Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên và phân phối xác suất

Ch ’u ’ong 2

¯DA.

I LU

’

.ONG NG ’

˜

AU NHI ˆ EN V ˆ A PH ` AN PH ˆ OI X ˆ´ AC SU ´ ATˆ´

1. ¯DA.

I LU’O’

. NG NGAU NHI ˆ˜ ENˆ

1.1 Kh´ai niˆe.m ¯da.

i lu’o’

.ng ngˆau nhiˆen ˜

✷ ¯Di

.nh nghia 1 ˜

¯Da.

i lu’o’. ng ngˆau nhiˆen l`a ¯da ˜

.

i lu’o’. ng biˆen ¯d ´ ’ˆoi bi ’ˆeu thi. gı´a tri. kˆet q ´ ua’

cua mˆo ’

.

t ph´ep th ’u ng ’ ˆau nhiˆen. ˜

Ta d`ung c´ac chu c´ai hoa nh ˜’ u X, Y, Z, ... ¯d ’

’ˆe k´ı hiˆe.u ¯da.

i lu’o’

.ng ngˆau nhiˆen. ˜

• V´ı du. 1 Tung mˆo.

t con x´uc xac. Go ˘´

.

i X l`a sˆo ch ´ ˆam xu ´ ˆat hiˆe ´

.n trˆen ma˘.

t con x´uc xac˘´

th`ı X l`a mˆo.

t ¯da.

i lu’o’. ng ngˆau nhiˆen nhˆa ˜

. n c´ac gi´a tri. c´o th ’ˆe l`a 1, 2, 3, 4, 5, 6.

1.2 D¯ a.

i lu’o’

.ng ngˆau nhiˆen r ˜ oi ra `’ .

c

a) D¯ a.

i lu’o’

.ng ngˆau nhiˆen r ˜ oi ra `’ .

c

✷ ¯Di

.nh nghia 2 ˜

¯Da.

i lu’o’. ng ngˆau nhiˆen ¯d ˜ u’o’.

c go.

i l`a roi ra `’ . c nˆeu n´o ch ´ i nhˆa ’

. n mˆo.

t sˆo´

huu ha ˜’ . n hoa˘. c mˆo.

t sˆo vˆo ha ´

. n ¯dˆem ¯d ´ u’o’.

c c´ac gi´a tri.

.

Ta c´o th ’ˆe liˆe.

t kˆe c´ac gi´a tri

. cua ¯da ’

.

i lu’o’

.ng ngˆau nhiˆen r ˜ oi ra `’ . c x1, x2, . . . , xn.

Ta k´ı hiˆe.u ¯da.

i lu’o’

.ng ngˆau nhiˆen X nhˆa ˜

.n gi´a tri

. xn l`a X = xn v`a x´ac suˆat ¯d ´ ’ˆe X nhˆa.n

gi´a tri

. xn l`a P(X = xn).

• V´ı du. 2 Sˆo ch ´ ˆam xu ´ ˆat hiˆe ´

.n trˆen ma˘.

t con x´uc xac, s ˘´ ˆo ho ´

. c sinh vang m ˘´ a˘.

t trong mˆo.

t

bu ’ˆoi ho. c...l`a c´ac ¯da.

i lu’o’. ng ngˆau nhiˆen r ˜ oi ra `’ . c.

b) Bang phˆan ph ’ ˆoi x´ac su ´ ˆat´

Bang phˆan ph ’ ˆoi x´ac su ´ ˆat d`ung ¯d ´ ’ˆe thiˆet lˆa ´

.p luˆa.

t phˆan phˆoi x´ac su ´ ˆat c ´ ua ¯da ’

.

i lu’o’

.ng

ngˆau nhiˆen r ˜ oi ra `’ . c, n´o gˆom 2 h`ang: h`ang th ` ´u nh ’ ˆat liˆe ´

.

t kˆe c´ac gi´a tri

. c´o th ’ˆe x1, x2, . . . , xn

cua ¯da ’

.

i lu’o’

.ng ngˆau nhiˆen X v`a h`ang th ˜ ´u hai liˆe ’ .

t kˆe c´ac x´ac suˆat t ´ u’ong ’

´ung ’ p1, p2, . . . , pn

cua c´ac gi´a tri ’

. c´o th ’ˆe ¯d´o.

27

28 Ch ’u ’ong 2. ¯Da.

i lu’ong ng ’ ˆau nhiˆen v`a phˆan ph ˜ ˆoi x´ac su ´ ˆat´

X x1 x2 . . . xn

P p1 p2 . . . pn

Nˆeu c´ac gi´a tri ´

. c´o th ’ˆe cua ¯da ’

.

i lu’o’

.ng ngˆau nhiˆen X g ˜ ˆom h˜uu ha `

.n sˆo´x1, x2, . . . , xn th`ı

c´ac biˆen c ´ ˆo´ X = x1, X = x2, . . . , X = xn lˆa.p th`anh mˆo.

t nh´om c´ac biˆen c ´ ˆo ¯d´ ˆay ¯d ` u xung ’

kh˘´ac tung ¯dˆoi. `’

Do ¯d´o Xn

i=1

pi = 1.

• V´ı du. 3 Tung mˆo.

t con x´uc xac ¯d ˘´ ˆong ch ` ˆat. Go ´

.

i X l`a sˆo ch ´ ˆam xu ´ ˆat hiˆe ´

.n trˆen ma˘.

t con

x´uc xac th`ı X l`a ¯da ˘´

.

i lu’o’. ng ngˆau nhiˆen r ˜ oi ra `’ . c c´o phˆan phˆoi x´ac su ´ ˆat cho b ´ ’oi: ’

X 1 2 3 4 5 6

P

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1.3 D¯ a.

i lu’o’

.ng ngˆau nhiˆen liˆen tu ˜ .

c v`a h`am mˆa.

t ¯dˆo. x´ac suˆat´

a) D¯ a.

i lu’o’

.ng ngˆau nhiˆen liˆen tu ˜

.

c

✷ ¯Di

.nh nghia 3 ˜

¯Da.

i lu’o’. ng ngˆau nhiˆen ¯d ˜ u’o’.

c go.

i l`a liˆen tu. c nˆeu c´ac gi´a tri ´

. c´o th ’ˆe cua’

n´o lˆap ¯d ´ ˆay mˆo ` .

t khoang trˆen tru ’

. c sˆo.´

• V´ı du. 4

- Nhiˆe.

t ¯dˆo. khˆong kh´ı ’o m’ ˆoi th ˜ oi ¯di `’

’ˆem n`ao ¯d´o.

- Sai sˆo khi khi ¯do l ´ u’ong mˆo `’ .

t ¯da.

i lu’o’. ng vˆa.

t l´y.

- Khoang th ’ oi gian gi `’ ua hai ca c ˜’ ˆap c ´ ´uu c ’ ua mˆo ’

.

t bˆe.nh viˆe.n.

b) H`am mˆa.

t ¯dˆo. x´ac suˆat´

✷ ¯Di

.nh nghia 4 ˜ H`am mˆa.

t ¯dˆo. x´ac suˆat c ´ ua ¯da ’

.

i lu’o’. ng ngˆau nhiˆen liˆen tu ˜

. c X l`a h`am

khˆong ˆam f(x), x´ac ¯di.nh voi mo ´’ .

i x ∈ (−∞, +∞) thoa m˜an ’

P(X ∈ B) = Z

B

f(x)dx

voi mo ´’ .

i tˆa. p sˆo th ´ u’.

c B.

✸ T´ınh chˆat´ H`am mˆa.

t ¯dˆo. x´ac suˆat c´o c´ac t´ınh ch ´ ˆat sau ´

i) f(x) ≥ 0, ∀x ∈ (−∞, +∞)

ii)

+

Z∞

−∞

f(x)dx = 1

 Y ngh ´ ia c ˜ ua h`am mˆa ’

.

t ¯dˆo.

Tu ¯di `’ .nh nghia c ˜ ua h`am mˆa ’

.

t ¯dˆo.

ta c´o P(x ≤ X ≤ x + 4x) ∼ f(x).4x

Do ¯d´o ta thˆay x´ac su ´ ˆat ¯d ´ ’ˆe X nhˆa.n gi´a tri

.

thuˆo. c lˆan cˆa.n kh´a b´e (x, x + 4x) gˆan nh ` u’

ti lˆe ’

. v´oi f(x). ’

1. D¯ a.

i lu’ong ng ’ ˆau nhiˆen ˜ 29

1.4 H`am phˆan phˆoi x´ac su ´ ˆat´

✷ ¯Di

.nh nghia 5 ˜ H`am phˆan phˆoi x´ac su ´ ˆat c ´ ua ¯da ’

.

i lu’o’. ng ngˆau nhiˆen X, k´ı hiˆe ˜

.u F(x),

l`a h`am ¯du’o’.

c x´ac ¯di.nh nhu sau ’

F(x) = P(X < x)

* Nˆeu X l`a ¯da ´

.

i lu’o’. ng ngˆau nhiˆen r ˜ oi ra `’ . c nhˆa. n c´ac gi´a tri. c´o th ’ˆe x1, x2, . . . , xn th`ı

F(x) = X

xi<x

P(X = xi) = X

xi<x

pi (voi´’ pi = P(X = xi))

* Nˆeu X l`a ¯da ´

.

i lu’o’. ng ngˆau nhiˆen liˆen tu ˜

. c c´o h`am mˆa.

t ¯dˆo. x´ac suˆat f(x) th`ı ´

F(x) = Zx

−∞

f(x)dx

✸ T´ınh chˆat´ Ta c´o th ’ˆe ch´ung minh ¯d ’ u’o’

.

c c´ac cˆong th´uc sau ’

i) 0 ≤ F(x) ≤ 1; ∀x.

ii) F(x) l`a h`am khˆong giam ( ’ x1 ≤ x2 =⇒ F(x1) ≤ F(x2)).

iii) lim x→−∞

F(x) = 0; lim x→+∞

F(x) = 1.

iv) F

0

(x) = f(x), ∀x.

 Y ngh ´ ia c ˜ ua h`am phˆan ph ’ ˆoi x´ac su ´ ˆat´

H`am phˆan phˆoi x´ac su ´ ˆat F(x) ph ´ an ´anh m ’ ´uc ¯dˆo ’ .

tˆa.p trung x´ac suˆat v ´ ˆe bˆen tr´ai c ` ua’

¯di ’ˆem x.

• V´ı du. 5 Cho ¯da.

i lu’o’. ng ngˆau nhiˆen r ˜ oi ra `’ . c X c´o bang phˆan ph ’ ˆoi x´ac su ´ ˆat´

X 1 3 6

P 0,3 0,1 0,6

T`ım h`am phˆan phˆoi x´ac su ´ ˆat c ´ ua X v`a v˜e ¯d ’ ˆo thi ` . cua h`am n`ay. ’

Giai’

Nˆeu´ x ≤ 1 th`ı F(x) = 0.

Nˆeu 1 ´ < x ≤ 3 th`ı F(x) = 0, 3.

Nˆeu 3 ´ < x ≤ 6 th`ı F(x) = 0, 3 + 0, 1 = 0, 4.

Nˆeu´ x > 6 th`ı F(x) = 0, 3 + 0, 1 + 0, 6 = 1.