Chéo hóa tương đẳng đồng thời xấp xỉ của hệ hai và ba ma trận Hermit

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

MAI THỊ THU

CHÉO HÓA TƯƠNG ĐẲNG

ĐỒNG THỜI XẤP XỈ CỦA HỆ

HAI VÀ BA MA TRẬN HERMIT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Bình Định - Năm 2022

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

MAI THỊ THU

CHÉO HÓA TƯƠNG ĐẲNG

ĐỒNG THỜI XẤP XỈ CỦA HỆ

HAI VÀ BA MA TRẬN HERMIT

Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số

Mã số: 8.46.01.04

Người hướng dẫn: TS. LÊ THANH HIẾU

i

LỜI CAM ĐOAN

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Quy Nhơn. Tôi xin cam đoan

rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực không trùng lặp với

đề tài khác. Đề tài “Chéo hóa tương đẳng đồng thời xấp xỉ của hệ hai

và ba ma trận Hermit” là kết quả nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của

TS. Lê Thanh Hiếu và chưa từng được công bố trong bất cứ công trình khoa

học nào khác cho đến thời điểm hiện tại. Tôi cũng xin cam đoan rằng các kết

quả được trình bày trong luận văn có tài liệu tham khảo được trích dẫn rõ ràng,

đảm bảo tính trung thực, chính xác.

Bịnh Định, ngày tháng 8 năm 2022

Tác giả

Mai Thị Thu

ii

Mục lục

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Ma trận Hermit và một số tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Chéo hóa tương đương và tương đẳng đồng thời một họ ma trận

Hermit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.1 Chéo hóa tương đương, chéo hóa tương đẳng đồng thời . . 12

1.2.2 Mối quan hệ giữa hai khái niệm chéo hóa tương đương và

chéo hóa tương đẳng đồng thời được . . . . . . . . . . . . . 16

2 CHÉO HÓA TƯƠNG ĐẲNG ĐỒNG THỜI XẤP XỈ CỦA HỆ

HAI VÀ BA MA TRẬN HERMIT 39

2.1 Một số định nghĩa và tính chất tổng quát . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2 Tính chất ASDC của cặp ma trận Hermit . . . . . . . . . . . . . . 42

2.2.1 Dạng chuẩn tắc cho một cặp ma trận Hermit . . . . . . . . 42

2.2.2 Trường hợp cặp ma trận Hermit không suy biến . . . . . . 43

2.2.3 Trường hợp cặp ma trận Hermit suy biến . . . . . . . . . . 49

2.3 Tính chất ASDC của ba ma trận không suy biến . . . . . . . . . . 55

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

iii

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

1

Lời nói đầu

Chéo hóa ma trận là một công cụ chủ yếu để nghiên cứu nhiều bài toán như

tính các lũy thừa của ma trận vuông, xác định các dãy truy hồi tuyến tính với

hệ số không đổi, giải một số phương trình ma trận,... Bên cạnh đó nó cũng được

sử dụng nhiều trong các ngành ứng dụng Toán học. Việc nghiên cứu lý thuyết

ma trận không chỉ nhằm mục đích phát hiện ra các kỹ thuật đại số mà còn đáp

ứng được nhu cầu tính toán của các lĩnh vực như: tính toán lượng tử, khoa học

tính toán, toán tối ưu,... Một số bài toán trong kinh tế, kỹ thuật dẫn đến vấn

đề chéo hóa (tương đương hoặc tương đẳng) một hoặc một số ma trận cùng lúc.

Tuy nhiên, không phải lúc nào ta cũng chéo hóa tương đẳng đồng thời các ma

trận được. Trong một số trường hợp ta có thể tìm được một số ma trận chéo

hóa tương đẳng đồng thời mà xấp xỉ với các ma trận ban đầu. Người ta gọi đó

là chéo hóa tương đẳng đồng thời xấp xỉ.

Luận văn “Chéo hóa tương đẳng đồng thời xấp xỉ của hệ hai và ba

ma trận Hermit” gồm hai chương chính.

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Chương này trình bày một số kiến thức

chuẩn bị liên quan đến chéo hóa tương đương đồng thời và chéo hóa tương đẳng

đồng thời của một họ ma trận Hermit.

Chương 2. Chéo hóa tương đẳng đồng thời xấp xỉ của hệ hai và

ba ma trận Hermit. Trong chương này, chúng tôi trình bày một số điều kiện