 3 4 3 2 112 = + − + − − lần lượt

cho x+1, x-1,x+2, x-2

Giải

Ta lập sơ đồ Horner

2 3 0 -4 0 3 -2 112

-1 2 1 -1 -3 3 0 -2 114

1 2 2 5 1 1 4 2 114

-2 2 -1 2 16 16 -29 56 0

2 2 7 14 48 48 99 196 504

1.1 Đa thức đồng dư

Định nghĩa 1.4:

Cho là một đa thức khác không. Ta nói rằng những đa thức P(x) và Q(x) là

đồng dư theo mô đun đa thức , nếu P(x)-Q(x) chia hết choω( ) x

Nếu P(x) và Q(x) đồng dư theo mô đun , thì ta kí hiệu là

. Định lí 1.1.4:

Cho là một đa thức khác không. Chứng minh rằng nếu P(x) và Q(x) là hai đa thức thì

( khi và chỉ khi P(x) và Q(x) cho cùng một đa thức dư khi chia cho

Định lí 1.2.4:

Cho là một đa thức khác không.

- Với mọi đa thức P(x),

- Với hai đa thức P(x) và Q(x) bất kì . nếu thì

- Với mọi ba đa thức P(x), Q(x) và R(x), nếu và, thì

- Với mọi ba đa thức P(x), Q(x), R(x), nếu thì

- Cho những đa thức bất kì

- Với ba đa thức bất kì P(x), Q(x), R(x) , nếu

- Cho những đa thức bất kì

- Với hai đa thức P(x), Q(x) bất kì và mọi số tự nhiên t nếu thì

- Với hai đa thức P(x), Q(x) bất kì và đa thức F(x), nếu

D . ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT.

I. Ứớc chung lớn nhất

Định nghĩa:

Cho P(x) và Q(x) là hai đa thức, ít nhất một trong hcung1 khác không, đa thức D(x)

gọi là ước chung lớn nhất của P(x), Q(x) nếu

1. P(x) chia hết cho D(x) và Q(x) chia hết cho D(x)

2. Nếu P(x) chia hết cho D’(x) và Q(x) chia hết cho D(x) thì D(x) chia hết cho

D’(x).

Kí hiệu: D(x) = (P(x),Q(x)) là ước chung lớn nhất.

Tính chất:

a. Nếu P(x) và Q(x) là hai đa thức sao cho P(x) chia hết cho Q(x) thì chúng có

ước chung lớn nhất là (P(x),Q(x))=Q(x)

b. Nếu những đa thức P(x) và Q(x) có ước chung lớn nhất và là số bất kì thì

c. (P(x).Q(x))=( ( ), ( ) ( ( ), ( )) α α P x Q x P x Q x =

Định lí 1.1

Cho những đa thức P(x) và Q(x) có ước chung lớn nhất D(x)=(P(x).Q(x)) và R(x)

là số dư trong phép chia P(x) cho Q(x), thì những đa thức P(x) và Q(x) có ước chung lớn

nhất và

(P(x),Q(x))=(Q(x),R(x))

Định lí 1.2

Hai đa thức bất kì đều có ước chung lớn nhất.

Đẳng thức BEZOUT

D(x)=(P(x),Q(x)), thì tồn tại những đẳng thức U(x) và V(x) sao cho

D(x)=U(x).P(x)+V(x).Q(x)

Định nghĩa 1.2.1.

Hai đa thức P(x) và Q(x) gọi là nguyên tố cùng nhau nếu UCLN cúa chúng là

một đa thức hằng số.

Định lí 1.2.1.1

Những đa thức P(x) và Q(x) nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi tồn tại những đa thức

U(x) và V(x) sao cho

U(x)P(x)+V(x)Q(x)=1

Định lí 1.2.1.2

Nếu P(x),Q(x), S(x) là ba đa thức sao cho (P(x),Q(x))=1 và S(x),Q(x) chia hết cho P(x)thì

S(x) chia hết cho P(x)

Định lí 1.2.1.3

Cho hai đa thức P(x) và Q(x) nguyên tố cùng nhau . tồn tại duy nhất những đa thức U(x)

và V(x) sao cho U(x)P(x)+V(x)Q(x)=1 và degU(x)<degQ(x) và degV(x)<degP(x)

Định lí 1.2.1.4

Cho P(x),Q(x),S(x) là ba đa thức . tồn tại những đa thức α ω ( ), ( ) x x sao cho

S(x)=α( ) x .P(x)+ω( ) x Q(x)

Khi và chỉ khi đa thức S(x) chia hết cho U7CLN của những đa thức P(x) và Q(x)

4 3 2 4 3 2

4 3 2 4 2

( )

, ( )

( ) 2 à ( ) 2 2 2 1

( ) 2 5 10 6, ( ) 7 18

x

x

P x x x x x v Q x x x x x

P x x x x x Q x x x

α

ω

= − − + − = − + − +

= − − − − = − −

Ví dụ:

1/ Hãy tìm ước chung lớn nhất của những đa thức.

P(x)=

4 3 2

x x x x + − − − 3 4 1 và Q(x)=

3 2

x x x + − −1

2/ Hãy tìm ước chung lớn nhất của những đa thức n 1

x

−

và m 1

x

−

, ở đây

n và m là những số tự nhiên bất kì.

Giải:

Bài 1: UCLN của P(x) và Q(x) có thể tìm theo thuật toán Euclid. Đầu tiên chia P(x) cho

Q(x)

4 3 2

x x x x + − − − 3 4 1 3 2

x x x + − −1

4 3 2

x x x x + − − x = S’(x)

R(x)=

2

− − − 2 3 1 x x

Tương tự ta chia 2Q(x) cho –R(x) ta được

3 3 '( )

2 2

− − = R x

Ta chia –R(x) cho -

2

3

R’(x)=x+1

2

2 3 1 x x + + 2

1 '( )

3

x R x −

+ =

2

2 2 x x +

2 1 ''( ) x S x + =

x+1

x+1

O

=> UCLN=( 4 3 2

x x x x + − − ,

2

2 3 1 x x + +

)=x+1

Bài 2: