CÁC TIÊN ÐỀ CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

Chương 3: CÁC TIÊN ÐỀ CƠ HỌC

LƯỢNG TỬ

I. SỰ KHÁC BIỆT CỦA CHUYỂN

ĐỘNG TRONG CƠ LƯỢNG TỬ VÀ

CƠ CỔ ĐIỂN

II. CÁC TIÊN ĐỀ TRONG CƠ

HỌC LƯỢNG TỬ

III. GI Á TRỊ TRUNG BÌNH CỦA

BIẾN SỐ ĐỘNG LỰC

IV. TÍNH HỆ SỐ PHÂN TÍCH

V. GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VÀ HỆ

SỐ PHÂN TÍCH ĐỐI VỚI TOÁN TỬ CÓ

PHỔ LIÊN TỤC

VI. TOÁN TỬ TỌA ĐỘ VÀ XUNG

LƯỢNG

VII. NGUYÊN LÍ TƯƠNG ỨNG VÀ

DẠNG CÁC TOÁN TỬ KHÁC

VIII. S Ự ĐO ĐỒNG THỜI HAI BIẾN

SỐ ĐỘNG LỰC

IX. HỆ THỨC BẤT ĐỊNH

HEISENBERG

Chương 3: CÁC TIÊN ÐỀ CƠ HỌC

LƯỢNG TỬ

I. SỰ KHÁC BIỆT CỦA CHUYỂN ĐỘNG

TRONG CƠ LƯỢNG TỬ VÀ CƠ CỔ ĐIỂN TOP

Ta biết rằng các hạt vi mô có tính chất sóng

rất rõ rệt, do đó khái niệm chuyển động của

chúng trong cơ lượng tử khác nhiều so với khái

niệm chuyển động trong cơ cổ điển. Trong cơ

học lượng tử không có khái niệm qũy đạo.

Ta hãy xét sự khác nhau về khái niệm

chuyển động trong cơ học cổ điển và cơ lượng

tử.

* Với cơ học cổ điển, hạt chuyển động theo

một qũy đạo xác định. Các biến số động lực như

tọa độ, năng lượng, xung lượng ...được xác

định chính xác đồng thời tại từng điểm và từng

thời điểm trên qũy đạo.

* Với cơ học lượng tử thì chuyển động của

hạt được coi như một bó sóng định xứ trong một

miền của không gian và bó sóng này thay đổi

theo thời gian (một sóng bất kì có thể phân tích

thành tổ hợp tuyến tính các sóng điều hòa-bó

sóng). Còn các biến số động lực nói chung

không được xác định chính xác đồng thời, mà

khi nói về chúng, ta chỉ có thể nói xác suât để

biến số động lực ấy có giá trị nằm trong khoảng

nào là bao nhiêu mà thôi.

Vì sự khác biệt đó, các biến số động lực

trong cơ học lượng tử không mô tả bằng số như

cơ cổ điển mà phải mô tả chúng bằng các toán

tử. Ta thừa nhận một số giả thuyết như những

tiên đề.

II. CÁC TIÊN ĐỀ TRONG CƠ HỌC

LƯỢNG TỬ TOP

Mỗi biến số động lực được mô tả bằng một

toán tử tuyến tính xác định.

Tính chất tuyến tính là phản ánh nguyên lí

chồng chất rằng: Nếu hệ lượng tử có thể ở các

trạng thái mô tả bằng các hàm sóng thì hệ

cũng có thể ở trạng thái mô tả bằng hàm sóng

.

Trong đó là các hằng số bất kì và nói

chung là phức.

Tiên đề 2:

Khi ta đo một biến số động lực nào đó thì ta

chỉ thu được những giá trị bằng số là các trị

riêng của toán tử biểu diễn biến số động lực ấy.

Từ tiên đề này ta suy ra các toán tử biểu

diễn biến số động lực là những toán tử hecmit

(vì trị riêng là thực) và có đầy đủ các tính chất

của toán tử hecmit.

Tiên đề 3:

Nghĩa là các hệ số phân tích cũng được

chuẩn hóa.

Công thức

là điều kiện chuẩn hóa của hệ số phân tích. Với

ý nghĩa là tổng xác suất các trạng thái có thể

phải bằng một.

Nếu

III. GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỦA BIẾN

SỐ ĐỘNG LỰC TOP

Ta định nghĩa giá trị trung bình của biến số

động lực L biểu diễn bằng toán tử như sau:

.

Từ đó ta suy ra:

Với các đã chuẩn hóa thì :

(3.1).

Còn các chưa chuẩn hóa thì:

(3.2).

Các công thức (3.1) và (3.2) là dùng để tính

giá trị trung bình theo hệ số phân tích. Sau đây

ta hãy xét biểu thức giá trị trung bình theo trạng

thái (tức theo hàm sóng) của hệ lượng tử. Ta sẽ

chứng minh giá trị trung bình có biểu thức:

.

(3.3).

Trong đó là hàm sóng mô tả trạng thái

của hệ và ta lưu ý rằng (x) là tập hợp các biến

số nào đó chứ không riêng gì tọa độ x.

Ta xét có phổ gián đoạn ( trị riêng là gián

đoạn ).

a/ Trường hợp chưa chuẩn hóa:

Ta hãy thay

Tử số của (3.3) là:

Trong đó

.

