Chương 5: Phép tính vi phân ppsx

Chương 5

PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN

5.1 Tích phân hàm một biến

5.1.1 Nguyên hàm và tích phân bất định

1. Định nghĩa

Định nghĩa 5.1. Cho hàm f xác định trên khoảng (a, b). Hàm F(x) xác định trên (a, b) gọi là một

nguyên hàm của hàm f(x) nếu F

0

(x) = f(x) với mọi x ∈ (a, b).

Ta thấy rằng F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x) + C, trong đó C là hằng số tùy ý cũng

là một nguyên hàm của f(x).

Định lý 5.1. Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì mọi nguyên hàm của f(x) đều có dạng

F(x) + C, trong đó C là hằng số.

Định nghĩa 5.2. Cho hàm y = f(x) xác định trên (a, b). Ta gọi tích phân không xác định của f(x),

kí hiệu R

f(x)dx, là tập tất cả các nguyên hàm của f(x)

Định lý 5.1 suy ra nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì R

f(x)dx = F(x) + C, trong đó C

là hằng số tùy ý.

Trong kí hiệu R

f(x)dx ta gọi f(x) là hàm dưới dấu tích phân, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích

phân.

Để tính tích phân không xác định, theo định nghĩa, ta chỉ cần tìm một nguyên hàm của nó.

2. Tính chất

Tính chất 5.1. (

R

f(x)dx)

0 = f(x), d(

R

f(x)dx) = f(x)

Tính chất 5.2. R

dF(x) = F(x) + C

Tính chất 5.3. R

(f(x) ± g(x))dx =

R

f(x)dx ±

R

g(x)dx.

Tính chất 5.4. R

αf(x)dx = α

R

f(x)dx

3. Phương pháp tính

• Tính trực tiếp: Sử dụng các tính chất và bảng nguyên hàm.

Ví dụ 5.1. R x

2 − 1

x

2 + 1

dx =

R

(1 −

2

x

2 + 1

)dx = x − 2arctgx + C