Các ứng dụng của tổ hợp trong xác suất.

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

KHOA:TOÁN

----------

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

ĐỀ TÀI:

CÁC ỨNG DỤNG CỦA TỔ HỢP

TRONG XÁC SUẤT

Giảng viên hƣớng dẫn: TS. CAO VĂN NUÔI

Sinh viên thực hiện : NGUYỄN THỊ THUÝ

Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG

Đà Nẵng – Tháng 5 năm 2015

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS.Cao Văn Nuôi

SVTH: Nguyễn Thị Thúy – Lớp: 11CTUD2 – MSSV: 311033111144 Trang:ii

LỜI CẢM ƠN

Được sự phân công của Khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Đà Nẵng

và sự đồng ý của Thầy giáo hướng dẫn TS.Cao Văn Nuôi, em đã thực hiện đề tài

“Các ứng dụng của tổ hợp trong xác suất”.

Để hoàn thành khoá luận này, em xin chân thành các thầy cô giáo đã tận

tình hướng dẫn, giảng dạy trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và rèn luyện

ở Trường Đại Học Sư Phạm Đà Nẵng.

Xin chân thành cảm ơn Thầy giáo hướng dẫn TS.Cao Văn Nuôi đã tận

tình, chu đáo hướng dẫn em thực hiện khoá luận này. Nếu không có những lời

hướng dẫn dạy bảo của thầy thì em nghĩ bài khoá luận này em khó có thể hoàn

thiện được. Một lần nữa, em xin chân thành cảm ơn Thầy.

Mặc dù đã cố gắng để thực hiện đề tài một cách hoàn chỉnh nhất. Song do

buổi đầu mới làm quen với công tác nghiên cứu cũng như hạn chế về kiến thức

và kinh nghiệm nên không thể tránh khỏi những thiếu sót nhất định mà bản thân

chưa thấy được. Em rất mong được sự góp ý của quý Thầy, Cô giáo và các bạn

cùng khoá để khoá luận được hoàn chỉnh hơn.

Em xin chân thành cảm ơn!

Sinh viên thực hiện

Nguyễn Thị Thúy

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS.Cao Văn Nuôi

SVTH: Nguyễn Thị Thúy – Lớp: 11CTUD2 – MSSV: 311033111144 Trang:iii

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN .................................................................................................................i

MỞ ĐẦU.........................................................................................................................1

1. Lý do chọn đề tài:.............................................................................................1

2. Mục tiêu nghiên cứu đề tài:.............................................................................1

3. Phƣơng pháp nghiên cứu:...............................................................................2

4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu:.................................................................2

4.1. Đối tƣợng nghiên cứu: ..............................................................................2

4.2. Phạm vi nghiên cứu: .................................................................................2

5. Đóng góp đề tài: ...............................................................................................2

6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài:......................................................2

CHƢƠNG 1: TỔ HỢP..................................................................................................3

1.1. SƠ LƢỢC VỀ TOÁN TỔ HỢP......................................................................3

1.2. HAI NGUYÊN LÝ ĐẾM CƠ BẢN ................................................................4

1.2.1. Nguyên lý nhân ......................................................................................4

1.2.2. Nguyên lý cộng:......................................................................................7

1.2.3. Nguyên tắc cộng mở rộng......................................................................8

1.3. CÁC CẤU HÌNH TỔ HỢP CƠ BẢN.............................................................9

1.3.1. Chỉnh hợp lặp.........................................................................................9

1.3.2. Chỉnh hợp không lặp...........................................................................10

1.3.3. Hoán vị..................................................................................................11

1.3.4.Tổ hợp..........................................................................................................12

1.4. CẤU HÌNH TỔ HỢP MỞ RỘNG................................................................15

1.4.1. Hoán vị lặp............................................................................................15

1.4.2. Tổ hợp lặp.............................................................................................17

1.5. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON........................................................19

CHƢƠNG 2: XÁC SUẤT...........................................................................................21

2.1. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ ............................................................................21

2.1.1. Phép thử......................................................................................................21

2.1.2. Biến cố.........................................................................................................21

2.1.3. Phép toán....................................................................................................22

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS.Cao Văn Nuôi

SVTH: Nguyễn Thị Thúy – Lớp: 11CTUD2 – MSSV: 311033111144 Trang:iv

2.2. XÁC XUẤT CỦA BIẾN CỐ.........................................................................24

2.2.1. Định nghĩa xác suất cổ điển......................................................................24

2.2.2. Định nghĩa xác suất hình học ...................................................................25

2.2.3. Định nghĩa xác xuất tần suất....................................................................27

2.2.4. Định nghĩa xác suất tiên đề.......................................................................27