Suy ra tử số của (3.3) là

.

Tương tự, mẫu số tính được là . Từ

đó công thức (3.3) trở thành:

.

Ðây chính là công thức định nghĩa (3.2) mà

ta đã biết.

b/ Trường hợp đã chuẩn hóa thì mẫu số

của (3.3) bằng 1 và ta dễ dàng tính được

. Cũng là công thức định nghĩa (3.1) mà

ta đã biết. Vậy công tức (3.3) đã được chứng

minh.

IV. TÍNH HỆ SỐ PHÂN TÍCH TOP

Như trên ta đã thấy, muốn tính được xác

suất hay giá trị trung bình của biến số động lực

thì ta phải biết được các hệ số phân tích. Ta hãy

tìm cách để tính chúng.

Nếu các hàm sóng chưa chuẩn hóa thì các

sẽ sai khác nhau một hằng số. Thông thường

ta phải chuẩn hóa các hàm sóng để biểu thức

xác suất được đơn giản.

V. GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VÀ HỆ SỐ PHÂN

TÍCH ĐỐI VỚI TOÁN TỬ CÓ PHỔ LIÊN

TỤC

TOP

Ðối với toán tử có phổ liên tục thì hàm sóng

là:

.

Trong đó L là trị riêng của toán tử có phổ

liên tục. Ta hãy tìm biểu thức xác suất, giá trị

trung bình và hệ số phân tích trong trường hợp

này.

a/ Biểu thức xác suất:

Vì các giá trị L là liên tục nên ta không thể

nói xác suất để biến số động lực có giá trị L là

bao nhiêu được mà chỉ có thể nói xác suất để L

có giá trị nằm trong khoảng từ L đến (L+dL) là

bao nhiêu mà thôi. Xác suất này thì tỉ lệ với dL

và có biểu thức:

.

là mật độ xác suất để biến số động lực

có giá trị L. Như vậy, với toán tử có phổ liên tục,

tiên đề thứ Ba được phát biểu như sau:

Mật độ xác suất để biến số động lực có giá

trị L tỉ lệ với . Tức là tỉ lệ với khi C(L)

chưa chuẩn hóa. Còn nếu C(L) đã chuẩn hóa thì

=

Nếu các hệ số C(L) được chuẩn hóa sao

cho:

b/ Giá trị trung bình:

Biểu thức giá trị trung bình của biến số động

lực L vẫn là:

.

Thật vậy,ta hãy chứng minh cho trường hợp

tổng quát là hàm sóng chưa chuẩn hóa như

sau:

Thay

thì tử số sẽ là

.

= .

Tương tự, mẫu số là .Ta suy ra

là công thức định nghĩa. Vậy ta đã chứng minh

xong.

c/ Hệ số phân tích:

VI TOÁN TỬ TỌA ĐỘ VÀ XUNG

LƯỢNG TOP

a/ Toán tử tọa độ:

Xét hạt chuyển động trên trục ox, trạng thái

của hạt được mô tả bởi hàm sóng ; giả sử

đã chuẩn hóa. Toán tử tọa độ phải có dạng thế

nào để hệ thức của giá trị trung bình được thỏa

mãn. Tức là:

(3.4).

Mặt khác, nếu là mật độ xác suất để hạt

có tọa độ là x và lưu ý rằng tích của tọa độ với

các hàm sóng là giao hoán được thì ta có:

(3.5).

Như vậy trong biểu diễn tọa độ (sau này ta

sẽ nói rõ) thì toán tử tọa độ chỉ là phép nhân với

tọa độ mà thôi.

b/ Toán tử xung lượng:

Ta đã biết rằng hạt tự do có năng lượng E,

xung lượng thì tương ứng với một sóng phẳng

có dạng:

.

Trong đó hình chiếu của xung lượng là

xác định nên hàm sóng là hàm

riêng của toán tử . Do đó ta có phương trình

trị riêng:

Hai vế của phương trình bằng nhau .Vậy

.

Tương tự

Từ đó ta suy ra :

.

VII. NGUYÊN LÍ TƯƠNG ỨNG VÀ

DẠNG CÁC TOÁN TỬ KHÁC TOP

Cơ học cổ điển là trường hợp riêng của cơ

học lượng tử. Trong cơ học cổ điển, các biến số

động lực liên hệ với nhau bằng các công thức

đã biết như:

Trong cơ học lượng tử thì các biến số động

lực được biểu diễn bằng các toán tử và chúng

cũng liên hệ với nhau bằng các công thức

tương tự như thế. Ðó là nội dung của nguyên lí

tương ứng trong cơ học lượng tử. Từ nguyên lí

tương ứng và dạng các toán tử đã biết, ta có thể

suy ra được các toán tử khác.

a/ Toán tử năng lượng:

Trong cơ học cổ điển ta có công thức:

.

Theo nguyên lí tương ứng ta có dạng của

toán tử là:

.

Thay dạng của các toán tử đã biết vào biểu

thức ta được:

.

(3.6)

b/ Toán tử mô men động lượng:

Trong cơ học cổ điển ta có:

Thay dạng các toán tử dã biết ta được:

.

(3.7)

Ba toán tử trên là ba toán tử hình chiếu của

toán tử mô men động lượng có dạng là