Chương 3: Phép tính vi phân của hàm một biến pdf

Chương 3

PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM

MỘT BIẾN

3.1 Dãy số và giới hạn của dãy số

3.1.1 Định nghĩa giới hạn của dãy số

Định nghĩa 3.1. Dãy số thực là một ánh xạ

a : N → R

n 7→ a(n) = an

Khi đó ta được một dãy các số thực a1, a2, ...an, ...

+ Kí hiệu là {an}.

+ an gọi là số hạng tổng quát thứ n của dãy. Dãy số hoàn toàn được xác định khi biết số hạng

tổng quát của nó.

- Dãy con.

Cho dãy số thực an . Giả sử n1 < n2 < ...nk < ... là một dãy tăng thực sự các số tự nhiên thì dãy

nn1

, an2

, ..., ank

, ... là dãy con của dãy {an} và viết là {ank

} ⊂ {an} .

Định nghĩa 3.2. Ta nói rằng: a = limn→∞

an ⇔ ∀ε > 0 ∃N ∀n > N : |an − a| < ε

- Khi đó ta nói dãy {an} hội tụ đến a.

- Dãy không hội tụ gọi là dãy phân kỳ.

Định lý 3.1. Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất.

Chứng minh. Giả sử limn→∞

an = a . Nếu có số b 6= a cũng là giới hạn của dãy {an} . Khi đó với

ε =

|b − a|

2

> 0 , thì: ∃N1 ∀n > N1 : |an − a| < ε, ∃N2 ∀n > N2 : |an − b| < ε

Chọn N0 = max{N1, N2} , thì với mọi n > N0 ta có:

|a − b| = |a − an + an − b| < |a − an| + |an − b| < ε + ε = 2.ε = |a − b|

Mâu thuẫn chứng tỏ điều giả sử là sai, định lý được chứng minh.

Định lý 3.2. Nếu dãy số thực {an} có giới hạn là a , thì mọi dãy con của nó cũng có giới hạn là a.

Ví dụ 3.1. Xét dãy {an} sao cho an = a , với mọi n , ta có limn→∞

an = a. Thật vậy,

∀ε > 0 ∃N = 0 ∀n > N : |an − a| = |a − a| = 0 < ε

Tức là limn→∞

an = a