2.3. XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ CÁC CÔNG THỨC XÁC SUẤT........28

2.3.1. Xác suất có điều kiện ...........................................................................28

2.3.2. Công thức nhân xác xuất ....................................................................29

2.3.3. Công thức cộng xác suất......................................................................30

2.4. CÔNG THỨC XÁC SUẤT TOÀN PHẦN VÀ CÔNG THỨC BAYES ...31

2.5. TÍNH ĐỘC LẬP CỦA BIẾN CỐ.................................................................34

2.6. DÃY N BIẾN CỐ ĐỘC LẬP ........................................................................36

2.7. DÃY CÁC PHÉP THỬ ĐỘC LẬP...............................................................36

2.8. CÔNG THỨC XÁC SUẤT NHỊ THỨC......................................................37

CHƢƠNG 3: ỨNG DỤNG CỦA TỔ HỢP TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC

SUẤT.............................................................................................................................41

3.1. BÀI TOÁN 1 .....................................................................................................41

3.2. BÀI TOÁN 2 .....................................................................................................42

3.3. BÀI TOÁN 3 .....................................................................................................43

3.4. BÀI TOÁN 4 .....................................................................................................44

3.5. BÀI TOÁN 5 .....................................................................................................44

3.6. BÀI TOÁN 6 .....................................................................................................46

3.7. BÀI TOÁN 7 .....................................................................................................47

3.8. BÀI TOÁN 8 .....................................................................................................48

3.9. BÀI TOÁN BỎ THƢ........................................................................................49

3.10. BÀI TOÁN NGÀY SINH...............................................................................50

TÀI LIỆU THAM KHẢO...........................................................................................51

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS.Cao Văn Nuôi

SVTH: Nguyễn Thị Thúy – Lớp: 11CTUD2 – MSSV: 311033111144 Trang:1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài:

Tổ hợp là lĩnh vực của toán rời rạc, xuất hiện vào đầu thế kỉ 17. Thế

nhưng, tổ hợp vẫn là lĩnh vực mờ nhạt và ít được chú ý tới trong khoảng thời

gian hơn 2 thế kỉ. Tình thế bắt đầu đổi khác khi xuất hiện các máy tính và cùng

với nó là sự phát triển của toán hữu hạn.

Hiện nay, Lý thuyết tổ hợp được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác của

toán học như: Đại số, Lý thuyết xác suất, Lý thuyết Ergod (Ergod theory) và

Hình học, cũng như các ngành ứng dụng: Khoa học máy tính và Vật lý thống kê.

Hướng nghiên cứu của luận văn này là một số ứng dụng của Lý thuyết tổ

hợp vào trong việc tính toán và giải các bài toán xác suất.

Tiên đề xác suất là nền tảng của Lý thuyết xác suất. Ảnh hưởng chính của

Lý thuyết xác suất trong cuộc sống hằng ngày đó là việc xác định rủi ro. Chính

phủ cũng áp dụng các phương pháp xác suất để điều tiết môi trường hay còn gọi

là phân tích đường lối. Lý thuyết trò chơi cũng dựa trên nền tảng xác suất. Một

ứng dụng khác là xác định độ tin cậy.

Trong nhiều kì thi các bài toán xác suất cũng được đề cập và thường thuộc

loại khó nên học sinh còn lúng túng khi giải quyết những bài toán này.

Chính vì những lý do trên, tôi đã chọn đề tài: “Các ứng dụng của tổ hợp

trong xác suất” để tìm hiểu, nghiên cứu nhằm phục vụ cho công tác giảng dạy và

đồng thời cũng làm tài liệu tham khảo cho những bạn yêu thích xác suất, tổ hợp.

2. Mục tiêu nghiên cứu đề tài:

Tôi mong muốn tìm kiếm được nhiều tài liệu từ các nguồn khác nhau để

nghiên cứu kĩ càng và trình bày lại các kiến thức trong luận văn này theo một

thể khép kín và hi vọng luận văn có thể được sử dụng như một tài liệu tham

khảo bổ ích cho học sinh và giáo viên của các trường trung học phổ thông, cũng

như các bạn quan tâm đến xác suất.

Luận văn gồm có 3 chương, Chương 1 trình bày về những kiến thức “Tổ

Hợp”. Chương này nêu ra một số khái niệm cơ bản của Lý thuyết Tổ hợp cùng

với một số ví dụ minh hoạ. Chương 2 trình bày một số nội dung “Xác Xuất”.

Các kiến thức trong chương này không quá khó đa phần đã được học ở phổ

thông. Tuy nhiên, có những kiến thức mở rộng hơn. Chương cuối cùng là